इस गणितीय कार्यक्रम का उपयोग करके, आप प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि द्वारा दो चर के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान के चरणों के स्पष्टीकरण के साथ दो तरीकों से एक विस्तृत समाधान प्रदान करता है: प्रतिस्थापन विधि और इसके अलावा विधि।

यह कार्यक्रम परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में माध्यमिक स्कूलों के वरिष्ठ वर्गों के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है, जब परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते हैं, माता-पिता गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए। या हो सकता है कि ट्यूटर को किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकों को खरीदना आपके लिए बहुत महंगा हो? या क्या आप बस गणित या बीजगणित में अपना होमवर्क जल्दी से जल्दी करना चाहते हैं? इस मामले में, आप एक विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपने खुद के प्रशिक्षण और / या अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण का संचालन कर सकते हैं, जबकि कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा के स्तर में सुधार किया जा सकता है।

समीकरण दर्ज करने के नियम

एक चर कोई भी लैटिन अक्षर हो सकता है।
   उदाहरण के लिए: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\), आदि।

समीकरणों में प्रवेश करते समय कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, समीकरणों को सरल बनाया जाता है। सरलीकरण के बाद के समीकरण रैखिक होने चाहिए, अर्थात तत्वों के अनुक्रम की सटीकता के साथ फार्म कुल्हाड़ी + द्वारा + सी \u003d 0।
   उदाहरण के लिए: 6x + 1 \u003d 5 (x + y) +2

समीकरणों में, आप न केवल पूर्णांकों का उपयोग कर सकते हैं, बल्कि दशमलव और साधारण अंशों के रूप में भिन्नात्मक संख्याओं का भी उपयोग कर सकते हैं।

दशमलव अंशों में प्रवेश करने के नियम।
   दशमलव अंशों में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को एक बिंदी या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
   उदाहरण के लिए: 2.1n + 3,5m \u003d 55

साधारण अंशों में प्रवेश करने के नियम।
   अंश के रूप में, हर और अंश का पूर्णांक भाग पूर्णांक हो सकता है।
   हर नकारात्मक नहीं हो सकता।
   संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, विभाजक को भाजक चिह्न से अलग किया जाता है: /
   पूरे भाग को एम्परसेंड चिन्ह द्वारा अंश से अलग किया जाता है: &

उदाहरण।
-1 & 2 / 3y + 5 / 3x \u003d 55
2.1p + 55 \u003d -2/7 (3,5p - 2 और 1 / 8q)

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं हुईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
   शायद आपके पास AdBlock सक्षम है।
इस स्थिति में, इसे बंद करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

क्योंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या को हल करना चाहते हैं, आपके अनुरोध को कतारबद्ध किया गया है।
   कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें   सेकंड ...

अगर आप समाधान में गलती देखी गई, फिर आप फीडबैक फॉर्म में इस बारे में लिख सकते हैं।
   मत भूलना जो कार्य इंगित करें  तुम तय करो और क्या खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेली, एमुलेटर:

सिद्धांत की एक बिट।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का समाधान। प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
  1) सिस्टम के दूसरे समीकरण से दूसरे के माध्यम से एक चर व्यक्त करें;
  2) इस चर के बजाय सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्राप्त अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें;

  $$ \\ left \\ (\\ start (array) (l) 3x + y \u003d 7 \\\\ -5x + 2y \u003d 3 \\ end (सरणी) \\ right। $$

एक्स: y \u003d 7-3x के संदर्भ में पहले समीकरण y से व्यक्त करें। अभिव्यक्ति 7-ofx के बजाय y के बजाय दूसरे समीकरण में, हम सिस्टम प्राप्त करते हैं:
  $$ \\ left \\ (\\ start (array) (l) y \u003d 7-3x \\\\ -5x + 2 (7-3x) \u003d 3 \\ end (सरणी) \\ right। $।

यह दिखाना आसान है कि पहले और दूसरे सिस्टम में समान समाधान हैं। दूसरी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में केवल एक चर होता है। हम इस समीकरण को हल करते हैं:
  $ $ -5x + 2 (7-3x) \u003d 3 \\ Rightarrow -5x + 14-6x \u003d 3 \\ Rightarrow -11x \u003d -11 \\ Rightarrow x \u003d 1 $ $

संख्या 1 को समानता y \u003d 7-3x के बजाय x के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, हमें y का संबंधित मान ज्ञात होता है:
  $ $ y \u003d 7-3 \\ cdot 1 \\ Rightarrow y \u003d 4 $ $

जोड़ी (1; 4) - प्रणाली समाधान

समान समाधान वाले दो चर वाले समीकरणों के सिस्टम को कहा जाता है equipotent। निर्णयरहित प्रणाली को भी समकक्ष माना जाता है।

