1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

फाइबोनैचि संख्या और सुनहरा अनुपात  हमारे आसपास की दुनिया को सुलझाने के लिए आधार बनाएं, किसी व्यक्ति द्वारा इसकी आकृति और इष्टतम दृश्य धारणा का निर्माण करना, जिसकी मदद से वह सौंदर्य और सद्भाव महसूस कर सकता है।

गोल्डन सेक्शन के आयामों को निर्धारित करने का सिद्धांत पूरी दुनिया और इसके भागों की पूर्णता को इसकी संरचना और कार्यों में रेखांकित करता है, इसकी अभिव्यक्ति प्रकृति, कला और प्रौद्योगिकी में देखी जा सकती है। स्वर्ण वैज्ञानिकों के सिद्धांत को संख्याओं की प्रकृति पर प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा किए गए शोध के परिणामस्वरूप रखा गया था।

प्राचीन विचारकों द्वारा सुनहरे अनुपात के उपयोग के साक्ष्य को यूक्लिड की पुस्तक "बिगिनिंग" में दिया गया है, जिसे तीसरी शताब्दी में लिखा गया है। ई.पू., जिन्होंने नियमित 5-गोंन्स के निर्माण के लिए इस नियम को लागू किया था। पाइथागोरस के बीच, यह आंकड़ा पवित्र माना जाता है, क्योंकि यह सममित और असममित दोनों है। पंचग्राम जीवन और स्वास्थ्य का प्रतीक है।

फाइबोनैचि संख्या

पीसा के इटली लियोनार्डो की प्रसिद्ध पुस्तक लिबर अबासी गणितज्ञ, जो बाद में फिबोनाची के रूप में जाना गया, 1202 में प्रकाशित हुआ। इसमें वैज्ञानिक पहले संख्याओं का एक पैटर्न देते हैं, जिसके बीच प्रत्येक संख्या 2 अंकों का योग है। फाइबोनैचि संख्याओं का क्रम इस प्रकार है:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, आदि।

वैज्ञानिक ने कई प्रतिमानों का भी हवाला दिया:

अगले से विभाजित श्रृंखला से कोई भी संख्या एक मान के बराबर होगी जो 0.618 तक जाती है। इसके अलावा, पहले फाइबोनैचि संख्याएं इस तरह की संख्या नहीं देती हैं, लेकिन जैसा कि आप अनुक्रम की शुरुआत से आगे बढ़ते हैं, यह अनुपात अधिक सटीक होगा।

यदि आप श्रृंखला से संख्या को पिछले एक में विभाजित करते हैं, तो परिणाम 1.618 तक पहुंच जाएगा।

एक के माध्यम से अगले द्वारा विभाजित एक संख्या 0.382 के लिए एक मूल्य प्रवृत्ति दिखाएगा।

संबंध और सुनहरे अनुपात के नियम, फाइबोनैचि संख्या (0.618) को न केवल गणित में, बल्कि प्रकृति में, इतिहास में, वास्तुकला और निर्माण में, और कई अन्य विज्ञानों में भी पाया जा सकता है।

व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, वे 18 \u003d 1.618 या, \u003d 1.62 के अनुमानित मूल्य तक सीमित हैं। प्रतिशत गोल मूल्य में, 62% और 38% के संबंध में स्वर्ण अनुपात किसी भी मूल्य का विभाजन है।

ऐतिहासिक रूप से, सुनहरे खंड को मूल रूप से खंड एबी के विभाजन को बिंदु सी द्वारा दो भागों (एक छोटा खंड एसी और एक बड़ा खंड ईसा पूर्व) में कहा जाता था, ताकि खंडों की लंबाई के लिए एसी / बीसी \u003d बीसी / एबी सच हो। सरल शब्दों में, स्वर्ण खंड खंड को दो असमान भागों में काटता है, ताकि छोटा भाग बड़े, संपूर्ण खंड के लिए बड़ा हो। बाद में, इस अवधारणा को मनमाने मूल्यों तक बढ़ाया गया था।

नंबर also भी कहा जाता है  सुनहरा नंबर।

सुनहरे अनुपात में कई अद्भुत गुण हैं, लेकिन, इसके अलावा, कई काल्पनिक गुणों को इसके लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है।

अब विवरण के लिए:

ZS की परिभाषा एक खंड के दो भागों में इस तरह से एक अनुपात है कि एक बड़ा हिस्सा एक छोटे से एक को संदर्भित करता है, जैसा कि उनकी राशि (पूरे खंड) को एक बड़ा।

यही है, अगर हम पूरे खंड को 1 के रूप में लेते हैं, तो खंड 0.618 होगा, खंड बी - 0.382। इस प्रकार, यदि हम एक संरचना लेते हैं, उदाहरण के लिए, एपी के सिद्धांत पर निर्मित मंदिर, तो इसकी ऊंचाई 10 मीटर के साथ, गुंबद के साथ ड्रम की ऊंचाई 3.82 सेमी होगी, और संरचना के आधार की ऊंचाई 6, 18 सेमी होगी (यह स्पष्ट है कि संख्याएँ) स्पष्टता के बराबर)

और ZS और फाइबोनैचि संख्याओं के बीच क्या संबंध है?

फाइबोनैचि अनुक्रम संख्या हैं:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

संख्याओं का पैटर्न यह है कि प्रत्येक बाद की संख्या दो पिछली संख्याओं के योग के बराबर है।
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 \u003d 21 आदि।

और आसन्न संख्याओं का अनुपात ZS के अनुपात में आता है।
तो, 21: 34 \u003d 0.617, और 34: 55 \u003d 0.618।

अर्थात्, ZS का आधार फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ हैं।

यह माना जाता है कि शब्द "गोल्डन सेक्शन" लियोनार्डो दा विंची द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने कहा, "कोई भी नहीं, एक गणितज्ञ होने के नाते, मेरे कामों को पढ़ने की हिम्मत करें" और मानव शरीर के अनुपात को उनकी प्रसिद्ध ड्राइंग "विटालियन मैन" में दिखाएं। "अगर हम एक मानव आकृति हैं - ब्रह्मांड की सबसे उत्तम रचना - हम एक बेल्ट के साथ बांधेंगे और फिर बेल्ट से पैरों तक की दूरी को मापेंगे, तो यह मान उसी बेल्ट से मुकुट तक की दूरी को संदर्भित करेगा, जैसे बेल्ट की लंबाई से लेकर पैरों तक पूरे व्यक्ति की वृद्धि।"

फाइबोनैचि संख्याओं की एक श्रृंखला एक सर्पिल के रूप में नेत्रहीन (भौतिक) होती है।

और प्रकृति में, ZS सर्पिल इस तरह दिखता है:

इसके अलावा, सर्पिल हर जगह (प्रकृति में और न केवल) मनाया जाता है:

अधिकांश पौधों में बीज एक सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं
- स्पाइडर एक सर्पिल में एक वेब बुनता है
- एक सर्पिल में एक तूफान घूमता है
- बारहसिंगों का भयभीत झुंड एक सर्पिल में चलता है।
- डीएनए अणु को डबल हेलिक्स में घुमाया जाता है। डीएनए अणु में दो लंबवत बाध्य सर्पिल होते हैं जो 34 एंगस्ट्रॉम लंबे और 21 एंगस्ट्रॉम चौड़े होते हैं। संख्या 21 और 34 फाइबोनैचि अनुक्रम में एक दूसरे का अनुसरण करते हैं।
- भ्रूण एक सर्पिल आकार में विकसित होता है
- सर्पिल "आंतरिक कान में घोंघे"
- पानी एक सर्पिल में एक नाली में चला जाता है
- सर्पिल गतिकी एक व्यक्ति के व्यक्तित्व के विकास और एक सर्पिल में उसके मूल्यों को दर्शाती है।
- और, निश्चित रूप से, गैलेक्सी का एक सर्पिल आकार है

इस प्रकार, यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रकृति स्वयं स्वर्ण खंड के सिद्धांत पर बनी है, यही कारण है कि यह अनुपात मानव आँख द्वारा अधिक सामंजस्यपूर्ण रूप से माना जाता है। इसके लिए "सुधार" की आवश्यकता नहीं है या इसके परिणामस्वरूप दुनिया की तस्वीर नहीं है।

फिल्म। ईश्वर की संख्या। ईश्वर के अकाट्य प्रमाण; ईश्वर की संख्या। ईश्वर का अविवेकी प्रमाण।

डीएनए अणु की संरचना में स्वर्ण अनुपात

जीवित चीजों की शारीरिक विशेषताओं के बारे में सभी जानकारी एक सूक्ष्म डीएनए अणु में संग्रहीत होती है, जिसकी संरचना में सुनहरे अनुपात का कानून भी शामिल है। डीएनए अणु में दो लंबवत इंटरवॉवन सर्पिल होते हैं। इन सर्पिलों में से प्रत्येक की लंबाई 34 कोण, 21 कोण की चौड़ाई है। (1 एंगस्ट्रॉम - एक सेंटीमीटर का एक सौ मिलियनवां हिस्सा)।

फाइबोनैचि संख्याओं के अनुक्रम में 21 और 34 एक दूसरे का अनुसरण कर रहे हैं, अर्थात्, डीएनए अणु के लघुगणक सर्पिल की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 1: 1.618 है।

