हम दोहरे अभिन्न की गणना की वास्तविक प्रक्रिया पर विचार करना शुरू करते हैं और इसके ज्यामितीय अर्थ से परिचित होते हैं।

डबल इंटीग्रल संख्यात्मक रूप से एक फ्लैट फिगर (एकीकरण क्षेत्र) के क्षेत्र के बराबर है। यह एक डबल इंटीग्रल का सबसे सरल रूप है जब दो चर का कार्य एकता के बराबर होता है:।

सबसे पहले, हम समस्या को सामान्य तरीके से समझते हैं। अब आप बहुत हैरान होंगे कि यह कितना सरल है! हम लाइनों से बंधे एक सपाट आंकड़े के क्षेत्र की गणना करते हैं। निश्चितता के लिए, हम उस सेगमेंट पर विचार करते हैं। इस आंकड़े का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है:

हम ड्राइंग में क्षेत्र आकर्षित करते हैं:

क्षेत्र को बायपास करने का पहला तरीका चुनें:

इस तरह से:

और तुरंत एक महत्वपूर्ण तकनीकी चाल: दोहराया अभिन्न व्यक्तिगत रूप से माना जा सकता है। पहले आंतरिक अभिन्न, फिर बाहरी अभिन्न। यह विधि डमी के विषय में शुरुआती लोगों के लिए अत्यधिक अनुशंसित है।

1) हम आंतरिक अभिन्न की गणना करते हैं, जबकि एकीकरण "गेम" के अनुसार किया जाता है:

यहां अनिश्चितकालीन अभिन्न सबसे सरल है, और फिर न्यूटन-लिबनीज सूत्र का उपयोग किया जाता है, केवल साथ होने के साथ एकीकरण की सीमा संख्या नहीं है, लेकिन कार्य हैं। सबसे पहले, ऊपरी सीमा को "गेम" (आदिम कार्य) में प्रतिस्थापित किया गया, फिर निचली सीमा को

2) पहले पैराग्राफ में प्राप्त परिणाम को बाहरी अभिन्न अंग में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए:

संपूर्ण समाधान का एक अधिक कॉम्पैक्ट रिकॉर्ड इस तरह दिखता है:

परिणामी सूत्र   - यह "सामान्य" परिभाषित अभिन्न का उपयोग करके एक सपाट आकृति के क्षेत्र की गणना करने के लिए बिल्कुल काम करने का सूत्र है! सबक देखो एक निश्चित अभिन्न का उपयोग कर क्षेत्र की गणना, वहाँ वह हर मोड़ पर है!

वह है, दोहरे अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना की समस्या ज्यादा अलग नहीं है  एक निश्चित अभिन्न का उपयोग कर क्षेत्र खोजने की समस्या से!  वास्तव में, यह वही बात है!

तदनुसार, कोई कठिनाइयां पैदा नहीं होनी चाहिए! मैं बहुत सारे उदाहरणों पर विचार नहीं करूंगा, क्योंकि आप, वास्तव में, बार-बार इस समस्या का सामना कर चुके हैं।

उदाहरण 9

समाधान:हम ड्राइंग में क्षेत्र आकर्षित करते हैं:

क्षेत्र के ट्रैवर्सल के निम्नलिखित क्रम चुनें:

  इसके बाद, मैं इस क्षेत्र पर ध्यान नहीं दूंगा कि कैसे इस क्षेत्र को बाईपास किया जाए, क्योंकि पहले पैराग्राफ ने बहुत विस्तृत विवरण दिया था।

इस तरह से:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, शुरुआती लोगों के लिए अलग-अलग अभिन्न अंग की गणना करना बेहतर है, और मैं उसी विधि का पालन करूंगा:

1) सबसे पहले, न्यूटन-लीबनिज फार्मूले का उपयोग करते हुए, हम आंतरिक अभिन्न से निपटते हैं:

2) पहले चरण में प्राप्त परिणाम को बाहरी अभिन्न अंग में प्रतिस्थापित किया जाता है:

बिंदु 2 - वास्तव में, एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक सपाट आकृति का क्षेत्र खोजना।

उत्तर है:

यहाँ इस तरह का एक बेवकूफ और भोला काम है।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक जिज्ञासु उदाहरण:

उदाहरण १०

दोहरे अभिन्न का उपयोग करते हुए, लाइनों द्वारा बंधे एक विमान आकृति के क्षेत्र की गणना करें,