इसके अलावा विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का समाधान

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एक और तरीका पर विचार करें - इसके अलावा विधि। इस तरह से सिस्टम को हल करते समय, साथ ही प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करते समय, हम इस सिस्टम से उसके बराबर एक अन्य सिस्टम में चले जाते हैं, जिसमें समीकरणों में से एक में केवल एक चर होता है।

क्रियाओं के अनुक्रम को जोड़ते समय रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना:
  1) कारकों का चयन करके सिस्टम समीकरणों को गुणा करें ताकि किसी एक चर का गुणांक विपरीत संख्या बन जाए;
  2) प्रणाली के समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्ष द्वारा शब्द जोड़ें;
  3) एक चर के साथ परिणामी समीकरण को हल करें;
  4) दूसरे चर का संबंधित मान ज्ञात करें।

एक उदाहरण है। हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:
$$ \\ left \\ (\\ start (array) (l) 2x + 3y \u003d -5 \\\\ x-3y \u003d 38 \\ end (सरणी) \\ right। $$

इस प्रणाली के समीकरणों में, y के गुणांक विपरीत संख्याएँ हैं। अवधि के समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़कर, हमें एक समीकरण 3x \u003d 33 के साथ मिलता है। हम सिस्टम के समीकरणों में से एक को प्रतिस्थापित करते हैं, उदाहरण के लिए, समीकरण 3x \u003d 33 द्वारा पहला। प्रणाली प्राप्त करें
  $$ \\ left \\ (\\ start (array) (l) 3x \u003d 33 \\\\ x-3y \u003d 38 \\ end (सरणी) \\ सही। $$।

समीकरण 3x \u003d 33 से हम पाते हैं कि x \u003d 11 है। X के इस मान को समीकरण \\ _ (x-3y \u003d 38 \\) में प्रतिस्थापित करने से हमें चर y: \\ (11-3y \u003d 38 \\) के साथ एक समीकरण मिलता है। हम इस समीकरण को हल करते हैं:
  \\ _- 3y \u003d 27 \\ Rightarrow y \u003d -9 \\)

इस प्रकार, हमने इसके अलावा विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान पाया: \\ (x \u003d 11; y \u003d -9 \\) या \\ ((11; -9) \\);

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि सिस्टम के समीकरणों में y के गुणांक विपरीत संख्याएं हैं, हमने इसके समाधान को एक समतुल्य प्रणाली को हल करने के लिए घटाया (मूल लक्षण के प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़कर), जिसमें समीकरणों में से एक में केवल एक चर होता है।

निर्देश मैनुअल

प्रतिस्थापन विधि एक चर को व्यक्त करें और इसे दूसरे समीकरण में स्थान दें। आप अपने विवेक पर किसी भी चर को व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, “y को दूसरे समीकरण से व्यक्त करें:
xy \u003d 2 \u003d\u003e y \u003d x-2 फिर पहले समीकरण में सब कुछ स्थानापन्न करें:
2x + (x-2) \u003d 10 "x के बिना सब कुछ दाईं ओर ले जाएं और गणना करें:
2x + x \u003d 10 + 2
3x \u003d 12 अगला, "x करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:
x \u003d 4. तो आपको "x" मिल गया है। "Y खोजें। ऐसा करने के लिए, "x जिस समीकरण से आपने व्यक्त किया है, उसे" y: स्थानापन्न करें।
y \u003d x-2 \u003d 4-2 \u003d 2
य \u003d २।

एक जाँच करें। ऐसा करने के लिए, समीकरणों में परिणामी मानों को प्रतिस्थापित करें:
2*4+2=10
4-2=2
अज्ञात सत्य पाया!

समीकरण जोड़ने या घटाने के लिए विधि अभी किसी भी चर से छुटकारा पाएं। हमारे मामले में, यह "y" के साथ करना आसान है।
चूंकि "साइन के साथ यू" + और दूसरे में -, आप अतिरिक्त ऑपरेशन कर सकते हैं, अर्थात्। बाईं ओर बाईं ओर और दाईं ओर दाईं ओर जोड़ें:
2x + y + (xy) \u003d 10 + 2
2x + y + xy \u003d 10 + 2
3x \u003d 12
x \u003d 4 किसी भी समीकरण में "स्थानापन्न" x और खोजें "y:
2 * 4 + y \u003d 10
8 + y \u003d 10
y \u003d 10-8
y \u003d 2 पहली विधि के अनुसार, आप इसे सही तरीके से पा सकते हैं।