सूक्ष्मजीवों की संरचना में स्वर्ण खंड

ज्यामितीय आकार केवल एक त्रिकोण, एक वर्ग, एक पेंटागन या एक षट्भुज तक सीमित नहीं हैं। यदि हम इन आंकड़ों को एक-दूसरे के साथ अलग-अलग तरीकों से जोड़ते हैं, तो हमें नए तीन-आयामी ज्यामितीय आंकड़े मिलेंगे। इसके उदाहरण एक घन या पिरामिड जैसे आंकड़े हैं। हालांकि, उनके अलावा, अन्य तीन आयामी आंकड़े भी हैं जिनके साथ हमने रोजमर्रा की जिंदगी में सामना नहीं किया है, और जिनके नाम हम सुनते हैं, शायद पहली बार। इस तरह के तीन आयामी आंकड़ों में, एक टेट्राहेड्रॉन (एक नियमित चार-पक्षीय आंकड़ा), एक ऑक्टाहेड्रन, एक डोडेकेहेड्रन, एक इकोसैहेड्रॉन, आदि का नाम दे सकता है। डोडेकेहेड्रोन में 13 पेंटागन होते हैं, 20 त्रिकोणों के आइकोसैहेड्रॉन। गणितज्ञ ध्यान देते हैं कि ये आंकड़े गणितीय रूप से बहुत आसानी से रूपांतरित हो जाते हैं, और उनका परिवर्तन स्वर्ण अनुपात लघुगणकीय सर्पिल के सूत्र के अनुसार होता है।

माइक्रोवर्ल्ड में, सुनहरे अनुपात में निर्मित त्रि-आयामी लॉगरिदमिक रूप सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, कई वायरस में आइकोसैहेड्रोन का त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार होता है। शायद इन वायरस में सबसे प्रसिद्ध एडेनो वायरस है। एडिनो वायरस का प्रोटीन कोट एक निश्चित क्रम में स्थित प्रोटीन कोशिकाओं की 252 इकाइयों से बनता है। इकोसैहेड्रोन के प्रत्येक कोने में, एक पंचकोणीय प्रिज़्म के रूप में प्रोटीन कोशिकाओं की 12 इकाइयाँ होती हैं और इन कोणों से स्पाइक जैसी संरचनाएँ विस्तारित होती हैं।

पहली बार, 1950 के दशक में वायरस की संरचना में सुनहरे अनुपात की खोज की गई थी। लंदन बिर्कबेक कॉलेज के वैज्ञानिक ए। क्लग और डी। कास्पर। 13 पहला लॉगरिदमिक रूप अपने आप में पोलीओ वायरस द्वारा प्रकट किया गया था। इस वायरस का रूप राइनो 14 वायरस के रूप के समान था।

सवाल यह उठता है कि वायरस ऐसे जटिल त्रि-आयामी रूप कैसे बनाते हैं, जिनके डिवाइस में एक सुनहरा खंड होता है, जिसे बनाने के लिए हमारे मानव मन भी काफी मुश्किल है? वायरस के इन रूपों के अग्रणी, वायरोलॉजिस्ट ए। क्लग यह टिप्पणी देते हैं:

"डॉ। कैस्पर और मैंने दिखाया कि वायरस के गोलाकार लिफाफे के लिए, सबसे इष्टतम आकार icosahedron आकार की तरह समरूपता है। ऐसा आदेश कनेक्ट करने वाले तत्वों की संख्या को कम करता है ... बुकमिनीस्टर फुलर के अधिकांश जियोडेसिक गोलार्द्ध के क्यूब्स एक समान ज्यामितीय सिद्धांत के अनुसार निर्मित होते हैं। 14 ऐसे क्यूब्स की स्थापना के लिए एक अत्यंत सटीक और विस्तृत विवरण योजना की आवश्यकता होती है। जबकि अचेतन विषाणु स्वयं लोचदार, लचीली प्रोटीन कोशिका इकाइयों के ऐसे जटिल लिफाफे का निर्माण करते हैं। "

वह फिबोनाची श्रृंखला की अवधारणा के बारे में बात करेंगे और यह कैसे तरंगों के सिद्धांत से संबंधित है, और प्राकृतिक प्रक्रियाओं के लिए श्रृंखला की प्रयोज्यता का खंडन भी करता है।
  , जो पिछली शताब्दी के 30 के दशक में विकसित हुआ था, सबसे रोमांचक वर्गों में से एक है। अपने आप में, यह विज्ञान के एक नए अध्याय में प्रकाश डाला गया जो ग्राफिक्स का अध्ययन करता है। यह सिद्धांत के क्षेत्र में अन्य विशेषज्ञों के विकास पर आधारित है (मैं आपको पढ़ने के लिए सलाह देता हूं - लेखक के तहत एक पुस्तक)।
  इसलिए, उदाहरण के लिए, महान इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फाइबोनैचि को एक वैज्ञानिक माना जाता है (जिसका मैंने पहले ही लेखों में उल्लेख किया है), जिन्होंने एलियट के सिद्धांत का आधार बनाया था।

फाइबोनैचि संख्याओं की डिजिटल श्रृंखला - स्वर्ण अनुपात और गुणांक या सुधार स्तर + वीडियो। प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या।

विशेषज्ञ XIII सदी में रहते थे। वैज्ञानिक ने "कम्प्यूटिंग की पुस्तक" नामक एक काम प्रकाशित किया। इस पुस्तक ने यूरोप को पेश किया, जो उस समय के लिए महत्वपूर्ण था, न कि केवल खोज - दशमलव संख्या प्रणाली। इस प्रणाली ने संचलन में शून्य से नौ तक हमारे परिचित नंबरों को पेश किया।

रोम के पतन के बाद से इस प्रणाली का उद्भव यूरोप की पहली महत्वपूर्ण उपलब्धि थी। मध्य युग के लिए फाइबोनैचि ने संख्यात्मक विज्ञान को बनाए रखा। और अन्य विज्ञानों के विकास के लिए भी गहरी नींव रखी, जैसे उच्च गणित, भौतिकी, खगोल विज्ञान, मैकेनिकल इंजीनियरिंग।

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संख्या और उनका व्युत्पन्न कैसे प्रकट हुआ?

एक लागू समस्या का समाधान, लियोनार्डो भर में आया था फाइबोनैचि संख्याओं की एक उत्सुक श्रृंखला,  जिसके आरंभ में दो इकाइयाँ हैं।

प्रत्येक बाद का सदस्य पिछले दो का योग है। सबसे उत्सुक बात यह है कि फाइबोनैचि संख्या श्रृंखला एक उल्लेखनीय अनुक्रम है यदि किसी सदस्य को पिछले एक से विभाजित किया जाता है, तो आपको एक संख्या मिलेगी जो 0.618 के करीब है। इस नंबर को नाम दिया गया था " स्वर्ण अनुपात».

यह पता चला कि यह संख्या बहुत लंबे समय तक मानव जाति के लिए जानी जाती थी। उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र में, पिरामिड इसके उपयोग के साथ बनाए गए थे, और प्राचीन यूनानियों ने इस पर अपने मंदिर बनाए थे। लियोनार्डो दा विंची ने दिखाया कि मानव शरीर की संरचना इस संख्या का पालन कैसे करती है।

प्रकृति अपने सबसे गुप्त और उन्नत क्षेत्रों में फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करती है। परमाणु संरचनाओं और अन्य छोटे रूपों जैसे डीएनए अणुओं और मस्तिष्क के माइक्रोकैपिलरी से लेकर विशाल कक्षाएँ और आकाशगंगाओं की संरचनाएँ। कई उदाहरण इतने महान हैं कि यह तर्क दिया जाना चाहिए कि प्रकृति में वास्तव में अनुपात का एक निश्चित बुनियादी नियम है।

इसलिए, यह आश्चर्यजनक नहीं है कि फाइबोनैचि श्रृंखला और सुनहरे अनुपात ने स्टॉक चार्ट्स के लिए अपना रास्ता बनाया। और एक नंबर 0.618 नहीं, बल्कि इसका डेरिवेटिव भी।

यदि आप पहले, दूसरे, तीसरे और चौथे डिग्री तक सुनहरा अनुपात बढ़ाते हैं और एकता से परिणाम घटाते हैं, तो आपको एक नई श्रृंखला मिलती है, जिसे "कहा जाता है" फाइबोनैचि सुधार कारक"। यह केवल पाँच दहाई का निशान जोड़ने के लिए बना हुआ है - यह पचास प्रतिशत है।

हालांकि, यह सब नहीं है जो सुनहरे अनुपात के साथ किया जा सकता है। यदि हम इकाई को 0.618 से विभाजित करते हैं, तो यह 1.618 निकलता है, यदि हम इसे वर्ग करते हैं, तो हमें 2.618 मिलता है, यदि हम इसे वर्ग करते हैं, तो हमें 4.236 नंबर मिलता है। ये फाइबोनैचि विस्तार गुणांक हैं। क्या गायब है जॉन मर्फी द्वारा प्रस्तावित संख्या 3.236 है।

अनुक्रम के बारे में विशेषज्ञ क्या सोचते हैं?