पाठ के अंत में समाधान के अंतिम डिजाइन का एक नमूना नमूना

उदाहरण 9-10 में, क्षेत्र को ट्रेस करने के पहले तरीके का उपयोग करना अधिक लाभदायक है, जिज्ञासु पाठक, वैसे, ट्रैवर्सल के क्रम को बदल सकते हैं और दूसरे तरीके से क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। यदि आप कोई गलती नहीं करते हैं, तो स्वाभाविक रूप से, आपको समान क्षेत्र मान मिलते हैं।

लेकिन कई मामलों में, क्षेत्र को बायपास करने का दूसरा तरीका अधिक प्रभावी है, और युवा nerd कोर्स के निष्कर्ष में, आइए इस विषय पर कुछ और उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण ११

डबल इंटीग्रल का उपयोग करते हुए, लाइनों द्वारा बंधे हुए एक विमान आकृति के क्षेत्र की गणना करें,

समाधान:  हम एक बाज़ के साथ दो छत्रों की प्रतीक्षा कर रहे हैं जो उनके किनारों पर स्थित हैं। आपको मुस्कुराने की आवश्यकता नहीं है, इसी तरह की चीजें अक्सर कई अभिन्नों में पाई जाती हैं।

ड्राइंग बनाने का सबसे आसान तरीका क्या है?

हम दो कार्यों के रूप में परबोला का प्रतिनिधित्व करते हैं:
  - ऊपरी शाखा और - निचली शाखा।

इसी तरह, परबोला को ऊपरी और निचले के रूप में कल्पना करें   शाखाओं।

अगला, बिंदु-दर-बिंदु रेखांकन ड्राइव, जिसके परिणामस्वरूप ऐसा विचित्र आंकड़ा है:

आकृति के क्षेत्र को सूत्र द्वारा दोहरे अभिन्न का उपयोग करके गणना की जाती है:

यदि हम क्षेत्र को बायपास करने का पहला तरीका चुनते हैं तो क्या होगा? सबसे पहले, इस क्षेत्र को दो भागों में विभाजित करना होगा। और दूसरी बात, हम इस अत्यंत दुखद तस्वीर का अवलोकन करेंगे:   । अभिन्न, ज़ाहिर है, एक अत्यंत जटिल स्तर के नहीं हैं, लेकिन ... एक पुरानी गणितीय कहावत है: जो कोई भी जड़ों के साथ अनुकूल है उसे क्रेडिट की आवश्यकता नहीं है।

इसलिए, इस स्थिति में दी गई गलतफहमी से, हम उलटे कार्यों को व्यक्त करते हैं:

  इस उदाहरण में उलटे कार्यों में एक बार बिना किसी पत्ते, शाखाओं और जड़ों के एकोर्न के साथ पूरे परबोला को स्थापित करने का लाभ है।

दूसरी विधि के अनुसार, बाईपास क्षेत्र निम्नानुसार होगा:

इस तरह से:

  जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करते हैं।

1) हम आंतरिक अभिन्न के साथ सौदा:

परिणाम बाहरी अभिन्न में प्रतिस्थापित है:

Рек 'गेम के वेरिएबल के संबंध में एकीकरण शर्मनाक नहीं होना चाहिए, यदि कोई पत्र would si' होता है, तो यह आश्चर्यजनक रूप से इसके साथ एकीकृत होगा। यद्यपि पाठ का दूसरा अनुच्छेद कौन पढ़ता है बॉडी वॉल्यूम रोटेशन की गणना कैसे करें, वह अब "खेल" पर एकीकरण के साथ थोड़ी अजीबता महसूस करता है।

पहले चरण पर भी ध्यान दें: इंटीग्रांड सम है, और एकीकरण खंड शून्य के संबंध में सममित है। इसलिए, खंड को आधा किया जा सकता है, और परिणाम दोगुना हो सकता है। इस तकनीक को पाठ में विस्तार से बताया गया है। एक निश्चित अभिन्न गणना के लिए प्रभावी तरीके.

क्या जोड़ना है…। वह सब है!