यदि कोई स्पष्ट रूप से परिभाषित चर नहीं हैं, तो आपको समीकरणों को थोड़ा बदलना होगा।
पहले समीकरण में हमारे पास "2x, और दूसरे में सिर्फ" x है। जोड़ या "x" के दौरान कम करने के लिए, दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें:
xy \u003d 2
2x-2y \u003d 4 फिर दूसरे को पहले समीकरण से घटाएं:
2x + y- (2x-2y) \u003d 10-4 ध्यान दें कि यदि ब्रैकेट के सामने माइनस है, तो खोलने के बाद, विपरीत में बदलें:
2x + y-2x + 2y \u003d 6
3y \u003d 6
y \u003d 2 “x किसी समीकरण से व्यक्त करके खोजते हैं, अर्थात्।
x \u003d 4

संबंधित वीडियो

टिप 2: दो चर के साथ एक रेखीय समीकरण को कैसे हल करें

समीकरणसामान्य रूप में लिखा गया, कुल्हाड़ी + बी + सी \u003d 0, दो के साथ एक रैखिक समीकरण कहा जाता है चर। अपने आप में इस तरह के समीकरण में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, इसलिए समस्याओं में यह हमेशा किसी चीज द्वारा पूरक होता है - एक और समीकरण या सीमित स्थिति। समस्या द्वारा प्रदान की गई स्थितियों के आधार पर, दो के साथ एक रैखिक समीकरण को हल करें चर  कई मायनों में इस प्रकार है।

आपको आवश्यकता होगी

• - दो चर के साथ रैखिक समीकरण;
• - दूसरा समीकरण या अतिरिक्त शर्तें।

निर्देश मैनुअल

यदि दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है, तो इसे निम्नानुसार हल करें। उन समीकरणों में से एक चुनें जिनमें गुणांक पहले थे चर  छोटे और व्यक्त चर में से एक, उदाहरण के लिए, एक्स। फिर दूसरे समीकरण में y वाले इस मान को प्रतिस्थापित करें। परिणामी समीकरण में केवल एक चर y होगा, y के साथ सभी भागों को बाईं ओर स्थानांतरित करें, और मुक्त लोगों को दाईं ओर। प्रारंभिक समीकरणों में से किसी में y और स्थानापन्न का पता लगाएं, x खोजें।

दो समीकरणों की प्रणाली को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है। संख्याओं में से एक समीकरण को गुणा करें ताकि चर में से किसी एक से पहले गुणांक, उदाहरण के लिए, x से पहले, दोनों समीकरणों में समान हो। फिर दूसरे में से एक समीकरण को घटाएं (यदि दाएं-हाथ की तरफ 0 के बराबर नहीं है, तो उसी तरह से दाएं-हाथ को घटाना न भूलें)। आप देखेंगे कि चर x गायब हो गया है, और केवल एक चर y शेष है। परिणामी समीकरण को हल करें, और प्रारंभिक मानों में से किसी में y के पाया मूल्य को प्रतिस्थापित करें। X ज्ञात कीजिए।

दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का तीसरा तरीका ग्राफिकल है। एक समन्वय प्रणाली बनाएं और दो रेखाओं के ग्राफ बनाएं, जिनके समीकरण आपके सिस्टम में दर्शाए गए हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण में x के किसी भी दो मानों को प्रतिस्थापित करें और संबंधित y ज्ञात करें - ये उन बिंदुओं के निर्देशांक होंगे जो रेखा से संबंधित हैं। समन्वय अक्षों के साथ चौराहे को खोजने के लिए सबसे सुविधाजनक है - बस मान x \u003d 0 और y \u003d 0 को प्रतिस्थापित करें। इन दो लाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक कार्य होंगे।

यदि समस्या की स्थितियों में केवल एक रेखीय समीकरण है, तो आपको अतिरिक्त शर्तें दी गई हैं जिसके कारण आप एक समाधान पा सकते हैं। इन स्थितियों को खोजने के लिए कार्य को ध्यान से पढ़ें। अगर चर x और y, दूरी, गति, वजन को इंगित करते हैं - x and0 और y indicate0 की सीमा लगाने के लिए स्वतंत्र महसूस करते हैं। यह पूरी तरह से संभव है कि एक्स या वाई के तहत सेब की संख्या छिपाता है, आदि। - तब मूल्य केवल हो सकते हैं। यदि x पुत्र की आयु है, तो यह स्पष्ट है कि वह पिता से बड़ा नहीं हो सकता है, इसलिए समस्या की स्थितियों में इसे इंगित करें।

सूत्रों का कहना है:

• कैसे एक चर के साथ एक समीकरण को हल करने के लिए

अपने आप ही समीकरण  तीन के साथ अज्ञात  कई समाधान हैं, इसलिए अधिकतर यह दो और समीकरणों या स्थितियों द्वारा पूरक होता है। प्रारंभिक डेटा क्या हैं, इस पर निर्भर करता है कि निर्णय का कोर्स काफी हद तक निर्भर करेगा।