कोई कहेगा कि ये संख्या पहले से ही परिचित हैं, क्योंकि उनका उपयोग तकनीकी विश्लेषण कार्यक्रमों में किया जाता है ताकि सुधार और विस्तार की मात्रा निर्धारित की जा सके। इसके अलावा, ये समान श्रृंखला एलियट तरंग सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे इसके संख्यात्मक आधार हैं।

हमारे विशेषज्ञ निकोले सत्यापित Vostok निवेश कंपनी के पोर्टफोलियो प्रबंधक।

• - निकोले, क्या आपको लगता है कि यह आकस्मिक है कि विभिन्न उपकरणों के चार्ट पर फाइबोनैचि संख्याओं की उपस्थिति और इसके डेरिवेटिव? और क्या कोई कह सकता है: "फाइबोनैचि श्रृंखला व्यावहारिक अनुप्रयोग" होता है?
• - मुझे रहस्यवाद के बारे में बुरा लगता है। और एक्सचेंज चार्ट पर सभी अधिक। हर चीज के अपने कारण होते हैं। "फिबोनाची स्तर" पुस्तक में उन्होंने खूबसूरती से बताया कि सुनहरा खंड कहां दिखाई देता है, उन्होंने आश्चर्यचकित होना शुरू नहीं किया कि यह स्टॉक कोट्स चार्ट पर दिखाई दिया। लेकिन व्यर्थ में! कई उदाहरणों में उन्होंने उद्धृत किया, संख्या पाई अक्सर दिखाई देती है। लेकिन किसी कारण से यह मूल्य अनुपात में नहीं है।
• "तो आप एलियट तरंग सिद्धांत की वैधता में विश्वास नहीं करते हैं?"
• "नहीं, यह बात नहीं है।" तरंग सिद्धांत एक बात है। संख्यात्मक अनुपात अलग है। और मूल्य चार्ट पर उनकी उपस्थिति के कारण तीसरे हैं
• - क्या, आपकी राय में, स्टॉक चार्ट पर गोल्डन सेक्शन की उपस्थिति के कारण हैं?
• - इस प्रश्न का सही उत्तर अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार अर्जित करने में सक्षम हो सकता है। अब तक हम सही कारणों का अनुमान लगा सकते हैं। वे स्पष्ट रूप से प्रकृति के साथ सद्भाव में नहीं हैं। एक्सचेंज प्राइसिंग के कई मॉडल हैं। वे संकेतित घटना की व्याख्या नहीं करते हैं। लेकिन घटना की प्रकृति को नहीं समझने के लिए इस तरह की घटना से इनकार नहीं करना चाहिए।
• - और अगर यह कानून कभी खुला है, तो क्या यह विनिमय प्रक्रिया को नष्ट कर सकता है?
• - जैसा कि एक ही लहर सिद्धांत दिखाता है, स्टॉक की कीमतों को बदलने का कानून शुद्ध मनोविज्ञान है। मुझे ऐसा लगता है कि इस कानून का ज्ञान कुछ भी नहीं बदलेगा और विनिमय को नष्ट नहीं कर सकता है।

वेबमास्टर मैक्सिम के ब्लॉग द्वारा प्रदान की गई सामग्री।

विभिन्न सिद्धांतों में गणित के सिद्धांतों की नींव का संयोग अविश्वसनीय लगता है। शायद यह एक कल्पना है या अंतिम परिणाम के लिए फिट है। रुको और देखो। बहुत पहले जो असामान्य माना जाता था या संभव नहीं था: अंतरिक्ष अन्वेषण, उदाहरण के लिए, परिचित हो गया है और किसी को आश्चर्य नहीं करता है। इसके अलावा, तरंग सिद्धांत, जो समझ से बाहर हो सकता है, अंततः अधिक सुलभ और समझ में आ जाएगा। अनुभव के साथ एक विश्लेषक के हाथों में पहले जो अनावश्यक था वह आगे के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण बन जाएगा।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या।

देखना

और अब, इस बारे में बात करते हैं कि आप इस तथ्य का खंडन कैसे कर सकते हैं कि फिबोनाची डिजिटल श्रृंखला प्रकृति में किसी भी पैटर्न में शामिल है।

किसी भी अन्य दो संख्याओं को लें और उसी तर्क के साथ एक अनुक्रम बनाएँ जैसे कि फाइबोनैचि संख्याएँ। अर्थात्, अनुक्रम का अगला सदस्य दो पिछले वाले के योग के बराबर है। उदाहरण के लिए, दो संख्याएँ लेते हैं: 6 और 51। अब हम एक क्रम बनाएंगे, जिसे हम दो संख्याओं 1860 और 3009 के साथ समाप्त करते हैं। ध्यान दें कि जब इन संख्याओं को विभाजित करते हैं, तो हम सुनहरे अनुपात के करीब एक संख्या प्राप्त करते हैं।

इसके अलावा, अन्य जोड़ियों को विभाजित करके प्राप्त की गई संख्या पहले से आखिरी तक कम हो गई, जो बताती है कि यदि यह श्रृंखला अनिश्चित काल तक जारी रहती है, तो हमें स्वर्ण अनुपात के बराबर संख्या मिलेगी।

इस प्रकार, फाइबोनैचि संख्याएं किसी भी चीज से बाहर नहीं निकलती हैं। संख्याओं के अन्य क्रम हैं, जिनमें से एक अनंत संख्या है, जो एक ही संचालन के परिणामस्वरूप देते हैं स्वर्ण संख्या phi।

फाइबोनैचि एक गूढ़ नहीं था। वह किसी भी रहस्यवाद को संख्याओं में निवेश नहीं करना चाहता था, उसने बस खरगोशों की साधारण समस्या को हल किया। और उन्होंने संख्याओं का एक क्रम लिखा जो उनके कार्य से पहले, दूसरे और दूसरे महीनों में बहती थी, प्रजनन के बाद कितने खरगोश होंगे। एक साल के भीतर, वह बहुत अनुक्रम प्राप्त किया। और संबंध नहीं बनाया। कोई सुनहरा अनुपात, भाषण का दैवीय संबंध नहीं था। यह सब नवजागरण में उनके बाद आविष्कार किया गया था।

गणित से पहले, फिबोनाची के गुण विशाल हैं। उसने अरबों से संख्याओं की प्रणाली को अपनाया और अपना न्याय सिद्ध किया। यह एक कठिन और लंबा संघर्ष था। रोमन अंक प्रणाली से: गिनती के लिए भारी और असुविधाजनक। वह फ्रांसीसी क्रांति के बाद गायब हो गई। इसका फिबोनाची स्वर्ण अनुपात से कोई लेना-देना नहीं है।

स्वाभाविक रूप से कई सर्पिल हैं, सबसे लोकप्रिय: प्राकृतिक लघुगणक सर्पिल, आर्किमिडीज सर्पिल, हाइपरबोलिक सर्पिल।

अब आइए फिबोनाची सर्पिल पर एक नज़र डालें। इस टुकड़ा-समग्र इकाई में कई तिमाहियों के मंडल होते हैं। और यह इस तरह से एक सर्पिल नहीं है।

निष्कर्ष

कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम विनिमय पर फिबोनाची श्रृंखला की प्रयोज्यता की पुष्टि या खंडन के लिए कितने समय तक देखते हैं, ऐसी प्रथा मौजूद है।

बहुत से लोगों का समूह फाइबोनैचि लाइन के अनुसार काम करता है, जो कई उपयोगकर्ता टर्मिनलों में स्थित है। इसलिए, हम चाहे या न चाहें: फिबोनाची संख्या प्रभावित करते हैं, और हम इस प्रभाव का लाभ उठा सकते हैं।

यूक्रेन के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय

ओडेसा राज्य आर्थिक विश्वविद्यालय

विभाग ________________________

"आर्थिक विश्लेषण" पाठ्यक्रम पर सार

विषय पर:

फाइबोनैचि संख्या: तकनीकी विश्लेषण।

पूर्ण: 33 वें FME समूह का छात्र

कुशनिरेंको सर्गेई

पर्यवेक्षक:

कोफ्तेल्टसेवा लिडिया वासिलिवना

ओडेसा

परिचय। 3

अनुक्रम का इतिहास और गुण। 3

प्रवृत्ति परिवर्तन में फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग। 5