उत्तर है:

अपनी एकीकरण तकनीक का परीक्षण करने के लिए, आप गणना करने का प्रयास कर सकते हैं   । उत्तर बिल्कुल वैसा ही होना चाहिए।

उदाहरण 12

डबल इंटीग्रल का उपयोग करते हुए, लाइनों द्वारा बंधे हुए एक विमान आकृति के क्षेत्र की गणना करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप क्षेत्र को पीछे करने की पहली विधि का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो आंकड़ा को दो में नहीं, बल्कि तीन भागों में विभाजित करना होगा! और, तदनुसार, हमें तीन जोड़ी बार-बार अभिन्न अंग मिलते हैं। ऐसा होता है।

मास्टर वर्ग समाप्त हो गया है, और यह ग्रैंडमास्टर स्तर पर आगे बढ़ने का समय है - दोहरे अभिन्न की गणना कैसे करें? समाधान के उदाहरण। मैं दूसरे लेख में कोशिश करूँगा ताकि आप पागल न हों)

मैं आपको सफलता की कामना करता हूं!

निर्णय और उत्तर:

उदाहरण 2:समाधान: चलो एक क्षेत्र बनाते हैं   ड्राइंग में:

क्षेत्र के ट्रैवर्सल के निम्नलिखित क्रम चुनें:

इस तरह से:
चलिए उलटे कार्यों को करते हैं:


इस तरह से:
उत्तर है:

उदाहरण 4:समाधान:   चलो प्रत्यक्ष कार्यों के लिए आगे बढ़ते हैं:


चलो ड्राइंग निष्पादित करें:

क्षेत्र ट्रैवर्सल ऑर्डर बदलें:

उत्तर है:

निश्चित अभिन्न। किसी आकृति के क्षेत्र की गणना कैसे करें

हम अभिन्न कलन के अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं। इस पाठ में हम ठेठ और सबसे आम समस्या का विश्लेषण करेंगे। - एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक सपाट आकृति के क्षेत्र की गणना कैसे करें। अंत में, उच्च गणित में अर्थ के साधक - वे इसे पा सकते हैं। आपको कभी पता नहीं चलता। जीवन में, आपको प्राथमिक कार्यों के साथ कुटीर क्षेत्र को अनुमानित करना होगा और एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके अपने क्षेत्र को खोजना होगा।

सामग्री के सफल विकास के लिए, यह आवश्यक है:

1) कम से कम औसत स्तर पर अनिश्चितकालीन अभिन्नता को समझें। इस प्रकार, चायदानी के साथ शुरू करने के लिए सबक के साथ खुद को परिचित करना चाहिए नहीं.

2) न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने और एक निश्चित अभिन्न गणना करने में सक्षम हो। आप पृष्ठ पर कुछ अभिन्न अंग के साथ गर्म मित्रता स्थापित कर सकते हैं निश्चित अभिन्न। समाधान के उदाहरण.

वास्तव में, किसी आकृति के क्षेत्र का पता लगाने के लिए, किसी को अनिश्चित और निश्चित अभिन्न अंग पर इतने ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करता है" में हमेशा एक ड्राइंग का निर्माण शामिल होता हैइसलिए, आपका ज्ञान और ड्राइंग कौशल बहुत अधिक प्रासंगिक मुद्दा होगा। इस संबंध में, मूल प्राथमिक कार्यों के रेखांकन की स्मृति को ताज़ा करना उपयोगी है, और, कम से कम, एक सीधी रेखा, एक पेराबोला और एक हाइपरबोला बनाने में सक्षम हो। यह पद्धतिगत सामग्री और रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तनों पर एक लेख का उपयोग करके (कई ज़रूरत) किया जा सकता है।

दरअसल, हर कोई स्कूल से एक निश्चित अभिन्नता की मदद से क्षेत्र को खोजने के कार्य से परिचित है, और हम स्कूल के पाठ्यक्रम से थोड़ा आगे निकल जाएंगे। यह लेख बिल्कुल नहीं हुआ होगा, लेकिन तथ्य यह है कि 100 में से 99 मामलों में समस्या का सामना करना पड़ता है, जब एक छात्र उच्च गणित में एक पाठ्यक्रम में महारत हासिल करने के उत्साह के साथ एक नफरत टॉवर से पीड़ित होता है।

इस कार्यशाला की सामग्री को केवल विस्तार से और न्यूनतम सिद्धांत के साथ प्रस्तुत किया गया है।

आइए एक घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड के साथ शुरू करें।

घुमावदार ट्रेपोजॉइड  अक्ष, सीधी रेखाओं और किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक खंड से घिरा एक सपाट आकृति कहा जाता है जो इस अंतराल पर संकेत नहीं बदलता है। इस आंकड़े को स्थित होने दें नीचा नहीं  अनुपस्थिति अक्ष:

तो एक घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से एक निश्चित अभिन्न के बराबर है। किसी भी विशिष्ट अभिन्न (जो मौजूद है) का एक बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ है। पाठ में निश्चित अभिन्न। समाधान के उदाहरण  मैंने कहा कि एक निश्चित अभिन्न एक संख्या है। और अब एक और उपयोगी तथ्य बताने का समय आ गया है। ज्यामिति की दृष्टि से, एक निश्चित अभिन्न क्षेत्र हैं.