आपको आवश्यकता होगी

• - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

निर्देश मैनुअल

यदि तीन में से दो प्रणालियों में तीन में से केवल दो अज्ञात हैं, तो एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करने और उन्हें प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें समीकरण  तीन के साथ अज्ञात। इस मामले में आपका लक्ष्य इसे सामान्य में बदलना है समीकरण  अज्ञात के साथ। यदि यह, आगे का समाधान काफी सरल है - अन्य समीकरणों में पाया गया मूल्य प्रतिस्थापित करें और अन्य सभी अज्ञात खोजें।

समीकरणों की कुछ प्रणालियों को दूसरे के एक समीकरण से घटाया जा सकता है। देखें कि क्या एक या एक चर को गुणा करना संभव है ताकि एक साथ दो अज्ञात कम हो जाएं। यदि ऐसा कोई अवसर है, तो इसका लाभ उठाएं, सबसे अधिक संभावना है, बाद का समाधान मुश्किल नहीं होगा। यह मत भूलो कि एक संख्या से गुणा करते समय, आपको बाएं ओर और दाएं दोनों को गुणा करना होगा। इसी तरह, समीकरणों को घटाते समय, याद रखें कि दाहिने हिस्से को भी घटाया जाना चाहिए।

यदि पिछली विधियों ने मदद नहीं की, तो तीन के साथ किसी भी समीकरण को हल करने की सामान्य विधि का उपयोग करें अज्ञात। ऐसा करने के लिए, a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 के रूप में समीकरणों को फिर से लिखें। अब x (A), अज्ञात का एक मैट्रिक्स (X) और मुक्त (B) का एक मैट्रिक्स पर गुणांक का एक मैट्रिक्स बनाएं। ध्यान दें कि अज्ञात के मैट्रिक्स द्वारा गुणांक के मैट्रिक्स को गुणा करना, आपको एक मैट्रिक्स, मुफ्त शब्दों का एक मैट्रिक्स मिलता है, अर्थात ए * एक्स \u003d बी।

मैट्रिक्स ए को डिग्री में खोजें (-1) पहले पाए जाने के बाद, ध्यान दें कि यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। उसके बाद, मैट्रिक्स बी द्वारा परिणामी मैट्रिक्स को गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप आप सभी मूल्यों को इंगित करते हुए वांछित मैट्रिक्स एक्स प्राप्त करेंगे।

आप Cramer पद्धति का उपयोग करके तीन समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान भी पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक का पता लगाएं। फिर क्रमिक रूप से तीन और निर्धारकों का पता लगाएं ∆1, ∆2 और three3, जो संबंधित कॉलम के मानों के बजाय मुक्त शब्दों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करता है। अब x खोजें: X1 \u003d ∆1 / x, x2 \u003d /2 / \u003d, x3 \u003d ∆3 / ∆।

सूत्रों का कहना है:

• तीन अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करना

समीकरणों की प्रणाली को हल करना मुश्किल और मजेदार है। यह प्रणाली जितनी जटिल है, इसे हल करना उतना ही दिलचस्प है। ज्यादातर हाई स्कूल गणित में दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणाली होती है, लेकिन उच्च गणित में अधिक चर हो सकते हैं। आप कई तरीकों से सिस्टम को हल कर सकते हैं।

निर्देश मैनुअल

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए सबसे आम तरीका प्रतिस्थापन है। ऐसा करने के लिए, एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना और दूसरे में स्थानापन्न करना आवश्यक है समीकरण  इस प्रकार सिस्टम ला रहा है समीकरण  एक चर के लिए। उदाहरण के लिए, समीकरण दिए गए: 2x-3y-1 \u003d 0; x + y-3 \u003d 0।

दूसरी अभिव्यक्ति से, चर में से किसी एक को व्यक्त करना सुविधाजनक है, गुणांक के संकेत को बदलने के लिए भूलकर, अभिव्यक्ति के दाईं ओर सब कुछ स्थानांतरित करना: x \u003d 3-y।

हम कोष्ठक खोलते हैं: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. अभिव्यक्ति में y का परिणामी मान प्रतिस्थापित किया गया है: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2।

पहली अभिव्यक्ति में, सभी शब्द 2 हैं, और 2 गुणन की वितरण संपत्ति से बाहर निकाला जा सकता है: 2 * (2x-y-3) \u003d 0। अब अभिव्यक्ति के दोनों हिस्सों को इस संख्या से कम किया जा सकता है, और फिर y द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि गुणांक मोडुलो एकता के बराबर है: -y \u003d 3-2x या y \u003d 2x-3।