फिबोनाची कई मूल्य लक्ष्य। 8

निष्कर्ष। 11

संदर्भ .. १२

परिचय।

पिसा (1180-1240) से इतालवी व्यापारी लियोनार्डो, जो कि फिबोनाची उपनाम के तहत जाना जाता है, अब तक मध्य युग का सबसे महत्वपूर्ण गणितज्ञ था। गणित के विकास में उनकी पुस्तकों की भूमिका और यूरोप में गणितीय ज्ञान का प्रसार कठिन है।
  लियोनार्ड का जीवन और वैज्ञानिक कैरियर यूरोपीय संस्कृति और विज्ञान के विकास के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है।
  फिबोनाची शताब्दी में, आपत्ति अभी भी दूर थी, लेकिन इतिहास ने इटली को कुछ समय की अवधि दी, जिसे अच्छी तरह से आसन्न पुनर्जागरण का पूर्वाभ्यास कहा जा सकता है। यह पूर्वाभ्यास जर्मन राष्ट्र के पवित्र रोमन साम्राज्य के सम्राट (1220 से) फ्रेडरिक 2 के नेतृत्व में किया गया था। दक्षिणी इटली की परंपराओं में उठाया गया, फ्रेडरिक II यूरोपीय ईसाई धर्म से आंतरिक रूप से बहुत दूर था। इसलिए, ईसाई विद्वानों के साथ, उन्होंने अरबों और यहूदियों को उनके द्वारा स्थापित नेपल्स विश्वविद्यालय में पढ़ाने के लिए आकर्षित किया।
  फ्रेडरिक द्वितीय ने अपने दादा द्वारा शूरवीर टूर्नामेंट को इतना प्रिय नहीं पहचाना, जिसमें जनता के मनोरंजन के लिए लड़ाई एक दूसरे को अपंग बना देती थी। इसके बजाय, उन्होंने बहुत कम खूनी गणित प्रतियोगिताओं की खेती की जिसमें विरोधियों ने विस्फोट नहीं बल्कि कार्यों का आदान-प्रदान किया।
  इस तरह के टूर्नामेंट में लियोनार्ड फाइबोनैचि की प्रतिभा चमक गई। यह व्यापारी बोनाचि द्वारा बेटे को दी गई अच्छी शिक्षा के कारण हुआ, जो उसे अपने साथ पूर्व में ले गया और अरब शिक्षकों को उसे सौंपा।
  इसके बाद, फिबोनाची ने फ्रेडरिक II के निरंतर संरक्षण का आनंद लिया।
  इस संरक्षण ने फिबोनाची वैज्ञानिक ग्रंथों के विमोचन को प्रेरित किया:
  1202 में लिखी गई विशाल "अबैकस बुक", लेकिन इसके दूसरे संस्करण में हमारे पास आई है, जिसका संदर्भ 1228 है; "ज्यामिति का अभ्यास" (1220); "वर्गों की पुस्तकें" (1225)। इन पुस्तकों से, अरबी और मध्ययुगीन यूरोपीय कार्यों के लिए अपने स्तर से बेहतर, उन्होंने लगभग डेसकार्टेस (17 वीं शताब्दी) तक गणित पढ़ाया।

सबसे बड़ी दिलचस्पी का काम "द बुक ऑफ द अबैकस" है। यह पुस्तक उस समय की लगभग सभी अंकगणितीय और बीजगणितीय जानकारी वाली एक स्वैच्छिक कृति है, जिसने अगले कई सदियों में पश्चिमी यूरोप में गणित के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। विशेष रूप से, यह इस पुस्तक से था कि यूरोपीय हिंदू ("अरब") आंकड़ों से परिचित हो गए।

इस निबंध का मुख्य उद्देश्य ट्रिब्यूनल विश्लेषण के अभ्यास में फाइबोनैचि संख्याओं के मूल गुणों और उनके अनुप्रयोग का अध्ययन करना है।

अनुक्रम का इतिहास और गुण।

लियोनार्ड फिबोनाची मध्य युग के महानतम गणितज्ञों में से एक है। अपने एक काम में, "कम्प्यूटेशन की पुस्तक," फिबोनाची ने कैलकुलस की इंडो-अरब प्रणाली और रोमन एक पर इसके उपयोग के लाभों का वर्णन किया।

फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम में कई दिलचस्प गुण हैं। उदाहरण के लिए, एक क्रम में दो आसन्न संख्याओं का योग उनके बाद एक मान देता है (उदाहरण के लिए, 1 + 1 \u003d 2; 2 + 3 \u003d 5, आदि), जो तथाकथित फाइबोनैचि गुणांक के अस्तित्व की पुष्टि करता है, अर्थात्। निरंतर अनुपात।

अनुक्रम के विभिन्न सदस्यों के इन गुणों में से एक सबसे महत्वपूर्ण परिणाम निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

1. अगली संख्या के अनुपात में क्रम संख्या को बढ़ाकर 0.618 से अधिक हो जाता है। प्रत्येक संख्या का अनुपात पिछले एक से बढ़कर 1.618 (0.618 के विपरीत) हो जाता है। 0.618 नंबर (FI) कहा जाता है, और हम इसके बारे में थोड़ी देर बाद और विस्तार से बात करेंगे।

2. जब प्रत्येक संख्या को अगले एक के बाद एक के माध्यम से विभाजित किया जाता है, तो हमें 0.382 नंबर मिलता है; इसके विपरीत, क्रमशः 2.618।

3. इस तरह से अनुपात चुनने पर, हमें फाइबोनैचि गुणांक का मुख्य सेट मिलता है: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236। उल्लेख भी 0.5 (1/2)। वे सभी प्रकृति में और विशेष रूप से तकनीकी विश्लेषण में एक विशेष भूमिका निभाते हैं।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि फाइबोनैचि मानवता के लिए अपनी निरंतरता को याद दिलाता था। यह प्राचीन यूनानियों और मिस्रियों के लिए जाना जाता था। और वास्तव में, तब से, प्रकृति, वास्तुकला, कला, गणित, भौतिकी, खगोल विज्ञान, जीव विज्ञान और कई अन्य क्षेत्रों में फाइबोनैचि गुणांक द्वारा वर्णित पैटर्न पाए गए हैं।

उदाहरण के लिए, संख्या 0.618 तथाकथित स्वर्ण खंड (छवि 1) में एक निरंतर गुणांक है, जहां किसी भी खंड को इस तरह से विभाजित किया जाता है कि उसके छोटे और अधिकांश भाग के बीच का अनुपात बहुमत और पूरे खंड के बीच के अनुपात के बराबर होता है। इस प्रकार, 0.618 संख्या को स्वर्णिम अनुपात या स्वर्णिम माध्य के रूप में भी जाना जाता है। इस तरह का अनुपात हर जगह बिल्कुल पाया जा सकता है (छवि 2)।

चित्रा 1. स्वर्ण अनुपात

चित्रा 2. फाइबोनैचि अनुपात के उदाहरण

सुनहरे अनुपात का उपयोग प्रकृति द्वारा बड़े से छोटे तक, इसके भागों को बनाने के लिए किया जाता है। आधुनिक विज्ञान का मानना \u200b\u200bहै कि ब्रह्मांड तथाकथित गोल्डन सर्पिल (छवि 3) के साथ विकसित हो रहा है, जिसे सुनहरे अनुपात का उपयोग करके बनाया गया है। इस सर्पिल का शाब्दिक कोई अंत नहीं है और न ही कोई शुरुआत है। छोटे कॉइल कभी भी एक ही बिंदु पर नहीं मिलते हैं और बड़े कॉइल अंतरिक्ष में असीमित रूप से विकसित होते हैं।

चित्रा 3. गोल्डन सर्पिल

निम्नलिखित अनुपात में से कुछ:

सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इन सभी की मदद से, किसी तरह से ब्रह्मांड में रहस्यमय, संख्याओं, विषम प्रक्रियाओं का वर्णन किया गया है।

प्रवृत्ति परिवर्तन में फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग।

उपरोक्त अनुक्रम का अध्ययन करने के बाद, हम मूल्य की भविष्यवाणी करने में फिबोनाची अनुक्रम के उपयोग को मान सकते हैं, अर्थात्। तकनीकी विश्लेषण में।

इस विचार को 30 के दशक में सबसे प्रसिद्ध लोगों में से एक ने व्यक्त किया था जिन्होंने तकनीकी विश्लेषण के सिद्धांत में योगदान दिया था - राल्फ नेल्सन इलियट। तब से, तकनीकी विश्लेषण के लगभग सभी तरीकों में इस विचार को लागू करने के ठोस लाभ संदेह से परे हैं।

राल्फ नेल्सन इलियट एक इंजीनियर थे। 1930 के दशक की शुरुआत में एक गंभीर बीमारी के बाद। उन्होंने स्टॉक की कीमतों का विश्लेषण किया, विशेष रूप से डॉव जोन्स इंडेक्स। अत्यधिक सफल भविष्यवाणियों की एक श्रृंखला के बाद, इलियट ने 1939 में वित्तीय विश्व पत्रिका में लेखों की एक श्रृंखला प्रकाशित की। उन्होंने पहली बार अपनी बात प्रस्तुत की कि डॉव जोंस इंडेक्स की चाल कुछ लय का पालन करती है। इलियट के अनुसार, ये सभी आंदोलन एक ही कानून का पालन करते हैं जैसे ज्वार - ज्वार, ईब का अनुसरण करता है, क्रिया (क्रिया) के बाद प्रतिक्रिया (प्रतिक्रिया) होती है। यह योजना समय पर निर्भर नहीं करती है, क्योंकि बाजार की संरचना, पूरे के रूप में, अपरिवर्तित बनी हुई है।

इलियट ने लिखा है: "प्रकृति के नियम में सबसे महत्वपूर्ण प्राथमिक लय शामिल है। प्रकृति का नियम एक निश्चित प्रणाली नहीं है, न कि बाजार पर खेलने की एक विधि, बल्कि एक घटना की विशेषता है, जाहिर है, किसी भी मानवीय गतिविधि के पाठ्यक्रम के लिए। पूर्वानुमान में इसका आवेदन क्रांतिकारी है।"

मूल्य आंदोलनों की भविष्यवाणी करने का यह मौका विश्लेषकों के दिग्गजों को दिन और रात काम करने के लिए प्रोत्साहित करता है। अपने दृष्टिकोण का परिचय, इलियट बहुत विशिष्ट था। उन्होंने लिखा: "तीन विशिष्ट विशेषताएं किसी भी मानवीय गतिविधि में अंतर्निहित हैं: रूप, समय और दृष्टिकोण - और वे सभी फाइबोनैचि योग अनुक्रम का पालन करते हैं।"

व्यवहार में फाइबोनैचि संख्याओं को लागू करने का सबसे सरल तरीका समय की लंबाई निर्धारित करना है जिसके माध्यम से एक घटना घटित होगी, उदाहरण के लिए, प्रवृत्ति में बदलाव। विश्लेषक पिछली समान घटना से एक निश्चित संख्या में फाइबोनैचि दिनों या हफ्तों (13, 21, 34, 55, आदि) को गिनता है।

साइकिल के सिद्धांत में एक अवधि की अवधि निर्धारित करने में फाइबोनैचि संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। प्रत्येक प्रमुख चक्र का आधार एक निश्चित संख्या में दिन, सप्ताह, महीने हैं जो फाइबोनैचि संख्याओं से जुड़े हैं। उदाहरण के लिए, कोंड्रैटिव चक्र (वेव) की लंबाई 54 वर्ष है। इस मात्रा की निकटता को फाइबोनैचि संख्या 55 पर ध्यान दें।

फाइबोनैचि संख्या का उपयोग करने के तरीकों में से एक आर्क्स (छवि 4) का निर्माण करना है।

चित्रा 4. आर्क्स।

इस तरह के आर्क के लिए केंद्र को महत्वपूर्ण छत (शीर्ष) या नीचे (नीचे) के बिंदु पर चुना जाता है। आर्क्स की त्रिज्या की गणना पिछले महत्वपूर्ण गिरावट या कीमतों में वृद्धि के मूल्य से फाइबोनैचि गुणांक को गुणा करके की जाती है।

इसके लिए चुने गए गुणांक 38.2%, 50%, 61.8% हैं। उनके स्थान के अनुसार, आर्क्स प्रतिरोध या समर्थन की भूमिका निभाएंगे।

फाइबोनैचि संख्या एक संख्यात्मक अनुक्रम के तत्व हैं।

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, जिसमें प्रत्येक बाद की संख्या दो पिछली संख्याओं के योग के बराबर है। इसका नाम मध्ययुगीन गणितज्ञ लियोनार्डो ऑफ पीसा (या फिबोनाची) के नाम पर रखा गया है, जो इतालवी शहर पीसा में एक व्यापारी और गणितज्ञ के रूप में रहते थे और काम करते थे। वह अपने समय के सबसे प्रसिद्ध यूरोपीय वैज्ञानिकों में से एक हैं। उनकी सबसे बड़ी उपलब्धियों में अरबी अंकों का परिचय है जो रोमन लोगों को प्रतिस्थापित करता है। Fn \u003d Fn-1 + Fn-2

गणितीय श्रृंखला asymptotically (अर्थात, अधिक से अधिक धीरे-धीरे और धीरे-धीरे आ रही है) एक निरंतर अनुपात में जाती है। हालाँकि, यह रवैया तर्कहीन है; इसमें दशमलव मानों का एक अनंत, अप्रत्याशित क्रम होता है जो इसके बाद पंक्तिबद्ध होता है। इसे कभी भी सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। यदि प्रत्येक संख्या जो एक श्रृंखला का हिस्सा है, पिछले मूल्य (उदाहरण के लिए, 13- ^ 8 या 21 -I) से विभाजित होती है, तो कार्रवाई का परिणाम उस अनुपात में व्यक्त किया जाएगा जो श्रृंखला के पड़ोसी संबंधों की तुलना में थोड़ा बड़ा या थोड़ा कम, अपरिमेय संख्या 1.61803397575 के आसपास उतार-चढ़ाव करता है। अनुपात कभी भी अनंत तक नहीं होगा, अंतिम अंक के लिए सटीक होगा (यहां तक \u200b\u200bकि हमारे समय में बनाए गए सबसे शक्तिशाली कंप्यूटरों का उपयोग करते समय)। संक्षिप्तता के लिए, हम 1.618 नंबर का उपयोग फाइबोनैचि अनुपात के रूप में करेंगे, और हम पाठकों से इस त्रुटि के बारे में नहीं भूलने के लिए कहते हैं।

विश्लेषण के दौरान फाइबोनैचि संख्याएं भी महत्वपूर्ण हैं। दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक को निर्धारित करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म। फाइबोनैचि संख्या पास्कल त्रिकोण (द्विपद गुणांक) के विकर्ण सूत्र में होती है।

फाइबोनैचि संख्याएं गोल्डन अनुपात से संबंधित हैं।

सुनहरा अनुपात प्राचीन मिस्र और बाबुल, भारत और चीन में जाना जाता था। "स्वर्णिम अनुपात" क्या है? उत्तर अभी भी अज्ञात है। हमारे समय में अभ्यास के सिद्धांत के लिए फाइबोनैचि संख्या वास्तव में प्रासंगिक हैं। महत्व का उदय 20 वीं शताब्दी में हुआ और आज भी जारी है। अर्थशास्त्र और कंप्यूटर विज्ञान में फाइबोनैचि संख्याओं के उपयोग ने लोगों के अध्ययन को आकर्षित किया है।

मेरे शोध की पद्धति विशेष साहित्य का अध्ययन करना और प्राप्त सूचनाओं का सामान्यीकरण करना था, साथ ही अपने स्वयं के अनुसंधान का संचालन करना और संख्याओं के गुणों और उनके दायरे की पहचान करना था।

वैज्ञानिक अनुसंधान के दौरान, उन्होंने फिबोनाची संख्याओं, उनकी संपत्तियों की बहुत अवधारणाओं को निर्धारित किया। मुझे वन्यजीवों में भी दिलचस्प पैटर्न का पता चला, सीधे सूरजमुखी के बीजों की संरचना में।

एक सूरजमुखी पर, बीजों को सर्पिल में व्यवस्थित किया जाता है, और दूसरे तरीके से जाने वाले सर्पिल की संख्या अलग होती है - वे लगातार फाइबोनैचि संख्याएं हैं।

इस सूरजमुखी पर 34 और 55 हैं।

अनानास के फलों पर भी यही देखा जाता है, जहां 8 और 14 सर्पिल होते हैं। मकई के पत्ते फाइबोनैचि संख्याओं की अद्वितीय संपत्ति से जुड़े होते हैं।

पौधे के तने के पैरों की पत्तियों की पेचदार व्यवस्था के अनुरूप ए / बी प्रकार के अंश अक्सर क्रमिक फाइबोनैचि संख्याओं के अनुपात होते हैं। हेज़ल के लिए, यह अनुपात 2/3 है, ओक -3 / 5 के लिए, चिनार 5/8 के लिए, विलो 8/13 के लिए, आदि।

पौधे के तने पर पत्तियों के स्थान को ध्यान में रखते हुए, आप देख सकते हैं कि पत्तियों की प्रत्येक जोड़ी (ए और सी) के बीच, तीसरा स्वर्ण खंड (बी) पर स्थित है

फाइबोनैचि संख्या की एक और दिलचस्प संपत्ति यह है कि एकता के अलावा किसी भी दो अलग-अलग फाइबोनैचि संख्याओं का उत्पाद और भागफल कभी एक फाइबोनैचि संख्या नहीं होती है।

अध्ययन के परिणामस्वरूप, मैं निम्नलिखित निष्कर्ष पर आया: फाइबोनैचि संख्या - एक अद्वितीय अंकगणितीय प्रगति जो 13 वीं शताब्दी ईस्वी में दिखाई दी। यह प्रगति अपनी प्रासंगिकता नहीं खोती है, जिसकी पुष्टि मेरे शोध के दौरान की गई थी। फ़िबोनाकी संख्या प्रोग्रामिंग और आर्थिक पूर्वानुमानों में पेंटिंग, वास्तुकला और संगीत में नहीं पाई जाती है। लियोनार्डो दा विंची, माइकल एंजेलो, राफेल और बॉटलिकली जैसे प्रसिद्ध कलाकारों की पेंटिंग सुनहरे खंड के जादू को छुपाती हैं। यहां तक \u200b\u200bकि II शिश्किन ने अपनी पेंटिंग पाइन ग्रोव में सुनहरे अनुपात का इस्तेमाल किया।

यह विश्वास करना मुश्किल है, लेकिन गोल्डन अनुपात भी मोजार्ट, बीथोवेन, चोपिन, आदि जैसे महान संगीतकारों के संगीत कार्यों में पाया जाता है।

वास्तुकला में फाइबोनैचि संख्याएं भी पाई जाती हैं। उदाहरण के लिए, पार्थेनन और नोट्रे डेम के निर्माण में सुनहरे अनुपात का उपयोग किया गया था

मैंने पाया कि हमारे क्षेत्र में फाइबोनैचि संख्याओं का भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, घरों की पट्टियाँ, पेडिमेंट्स।

क्या आपने कभी सुना है कि गणित को "सभी विज्ञानों की रानी" कहा जाता है? क्या आप इस कथन से सहमत हैं? जब तक गणित एक पाठ्यपुस्तक में आपके लिए उबाऊ कार्यों का एक सेट रहता है, तब तक आप इस विज्ञान की सुंदरता, बहुमुखी प्रतिभा और यहां तक \u200b\u200bकि हास्य को महसूस कर सकते हैं।