पहले मामले में, हम इस अभिव्यक्ति को दूसरे में बदलते हैं समीकरण  और हम प्राप्त करते हैं: 3x + 2 * (2x-3) -8 \u003d 0; 3x + 4x-6-8 \u003d 0; 7x-14 \u003d 0; 7x \u003d 14; x \u003d 2. अभिव्यक्ति में परिणामी मान: y \u003d 2x -3; y \u003d 4-3 \u003d 1।

हम देखते हैं कि y का गुणांक मान में समान है, लेकिन साइन में भिन्न है, इसलिए, यदि हम इन समीकरणों को जोड़ते हैं, तो हम पूरी तरह से y से छुटकारा पा लेते हैं: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x-14/ 0; x \u003d 2. x के मान को सिस्टम के दो समीकरणों में से किसी एक में रखें और y \u003d 1 प्राप्त करें।

संबंधित वीडियो

द्विवर्ग समीकरण  यह प्रतिनिधित्व करता समीकरण  चौथा डिग्री, जिसका सामान्य रूप अभिव्यक्ति कुल्हाड़ी ^ 4 + bx ^ 2 + c \u003d 0. द्वारा दर्शाया गया है। उसका समाधान अज्ञात के प्रतिस्थापन की विधि के अनुप्रयोग पर आधारित है। इस स्थिति में, x ^ 2 को दूसरे चर से बदल दिया जाता है। इस प्रकार, परिणाम सामान्य वर्ग है समीकरण, जो हल किया जाना है।

निर्देश मैनुअल

वर्ग हल करें समीकरणप्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप। ऐसा करने के लिए, पहले सूत्र के अनुसार मान की गणना करें: D \u003d b ^ 2? 4ac। इसके अलावा, चर ए, बी, सी हमारे समीकरण के गुणांक हैं।

द्विवार्षिक समीकरण की जड़ों का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, परिणामी समाधानों का वर्गमूल लें। यदि एक समाधान था, तो दो होंगे - वर्गमूल के सकारात्मक और नकारात्मक मूल्य। यदि दो समाधान थे, तो द्विघात समीकरण के चार मूल होंगे।

संबंधित वीडियो

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए शास्त्रीय तरीकों में से एक गॉस विधि है। इसमें चर के अनुक्रमिक बहिष्करण शामिल हैं, जब सरल परिवर्तनों की सहायता से समीकरणों की प्रणाली को एक चरण प्रणाली में स्थानांतरित किया जाता है, जिसमें से सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, जो आखिरी से शुरू होता है।

निर्देश मैनुअल

सबसे पहले, समीकरणों की प्रणाली को इस तरह से लाएं कि सभी अज्ञात सख्ती से परिभाषित क्रम में खड़े हो जाएं। उदाहरण के लिए, सभी अज्ञात एक्स प्रत्येक पंक्ति में पहले होंगे, सभी वाई के बाद एक्स, सभी जेड के बाद वाई, और इसी तरह। प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर कोई अज्ञात नहीं होना चाहिए। मानसिक रूप से प्रत्येक अज्ञात का सामना करने वाले गुणांकों की पहचान करें, साथ ही साथ प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर गुणांक भी।

दो चर के साथ एक रेखीय समीकरण कोई भी समीकरण है जिसका निम्न रूप है: एक * x + b * y \u003d s।  यहाँ x और y दो चर हैं, a, b, c कुछ संख्याएँ हैं।

नीचे कुछ हैं रैखिक समीकरणों के उदाहरण।

1.10 * x + 25 * y \u003d 150;

एक अज्ञात के साथ समीकरणों की तरह, दो चर (अज्ञात) के साथ एक रेखीय समीकरण का भी एक समाधान होता है। उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरण x-y \u003d 5, x \u003d 8 और y \u003d 3 के लिए, सही पहचान 8-3 \u003d 5 में बदल जाता है। इस मामले में, वे कहते हैं कि संख्याओं की एक जोड़ी x \u003d 8 और y \u003d 3 रैखिक समीकरण x-y \u003d 5 का हल है। हम यह भी कह सकते हैं कि संख्याओं की एक जोड़ी x \u003d 8 और y \u003d 3 रैखिक समीकरण x-y \u003d 5 को संतुष्ट करती है।

रैखिक समीकरण समाधान

इस प्रकार, रैखिक समीकरण को एक * x + b * y \u003d c हल करने से, इसे संख्याओं (x, y) की किसी भी जोड़ी कहा जाता है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात, चर x और y के साथ समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देता है। ध्यान दें कि कैसे संख्या x और y की जोड़ी यहां लिखी गई है। ऐसा रिकॉर्ड छोटा और अधिक सुविधाजनक है। यह केवल याद रखना चाहिए कि इस तरह के रिकॉर्ड में पहले स्थान पर चर x का मूल्य है, और दूसरे में - चर y का मान है।