लेकिन गणित में ऐसे विषय हैं जो चीजों और घटनाओं की उत्सुक टिप्पणियों को बनाने में मदद करते हैं जो हमारे लिए सामान्य हैं। और यहां तक \u200b\u200bकि हमारे ब्रह्मांड के निर्माण में गोपनीयता के घूंघट के पीछे घुसने की कोशिश करते हैं। दुनिया में जिज्ञासु पैटर्न हैं जिन्हें गणित का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है।

हम आपको फिबोनाची संख्या प्रस्तुत करते हैं

फाइबोनैचि संख्या  संख्यात्मक अनुक्रम के तत्व। इसमें, पंक्ति में प्रत्येक अगला नंबर दो पिछले संख्याओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण क्रम: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

इसे इस तरह लिखा जा सकता है:

F 0 \u003d 0, F 1 \u003d 1, F n \u003d F n-1 + F n-2, n। 2

आप नकारात्मक मूल्यों के साथ फाइबोनैचि संख्याओं की एक श्रृंखला शुरू कर सकते हैं। n। इसके अलावा, इस मामले में अनुक्रम दो तरफा है (यानी, नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं को शामिल करता है) और दोनों दिशाओं में अनन्तता को दर्शाता है।

इस तरह के अनुक्रम का एक उदाहरण: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55।

इस मामले में सूत्र इस तरह दिखता है:

एफ एन \u003d एफ एन + 1 - एफ एन + 2  या आप यह कर सकते हैं: एफ-एन \u003d (-1) एन + 1 एफएन.

अब हम "फाइबोनैचि संख्याओं" के नाम से जानते हैं, जो प्राचीन भारतीय गणितज्ञों को यूरोप में उपयोग किए जाने से बहुत पहले से जानते थे। और इस नाम के साथ सामान्य रूप से एक निरंतर ऐतिहासिक मजाक। शुरू करने के लिए, फिबोनाची ने अपने जीवनकाल में खुद को कभी भी फिबोनाची नहीं कहा - यह नाम उनकी मृत्यु के कुछ शताब्दियों बाद ही पीसा के लियोनार्डो के लिए लागू किया जाने लगा। लेकिन चलो क्रम में सब कुछ के बारे में बात करते हैं।

पिसा के लियोनार्डो, उर्फ \u200b\u200bफाइबोनैचि

एक व्यापारी का बेटा, जो गणितज्ञ बन गया, और बाद में मध्य युग के दौरान यूरोप में पहले प्रमुख गणितज्ञ के रूप में पद की मान्यता प्राप्त हुई। कम से कम फाइबोनैचि संख्याओं के लिए धन्यवाद (जो तब याद करते हैं, अभी तक कहा नहीं गया है)। जिसका वर्णन उन्होंने 13 वीं शताब्दी की शुरुआत में अपने काम लिबर अबकी (बुक ऑफ द अबैकस, 1202) में किया था।

अपने पिता के साथ पूर्व की यात्रा करते हुए, लियोनार्डो ने अरब शिक्षकों के साथ गणित का अध्ययन किया (और उस समय वे इस व्यवसाय में थे, और कई अन्य विज्ञानों में, कुछ सर्वश्रेष्ठ विशेषज्ञ)। उन्होंने अरबी अनुवादों में प्राचीन और प्राचीन भारत के गणितज्ञों के कार्यों को पढ़ा।

पूरी तरह से सब कुछ पढ़ने और अपने स्वयं के पूछताछ करने वाले दिमाग से जुड़ा होने के बाद, फिबोनाची ने गणित पर कई वैज्ञानिक ग्रंथ लिखे, जिनमें पहले से उल्लेखित अबैकस बुक भी शामिल है। उसके अलावा, उन्होंने बनाया:

• प्रैक्टिका जियोमेट्रिया (ज्यामिति का अभ्यास, 1220);
• फ्लोस (फूल, 1225 - घन समीकरणों पर अध्ययन);
• लिबर क्वाडरेटम (वर्गों की पुस्तक, 1225 - अनिश्चित द्विघात समीकरणों पर समस्याएं)।

वह गणितीय टूर्नामेंटों का बहुत बड़ा प्रशंसक था, इसलिए अपने ग्रंथों में उसने विभिन्न गणितीय समस्याओं के विश्लेषण पर बहुत ध्यान दिया।

लियोनार्डो के जीवन के बारे में बहुत कम जीवनी संबंधी जानकारी शेष है। नाम के रूप में फाइबोनैचि, जिसके तहत उन्होंने गणित के इतिहास में प्रवेश किया, यह केवल 19 वीं शताब्दी में उनके पास था।

फाइबोनैचि और इसके कार्य

फाइबोनैचि के बाद बड़ी संख्या में समस्याएं बनी रहीं जो निम्नलिखित शताब्दियों में गणितज्ञों के बीच बहुत लोकप्रिय थीं। हम खरगोशों की समस्या पर विचार करेंगे, जिसके समाधान में फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग किया जाता है।

खरगोश न केवल मूल्यवान फर हैं

फाइबोनैचि ने ऐसी स्थितियां निर्धारित की: ऐसी दिलचस्प नस्ल के नवजात खरगोश (नर और मादा) की एक जोड़ी है जो वे नियमित रूप से (दूसरे महीने से शुरू) संतान पैदा करते हैं - हमेशा खरगोशों की एक नई जोड़ी। इसके अलावा, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, पुरुष और महिला।

इन वातानुकूलित खरगोशों को एक सीमित स्थान पर रखा जाता है और उत्साह के साथ प्रजनन किया जाता है। यह भी निर्धारित किया गया है कि कोई भी खरगोश किसी रहस्यमय खरगोश की बीमारी से नहीं मरता है।

हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि एक वर्ष में हमें कितने खरगोश मिलते हैं।

• 1 महीने की शुरुआत में हमारे पास 1 जोड़ी खरगोश हैं। महीने के अंत में वे संभोग करते हैं।
• दूसरे महीने - हमारे पास पहले से ही 2 जोड़े खरगोश हैं (एक जोड़े में - माता-पिता + 1 जोड़े - उनकी संतान)।
• तीसरा महीना: पहली जोड़ी एक नई जोड़ी को जन्म देती है, दूसरी जोड़ी संभोग करती है। कुल - खरगोशों के 3 जोड़े।
• चौथा महीना: पहली जोड़ी एक नई जोड़ी को जन्म देती है, दूसरी जोड़ी समय नहीं गंवाती है और नई जोड़ी को भी जन्म देती है, जबकि तीसरी जोड़ी केवल संभोग करती है। कुल - 5 जोड़े खरगोश।

खरगोशों की संख्या nमहीना \u003d पिछले महीने से खरगोशों के जोड़े की संख्या + नवजात जोड़े की संख्या (अब से 2 महीने पहले खरगोशों के जोड़े जितने हैं)। और यह सब उस सूत्र द्वारा वर्णित है जो हमने पहले ही दिया है: F n \u003d F n-1 + F n-2.

इस प्रकार, हम एक पुनरावृत्ति (का स्पष्टीकरण) प्राप्त करते हैं प्रत्यावर्तन  (नीचे) एक संख्यात्मक अनुक्रम। जिसमें प्रत्येक निम्नलिखित संख्या पिछले दो के योग के बराबर है:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

अनुक्रम को लंबे समय तक जारी रखा जा सकता है: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>। लेकिन जब से हम एक विशिष्ट समय सीमा निर्धारित करते हैं - एक वर्ष, हम 12 वीं "चाल" पर प्राप्त परिणाम में रुचि रखते हैं। यानी अनुक्रम के 13 वें सदस्य: 377।

समस्या में जवाब: 377 खरगोशों को सभी उल्लिखित शर्तों के अधीन प्राप्त किया जाएगा।

फाइबोनैचि संख्याओं के अनुक्रम के गुणों में से एक बहुत उत्सुक है। यदि आप एक पंक्ति से दो लगातार जोड़े लेते हैं और बड़ी संख्या को छोटे में विभाजित करते हैं, तो परिणाम धीरे-धीरे आ जाएगा सुनहरा अनुपात  (आप इसके बारे में अधिक लेख में बाद में पढ़ सकते हैं)।

गणित की भाषा में, “रिश्ते की सीमा a n + १को   a nसुनहरे अनुपात के बराबर ".

संख्या सिद्धांत में अधिक समस्याएं

1. एक संख्या ज्ञात करें जिसे 7. से विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, यदि आप इसे 2, 3, 4, 5, 6 से विभाजित करते हैं, तो शेष एक होगा।
2. वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए। उसके बारे में यह ज्ञात है कि यदि आप इसमें 5 जोड़ते हैं या 5 घटाते हैं, तो आपको फिर से एक वर्ग संख्या मिलेगी।

हमारा सुझाव है कि आप इन कार्यों के उत्तरों की खोज स्वयं करें। आप इस लेख की टिप्पणियों में अपने विकल्प हमारे पास छोड़ सकते हैं। और फिर हम आपको बताएंगे कि क्या आपकी गणना सही थी।

पुनरावर्तन स्पष्टीकरण

प्रत्यावर्तन  - परिभाषा, विवरण, किसी वस्तु या प्रक्रिया की छवि जिसमें यह वस्तु या प्रक्रिया स्वयं निहित है। अर्थात्, वास्तव में, एक वस्तु या प्रक्रिया स्वयं का हिस्सा है।

गणित और कंप्यूटर विज्ञान में और यहां तक \u200b\u200bकि कला और लोकप्रिय संस्कृति में भी पुनर्संयोजन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके फाइबोनैचि संख्या निर्धारित की जाती है। संख्या के लिए n\u003e 2 एन-ई नंबर है   (n - 1) + (n - 2).

गोल्डन सेक्शन स्पष्टीकरण

स्वर्ण अनुपात  - पूरे (उदाहरण के लिए, एक खंड) को ऐसे भागों में विभाजित करना जो निम्न सिद्धांत के अनुसार सहसंबद्ध होते हैं: बड़ा हिस्सा छोटे वाले के साथ-साथ पूरे मूल्य (उदाहरण के लिए, दो खंडों का योग) को बड़े हिस्से को संदर्भित करता है।

गोल्डन अनुपात का पहला उल्लेख यूक्लिड में उनके ग्रंथ "शुरुआत" (लगभग 300 वर्ष ईसा पूर्व) में पाया जा सकता है। एक नियमित आयत के निर्माण के संदर्भ में।

हमसे परिचित शब्द 1835 में जर्मन गणितज्ञ मार्टिन ओम द्वारा पेश किया गया था।

यदि आप सुनहरे अनुपात का वर्णन लगभग करते हैं, तो यह दो असमान भागों में एक आनुपातिक विभाजन है: लगभग 62% और 38%। संख्यात्मक शब्दों में, सुनहरा अनुपात एक संख्या है 1,6180339887 .

गोल्डन रेशियो दृश्य कला (लियोनार्डो दा विंची और अन्य पुनर्जागरण चित्रकारों), वास्तुकला, सिनेमा (एस। एज़ेनशेटिन द्वारा "बैटलशिप पोटेमकिन) और अन्य क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाता है। लंबे समय से यह माना जाता था कि स्वर्ण अनुपात सबसे सौंदर्य अनुपात है। यह मत आज भी लोकप्रिय है। यद्यपि अनुसंधान के परिणामों के अनुसार नेत्रहीन अधिकांश लोग इस तरह के अनुपात को सबसे सफल विकल्प नहीं मानते हैं और इसे बहुत लम्बा (असम्बद्ध) मानते हैं।

• लंबाई में कटौती साथ = 1, और = 0,618, ख = 0,382.
• रवैया साथ  को और = 1, 618.
• रवैया साथको ख = 2,618

अब वापस फिबोनाची संख्या पर जाएं। इसके क्रम से लगातार दो सदस्य लें। बड़ी संख्या को छोटे से विभाजित करें और लगभग 1.618 प्राप्त करें। और अब हम उसी बड़ी संख्या और श्रृंखला के अगले सदस्य (यानी, और भी बड़ी संख्या) का उपयोग करते हैं - उनका अनुपात 0.618 है।

यहाँ एक उदाहरण है: 144, 233, 377।

233/144 \u003d 1.618 और 233/377 \u003d 0.618

वैसे, यदि आप अनुक्रम की शुरुआत से संख्याओं के साथ एक ही प्रयोग करने की कोशिश करते हैं (उदाहरण के लिए, 2, 3, 5), तो कुछ भी काम नहीं करेगा। खैर, लगभग। अनुक्रम शुरू करने के लिए सुनहरे अनुपात नियम का सम्मान नहीं किया जाता है। लेकिन फिर, जब आप पंक्ति के साथ आगे बढ़ते हैं और संख्या में वृद्धि होती है, तो यह ठीक काम करता है।

और फाइबोनैचि संख्याओं की पूरी श्रृंखला की गणना करने के लिए, अनुक्रम के तीन सदस्यों को जानने के लिए पर्याप्त है, एक के बाद एक। आप अपने लिए देख सकते हैं!

गोल्डन रेक्टैंगल और फाइबोनैचि सर्पिल

फिबोनाची संख्या और सुनहरे अनुपात के बीच एक और उत्सुक समानांतर हमें तथाकथित "सुनहरा आयत" खींचने की अनुमति देता है: इसके पक्ष 1.618 से 1. के अनुपात में मेल खाते हैं लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि संख्या 1.618 क्या है, सही है?

उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि श्रृंखला के दो लगातार सदस्यों - 8 और 13 - को लें और निम्नलिखित मापदंडों के साथ एक आयत बनाएँ: चौड़ाई \u003d 8, लंबाई \u003d 13।

और फिर बड़ी आयत को छोटे में तोड़ो। शर्त: आयतों के किनारों की लंबाई फाइबोनैचि संख्याओं के अनुरूप होनी चाहिए। यानी बड़े आयत की साइड की लंबाई दो छोटे आयतों के पक्षों के योग के बराबर होनी चाहिए।

तो, जैसा कि इस आंकड़े में किया गया है (सुविधा के लिए, आंकड़े लैटिन अक्षरों में हस्ताक्षरित हैं)।

वैसे, आप रिवर्स ऑर्डर में आयतों का निर्माण कर सकते हैं। यानी पक्ष के साथ वर्गों का निर्माण शुरू करें। इसके लिए, ऊपर बताए गए सिद्धांत द्वारा निर्देशित, फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर पक्षों वाले आंकड़े जोड़े जाते हैं। सैद्धांतिक रूप से, इसे अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है - आखिरकार, फाइबोनैचि श्रृंखला औपचारिक रूप से अनंत है।

यदि हम आकृति में प्राप्त आयतों के कोनों को एक चिकनी रेखा से जोड़ते हैं, तो हमें एक लघुगणकीय सर्पिल मिलता है। बल्कि, उसका विशेष मामला फाइबोनैचि सर्पिल है। यह विशेषता है, विशेष रूप से, इस तथ्य से कि इसकी कोई सीमा नहीं है और आकार नहीं बदलता है।

एक समान सर्पिल अक्सर प्रकृति में पाया जाता है। मोलस्क के गोले सबसे हड़ताली उदाहरणों में से एक हैं। इसके अलावा, कुछ आकाशगंगाएँ जिन्हें पृथ्वी से देखा जा सकता है, उनमें एक सर्पिल आकृति होती है। यदि आप टीवी पर मौसम के पूर्वानुमान पर ध्यान देते हैं, तो आपने देखा होगा कि उपग्रहों से शूटिंग करते समय चक्रवातों का आकार एक समान होता है।

यह उत्सुक है कि डीएनए हेलिक्स भी सुनहरा अनुपात नियम का पालन करता है - इसके पैटर्न को इसके झुक के अंतराल में देखा जा सकता है।

इस तरह के अद्भुत "संयोग" मन को उत्तेजित नहीं कर सकते हैं और एक निश्चित एकीकृत एल्गोरिदम के बारे में बात नहीं करते हैं, जो ब्रह्मांड के जीवन में सभी घटनाओं का पालन करते हैं। अब आप समझते हैं कि इस लेख को इस तरह क्यों कहा जाता है? और क्या अद्भुत दुनिया के लिए दरवाजे आपके लिए गणित खोल सकते हैं?

वन्यजीवों में फाइबोनैचि संख्या

फाइबोनैचि संख्या और गोल्डन अनुपात के बीच का संबंध जिज्ञासु पैटर्न के बारे में विचार सुझाता है। इतना उत्सुक कि प्रकृति में और यहां तक \u200b\u200bकि ऐतिहासिक घटनाओं के दौरान भी फाइबोनैचि संख्याओं के समान दृश्यों को खोजने की कोशिश करने का प्रलोभन है। और प्रकृति वास्तव में ऐसी धारणाओं को जन्म देती है। लेकिन क्या हमारे जीवन में गणित का उपयोग करके सब कुछ समझाया और वर्णित किया जा सकता है?

वन्य जीवों के उदाहरण जिन्हें फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:

• पौधों में पत्तियों (और शाखाओं) की व्यवस्था - उनके बीच की दूरी फाइबोनैचि संख्याओं (फीलोटैक्सिस) के साथ सहसंबद्ध है;

• सूरजमुखी के बीज की व्यवस्था (बीज अलग-अलग दिशाओं में मुड़ सर्पिल की दो पंक्तियों में स्थित हैं: एक पंक्ति दक्षिणावर्त, दूसरा वामावर्त);

• पाइन शंकु के तराजू का स्थान;
• फूलों की पंखुड़ियों;
• अनानास कोशिकाओं;
• मानव हाथ (लगभग), आदि पर उंगलियों के फालंज की लंबाई का अनुपात।

संयोजक कार्य

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं को हल करने में फाइबोनैचि संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

साहचर्य  - यह गणित की एक शाखा है जो संकेत दिए गए सेट, लिस्टिंग आदि से तत्वों की एक निश्चित संख्या के चयन का अध्ययन करती है।

आइए, उच्च विद्यालय स्तर (स्रोत - http://www.problems.ru/) के लिए डिज़ाइन किए गए कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं के उदाहरण देखें।

टास्क नंबर 1:

एलेक्स 10 सीढ़ियों से सीढ़ियों से ऊपर जाता है। एक समय में, वह एक कदम या दो कदम ऊपर कूदता है। लेसा सीढ़ियाँ चढ़ने के कितने रास्ते हैं?