कृपया ध्यान दें कि संख्या x \u003d 11 और y \u003d 8, x \u003d 205 और y \u003d 200 x \u003d 4.5 और y \u003d -0.5 भी रैखिक समीकरण xy \u003d 5 को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए इस रैखिक समीकरण के समाधान हैं।

दो अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण को हल करना केवल एक ही नहीं है।  दो अज्ञात के साथ प्रत्येक रैखिक समीकरण में असीम रूप से कई अलग-अलग समाधान होते हैं। जो है, है बहुत अलग है  दो संख्याएँ x और y, जो रैखिक समीकरण को एक सही पहचान में बदल देती हैं।

यदि दो चर वाले कई समीकरणों का एक ही हल है, तो ऐसे समीकरणों को समान समीकरण कहा जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि दो अज्ञात वाले समीकरणों का कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें भी समकक्ष माना जाता है।

दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों के मूल गुण

1. समीकरण में कोई भी शब्द एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है, जबकि इसके संकेत को विपरीत में बदलना आवश्यक है। परिणामी समीकरण मूल के बराबर होगा।

2. समीकरण के दोनों हिस्सों को किसी भी संख्या में विभाजित किया जा सकता है जो शून्य के बराबर नहीं है। नतीजतन, हम मूल एक के बराबर एक समीकरण प्राप्त करते हैं।

ग्रेड 7 के गणित के दौरान, वे पहली बार मिलते हैं दो चर समीकरण, लेकिन उनका अध्ययन केवल दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणाली के संदर्भ में किया जाता है। यही कारण है कि समस्याओं की एक पूरी श्रृंखला दृष्टि से बाहर हो जाती है, जिसमें समीकरण की गुणांक पर कुछ शर्तों को पेश किया जाता है जो उन्हें सीमित करता है। इसके अलावा, "प्राकृतिक या पूर्णांक संख्याओं में समीकरण को हल करें" जैसी समस्याओं को हल करने के तरीके भी उपेक्षित हैं, हालांकि इस तरह की समस्या परीक्षा के प्रश्नपत्रों और प्रवेश परीक्षाओं में अधिक बार पाई जाती है।

किस समीकरण को दो चर के साथ एक समीकरण कहा जाएगा?

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y \u003d 10, x 2 + y 2 \u003d 20, या xy \u003d 12 दो चर वाले समीकरण हैं।

समीकरण 2x - y \u003d 1. पर विचार करें। यह x \u003d 2 और y \u003d 3 के लिए सही समानता में बदल जाता है; इसलिए, चर मानों की यह जोड़ी प्रश्न में समीकरण का हल है।

इस प्रकार, दो चर के साथ किसी भी समीकरण का हल क्रमबद्ध जोड़े (x; y) का सेट है, चर के मान जो इस समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदलते हैं।

दो अज्ञात के साथ एक समीकरण:

क) एक उपाय है।  उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 \u003d 0 का एक अनूठा समाधान है (0; 0);

ख) कई समाधान हैं।  उदाहरण के लिए, (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 \u003d 0 के 4 समाधान हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), - (-5;) 2);

ग) कोई निर्णय नहीं है।  उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 \u003d 0 का कोई समाधान नहीं है;

छ) असीम रूप से कई निर्णय लिए हैं।  उदाहरण के लिए, x + y \u003d 3. इस समीकरण के समाधान वह संख्याएँ होंगी जिनका योग 3 है। इस समीकरण के समाधानों का सेट फॉर्म (k; 3 - k) में लिखा जा सकता है, जहाँ k कोई भी वास्तविक संख्या है।

दो चर के साथ समीकरणों को हल करने के लिए मुख्य विधियाँ अभिव्यक्तियों को कारक बनाने पर आधारित हैं, पूर्ण वर्ग को निकालते हैं, द्विघात समीकरण के गुणों का उपयोग करते हैं, अभिव्यक्ति की सीमा और आकलन के तरीके। एक नियम के रूप में, समीकरण को एक ऐसे रूप में परिवर्तित किया जाता है जिसमें से अज्ञात को खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त कर सकते हैं।

फैक्टरिंग

उदाहरण 1

समीकरण को हल करें: xy - 2 \u003d 2x - y।

निर्णय।

हम फैक्टरिंग के उद्देश्य के लिए शर्तें रखते हैं:

(xy + y) - (2x + 2) \u003d 0. प्रत्येक ब्रैकेट से हम सामान्य कारक निकालते हैं:

y (x + 1) - 2 (x + 1) \u003d 0;