लेसा सीढ़ियों से चढ़ने के तरीकों की संख्या n  कदम, हम निरूपित करते हैं और एन।यह इस प्रकार है एक १ = 1, एक २  \u003d 2 (आखिरकार, लेसा एक या दो चरणों में कूदता है)।

यह भी तय है कि एलेक्स सीढ़ियों से कूदता है n\u003e 2   चरणों। मान लीजिए पहली बार उसने दो कदम छलांग लगाई। इसलिए, समस्या की स्थिति से, उसे एक और कूदने की आवश्यकता है एन - 2  चरणों। फिर चढ़ाई खत्म करने के तरीकों की संख्या के रूप में वर्णित किया गया है a n - 2। और अगर हम मानते हैं कि पहली बार लेसहा ने केवल एक कदम बढ़ाया, तो चढ़ाई खत्म करने के तरीकों की संख्या के रूप में वर्णित किया जाएगा a n - १.

इसलिए हम निम्नलिखित समानता प्राप्त करते हैं: a n \u003d a n - 1 + a n - 2  (परिचित लग रहा है, है ना?)।

एक बार हम जानते हैं एक १और   एक २और याद रखें कि समस्या 10 की शर्तों के अनुसार कदम, सभी क्रम में गणना की जाती है और एन: एक ३ = 3, एक ४ = 5, एक ५ = 8, एक ६ = 13, एक 7 = 21, एक 8 = 34, एक ९ = 55, एक १० = 89.

उत्तर: 89 तरीके।

टास्क नंबर 2:

10 अक्षरों के शब्द की संख्या को खोजना आवश्यक है, जिसमें केवल "a" और "b" अक्षर शामिल हैं और एक पंक्ति में दो अक्षर "b" नहीं होने चाहिए।

द्वारा निरूपित करें a n  लंबाई में शब्दों की संख्या nअक्षरों में केवल "a" और "b" अक्षर होते हैं और एक पंक्ति में दो अक्षर "b" नहीं होते हैं। इसलिए, एक १= 2, एक २= 3.

क्रम में एक १, एक २, <…>, a nहम प्रत्येक अगले सदस्य को पिछले वाले के माध्यम से व्यक्त करेंगे। इसलिए, लंबाई में शब्दों की संख्या nऐसे अक्षर जिनमें दोहरे अक्षर "b" नहीं होते हैं और अक्षर "a" से शुरू होते हैं, यह a n - १। और अगर शब्द लंबा है nअक्षर "बी" अक्षर से शुरू होते हैं, यह तर्कसंगत है कि इस तरह के शब्द में अगला अक्षर "ए" है (आखिरकार, समस्या की स्थिति से दो "बी" नहीं हो सकते हैं)। इसलिए, लंबाई में शब्दों की संख्या nइस मामले में पत्र हम निरूपित करते हैं a n - 2। पहले और दूसरे दोनों मामलों में, किसी भी शब्द (की लंबाई) एन - 1और   एन - 2  अक्षर, क्रमशः) बिना दोहरे "बी" के।

हम ऐसा करने में सक्षम थे a n \u003d a n - 1 + a n - 2.

हम अब गणना करते हैं एक ३= एक २+ एक १= 3 + 2 = 5, एक ४= एक ३+ एक २= 5 + 3 = 8, <…>, एक १०= एक ९+ एक 8\u003d 144. और हम परिचित फाइबोनैचि अनुक्रम प्राप्त करते हैं।

जवाब 144 है।

टास्क नंबर 3:

कल्पना करें कि कोशिकाओं में एक टेप टूटा हुआ है। वह दाईं ओर जाती है और हमेशा के लिए रहती है। रिबन के पहले वर्ग पर एक टिड्डा रखें। टेप की कोशिकाओं में से जो भी वह है, वह केवल दाईं ओर जा सकता है: या तो एक सेल, या दो। कितने तरीके से एक टिड्डा टेप की शुरुआत से कूद सकता है nवें सेल

आइए हम उन तरीकों की संख्या बताएं जो एक टिड्डी टेप के साथ आगे बढ़ सकते हैं nवें सेल की तरह a n। उस मामले में एक १ = एक २  \u003d 1. में भी एन + १-तो सेल टिड्डी या तो से प्राप्त कर सकते हैं nवें सेल, या उस पर कूद। यहाँ से a n + १ = a n - १ + a n। कहाँ से? a n = एफ एन - 1.

उत्तर है: एफ एन - 1.

आप स्वयं ऐसी समस्याओं की रचना कर सकते हैं और सहपाठियों के साथ गणित की कक्षाओं में उन्हें हल करने का प्रयास कर सकते हैं।

लोकप्रिय संस्कृति में फाइबोनैचि संख्या

बेशक, फाइबोनैचि संख्याओं के रूप में ऐसी असामान्य घटना ध्यान आकर्षित नहीं कर सकती है। फिर भी, इस सख्ती से सत्यापित नियमितता में कुछ आकर्षक और रहस्यमय भी है। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि फाइबोनैचि अनुक्रम किसी भी तरह से विभिन्न शैलियों के आधुनिक जन संस्कृति के कई कार्यों में "जलाया" जाता है।

हम आपको उनमें से कुछ के बारे में बताएंगे। और आप अभी तक खुद को खोजने की कोशिश करते हैं। यदि आप पाते हैं, तो टिप्पणियों में हमारे साथ साझा करें - हम भी उत्सुक हैं!

• डैन ब्राउन की सबसे अधिक बिकने वाली पुस्तक द दा विंची कोड में फाइबोनैचि संख्याओं का उल्लेख किया गया है: फाइबोनैचि अनुक्रम उस कोड के रूप में कार्य करता है जिसके द्वारा पुस्तक के मुख्य पात्र सुरक्षित खोलते हैं।
• एक एपिसोड में 2009 की अमेरिकी फिल्म "मिस्टर नोबडी" में, घर का पता फिबोनाची अनुक्रम का हिस्सा है - 12358। इसके अलावा, एक अन्य एपिसोड में, नायक को फोन नंबर पर कॉल करना होगा, जो अनिवार्य रूप से एक ही है, लेकिन थोड़ा विकृत (अतिरिक्त आंकड़ा) 5 नंबर के बाद) अनुक्रम: 123-581-1321।
• 2012 की श्रृंखला "कम्युनिकेशन" में, आत्मकेंद्रित लड़का, दुनिया में क्या हो रहा है, पैटर्न को भेद करने में सक्षम है। जिसमें फिबोनाची संख्या के माध्यम से शामिल हैं। और इन घटनाओं को संख्याओं के माध्यम से भी प्रबंधित करें।
• मोबाइल फोन के लिए कयामत आरपीजी जावा खेल के डेवलपर्स ने एक स्तर पर एक गुप्त दरवाजा रखा। इसे खोलने वाला कोड फाइबोनैचि अनुक्रम है।
• 2012 में, रूसी रॉक बैंड तिल्ली ने एक अवधारणा एल्बम, ऑप्टिकल इल्यूजन जारी किया। आठवें ट्रैक को फाइबोनैचि कहा जाता है। समूह के नेता, अलेक्जेंडर वासिलिव के छंद में, फिबोनाची संख्याओं का क्रम पीटा जाता है। लगातार नौ शब्दों के लिए, लाइनों की एक समान संख्या (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21) है:

0 रचना ने सेट कर दिया है

1   एक जोड़ छीन लिया

1   एक आस्तीन का झटका

2   सामान ले आओ

सामान ले आओ

3   उबलते पानी के लिए एक अनुरोध

ट्रेन नदी में चली जाती है

ट्रेन टैगा में जाती है<…>.

• लिमेरिक (एक निश्चित रूप की एक छोटी कविता - आम तौर पर पाँच पंक्तियाँ, एक निश्चित तुकबंदी योजना के साथ, कॉमिक इन कॉन्टेंट, जिसमें पहली और आखिरी लाइनें दोहराई जाती हैं या आंशिक रूप से दोहराई जाती हैं) जेम्स लिंडन भी हास्य के उद्देश्य के रूप में फाइबेरियन अनुक्रम के संदर्भ का उपयोग करते हैं:

घनी फाइबोनैचि पत्नियाँ

इससे केवल उन्हें फायदा हुआ, अन्यथा नहीं।

अफवाहों के अनुसार पत्नियों का वजन किया जाता है

प्रत्येक पिछले दो की तरह है।

संक्षेप में कहना

हमें उम्मीद है कि आज हम आपको बहुत सी रोचक और उपयोगी बातें बताने में सक्षम हैं। उदाहरण के लिए, अब आप अपने आसपास की प्रकृति में फाइबोनैचि सर्पिल की खोज कर सकते हैं। अचानक, यह आप हैं जो "जीवन के रहस्य, ब्रह्मांड और सामान्य रूप से" को उजागर करने में सक्षम होंगे।

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं को हल करते समय फाइबोनैचि संख्याओं के लिए सूत्र का उपयोग करें। आप इस लेख में वर्णित उदाहरणों पर भरोसा कर सकते हैं।

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