(x + 1) (y - 2) \u003d 0. हमारे पास है:

y \u003d 2, x कोई वास्तविक संख्या है या x \u003d -1 है, y कोई भी वास्तविक संख्या है।

इस तरह से उत्तर फॉर्म (x; 2), x € R और (-1; y), y € R के सभी जोड़े हैं।

शून्य गैर-ऋणात्मक संख्याओं के बराबर है

उदाहरण 2

समीकरण को हल करें: 9x 2 + 4y 2 + 13 \u003d 12 (x + y)।

निर्णय।

समूह:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) \u003d 0. अब प्रत्येक ब्रैकेट को अंतर के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके ढहाया जा सकता है।

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 \u003d 0।

दो गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियों का योग केवल शून्य है यदि 3x - 2 \u003d 0 और 2y - 3 \u003d 0 हो।

तो x \u003d 2/3 और y \u003d 3/2।

उत्तर: (2/3; 3/2)।

मूल्यांकन विधि

उदाहरण 3

समीकरण को हल करें: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) \u003d 2।

निर्णय।

प्रत्येक ब्रैकेट में, पूर्ण वर्ग का चयन करें:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) \u003d 2. अनुमान कोष्ठकों में अभिव्यक्तियों का अर्थ।

(x + 1) 2 + 1 and 1 और (y - 2) 2 + 2 1 2, तो समीकरण के बाईं ओर हमेशा 2 से कम नहीं है। समानता संभव है यदि:

(x + 1) 2 + 1 \u003d 1 और (y - 2) 2 + 2 \u003d 2, जिसका अर्थ है x \u003d -1, y \u003d 2।

उत्तर: (-1; 2)।

आइए दूसरी डिग्री के दो चर के साथ समीकरणों को हल करने की एक और विधि से परिचित हों। इस पद्धति में इस तथ्य को समाहित किया गया है कि समीकरण को किस रूप में माना जाता है किसी भी चर के सापेक्ष वर्ग.

उदाहरण 4

समीकरण को हल करें: x 2 - 6x + y - 4 +y + 13 \u003d 0।

निर्णय।

एक्स के संबंध में द्विघात के रूप में समीकरण को हल करें। विवेचक का पता लगाएं:

D \u003d 36 - 4 (y - 4√y + 13) \u003d -4y + 16 --y - 16 \u003d -4 ()y - 2) 2। समीकरण में केवल D \u003d 0 के लिए एक समाधान होगा, यदि y \u003d 4. हम मूल समीकरण में y के मान को प्रतिस्थापित करते हैं और उस x \u003d 3 को पाते हैं।

उत्तर: (3; 4)।

अक्सर दो अज्ञात के साथ समीकरणों में संकेत मिलता है चर प्रतिबंध.

उदाहरण 5

पूर्णांक में समीकरण को हल करें: x 2 + 5y 2 \u003d 20x + 2।

निर्णय।

हम x 2 \u003d -5y 2 + 20x + 2 के रूप में समीकरण को फिर से लिखते हैं। 5 से विभाजित होने पर परिणामी समीकरण का दाईं ओर भाग शेष 2 देता है। इसलिए, x 2 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन 5 से विभाज्य नहीं संख्या का वर्ग शेष 1 देता है। 1 या 4. इस प्रकार, समानता असंभव है और कोई समाधान नहीं हैं।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 6

समीकरण हल करें: (x 2 - 4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) \u003d 3

निर्णय।

प्रत्येक ब्रैकेट में पूर्ण वर्ग का चयन करें:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) \u003d 3. समीकरण के बाईं ओर का भाग हमेशा 3 से अधिक या बराबर होता है। समानता प्रदान की जाती है। x | - 2 \u003d 0 और y + 3 \u003d 0. इस प्रकार, x \u003d y 2, y \u003d -3।

उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।

उदाहरण 7

समीकरण को संतुष्ट करने वाले प्रत्येक जोड़ी के लिए पूर्णांक ऋणात्मक (x; y)
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y \u003d 33, योग की गणना करें (x + y)। प्रतिक्रिया में रकम का सबसे छोटा संकेत मिलता है।

निर्णय।

पूर्ण वर्ग का चयन करें:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) \u003d 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 \u003d 37. चूंकि x और y पूर्णांक हैं, इसलिए उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। दो पूर्णांकों के वर्गों का योग, 37 के बराबर है, अगर हम 1 + 36 जोड़ते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं। इसलिए:

(x - y) 2 \u003d 36 और (y + 2) 2 \u003d 1

(x - y) 2 \u003d 1 और (y + 2) 2 \u003d 36

इन प्रणालियों को हल करना और यह ध्यान रखना कि x और y नकारात्मक हैं, हम समाधान खोजते हैं: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।

उत्तर: -17।

निराशा न करें यदि आपको दो अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करने में कठिनाई होती है। थोड़ा अभ्यास, और आप किसी भी समीकरण को संभाल सकते हैं।

अभी भी प्रश्न हैं? सुनिश्चित नहीं हैं कि दो चर के साथ समीकरणों को कैसे हल किया जाए?
ट्यूटर की मदद लेने के लिए।
पहला पाठ नि: शुल्क है!

blog.site, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक संदर्भ की आवश्यकता होती है।

समानता f (x; y) \u003d 0  दो चर के साथ एक समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है। इस समीकरण का हल चर मानों की एक जोड़ी है, जो समीकरण को दो चर के साथ सही समानता में बदल देता है।

यदि हमारे पास दो चर के साथ एक समीकरण है, तो उसके रिकॉर्ड में, परंपरा से, हमें पहले स्थान पर x, और दूसरे में y रखना चाहिए।

समीकरण पर विचार करें x - 3y \u003d 10. जोड़े (10; 0), (16; 2), (-2; -4) प्रश्न में समीकरण के समाधान हैं, जबकि जोड़ी (1; 5) कोई हल नहीं है।

इस समीकरण के अन्य युग्मों को खोजने के लिए, एक चर को दूसरे द्वारा व्यक्त किया जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, x y के माध्यम से। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं
x \u003d 10 + 3y हम y के मनमाने मूल्यों को चुनकर x के मूल्यों की गणना करते हैं।

यदि y \u003d 7, तो x \u003d 10 + 3 10 7 \u003d 10 + 21 \u003d 31।

यदि y \u003d -2, तो x \u003d 10 + 3 -2 (-2) \u003d 10 - 6 \u003d 4।

इस प्रकार, जोड़े (31; 7), (4; -2) भी किसी दिए गए समीकरण के हल हैं।

यदि दो चर वाले समीकरणों की जड़ें समान होती हैं, तो ऐसे समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है।

समीकरणों के समान परिवर्तनों पर दो चर वाले समीकरण प्रमेय रखते हैं।

दो चर के साथ एक समीकरण के ग्राफ पर विचार करें।

दो चर f (x; y) \u003d 0 के साथ एक समीकरण दें। इसके सभी समाधानों को समतल विमान पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिससे विमान पर कुछ निश्चित बिंदु प्राप्त होते हैं। समतल पर बिंदुओं के इस सेट को समीकरण f (x; y) \u003d 0 का ग्राफ कहा जाता है।

तो, समीकरण y - x 2 \u003d 0 का ग्राफ parabola y \u003d x 2 है; समीकरण y - x \u003d 0 का ग्राफ एक सीधी रेखा है; समीकरण y - 3 \u003d 0 का ग्राफ x अक्ष आदि के समानांतर एक सीधी रेखा है।

एक्स + द्वारा \u003d, जहां एक्स और वाई चर हैं, और ए, बी और सी संख्या हैं, फॉर्म एक्सल का एक समीकरण रैखिक कहा जाता है; संख्याओं, बी को चर का गुणांक कहा जाता है, जिसके साथ - मुक्त शब्द।

रैखिक समीकरण ax + by \u003d c का ग्राफ है:

हम समीकरण 2x - 3y \u003d -6 को प्लॉट करते हैं।

1. चूंकि चूंकि चर में कोई भी गुणांक शून्य के बराबर नहीं है, तो इस समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा होगी।

2. एक लाइन बनाने के लिए, हमें इसके कम से कम दो बिंदुओं को जानना होगा। हम समीकरणों में x के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और y और इसके विपरीत के मान प्राप्त करते हैं:

यदि x \u003d 0, तो y \u003d 2; (0; x - 3y \u003d -6);

यदि y \u003d 0, तो x \u003d -3; (2x - 3 ∙ 0 \u003d -6)।

तो, हमें ग्राफ के दो अंक मिले: (0; 2) और (-3; 0)।

3. प्राप्त बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें और समीकरण का एक ग्राफ प्राप्त करें
  2x - 3y \u003d -6।

यदि रैखिक समीकरण ax + by \u003d c का रूप 0 0 x + 0 ∙ y \u003d c है, तो हमें दो मामलों पर विचार करना चाहिए:

1. सी \u003d 0. इस मामले में, समीकरण किसी भी जोड़ी (एक्स; वाई) को संतुष्ट करता है, और इसलिए समीकरण का ग्राफ पूरे समन्वय विमान है;

2. с solution 0. इस मामले में, समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए इसके ग्राफ में कोई अंक नहीं है।

blog.site, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक संदर्भ की आवश्यकता होती है।