वह है, एक निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से कुछ आकृति के क्षेत्र से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, एक निश्चित अभिन्न पर विचार करें। इंटीग्रैंड अक्ष के ऊपर स्थित विमान पर एक वक्र को परिभाषित करता है (जो लोग ड्राइंग को निष्पादित कर सकते हैं), और निश्चित इंटीग्रल संख्यात्मक रूप से संबंधित घुंघराले ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 1

यह असाइनमेंट का एक विशिष्ट विवरण है। समाधान में पहला और सबसे महत्वपूर्ण बिंदु ड्राइंग का निर्माण है। इसके अलावा, ड्राइंग बनाया जाना चाहिए सही.

ड्राइंग बनाते समय, मैं निम्नलिखित आदेश की सिफारिश करता हूं: सबसे पहले  सभी लाइनों (यदि कोई है) का निर्माण करना बेहतर है और केवल तो  - परवल, हाइपरबोलस, अन्य कार्यों के रेखांकन। फंक्शन ग्राफ बनाने के लिए अधिक लाभदायक हैं pointwiseबिंदुवार निर्माण की तकनीक संदर्भ सामग्री में पाई जा सकती है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण। वहाँ आप हमारे पाठ के लिए बहुत उपयोगी सामग्री पा सकते हैं - जल्दी से एक परवलय का निर्माण कैसे करें।

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है।
   आइए ड्राइंग को निष्पादित करें (ध्यान दें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है):

मैं कर्वी ट्रेपोज़ॉइड को नहीं उठाऊंगा, यहाँ स्पष्ट है कि हम किस क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। समाधान निम्नानुसार जारी है:

खंड पर, फ़ंक्शन ग्राफ़ स्थित है धुरी पर, इसलिए:

उत्तर है:

जिन्हें एक निश्चित अभिन्न गणना करने और न्यूटन-लिबनीज सूत्र को लागू करने में कठिनाई होती है व्याख्यान का संदर्भ लें निश्चित अभिन्न। समाधान के उदाहरण.

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखने और यह पता लगाने के लिए हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक था या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किया जाएगा, यह सच प्रतीत होता है। यह स्पष्ट है कि अगर हमने कहा था, एक उत्तर: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो यह स्पष्ट है कि एक गलती कहीं हुई थी - 20 कोशिकाएं स्पष्ट रूप से प्रश्न में आंकड़े में फिट नहीं हो सकती हैं, उनमें से दस हैं। यदि उत्तर नहीं है, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया है।

उदाहरण 2

रेखाओं, और अक्ष द्वारा बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। पूर्ण समाधान और उत्तर पाठ के अंत में दें।

यदि घुमावदार ट्रेपोजॉइड स्थित है तो क्या करें अक्ष के तहत?

उदाहरण 3

रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें और कुल्हाड़ियों का समन्वय करें।

निर्णय: चलो ड्राइंग निष्पादित करें:

   यदि घुमावदार ट्रेपोजॉइड स्थित है   अक्ष के नीचे  (या कम से कम अधिक नहीं है  दी गई धुरी), फिर इसका क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:
   इस मामले में:

चेतावनी! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।:

1) यदि आपको किसी भी ज्यामितीय अर्थ के बिना बस एक निश्चित अभिन्न हल करने के लिए कहा जाता है, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपको एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके आंकड़ा का क्षेत्र खोजने के लिए कहा जाता है, तो क्षेत्र हमेशा सकारात्मक होता है! इसीलिए माइनस सिर्फ माने गए फॉर्मूले में दिखाई देता है।

व्यवहार में, सबसे अधिक बार आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे विमानों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूल कार्यों से, हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर मुड़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरा एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,।

निर्णय: पहले आपको ड्राइंग को पूरा करने की आवश्यकता है। सामान्यतया, जब क्षेत्र की समस्याओं के लिए एक ड्राइंग का निर्माण करते हैं, तो हम लाइनों के चौराहे के बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। Parabola और रेखा के चौराहे बिंदुओं का पता लगाएं। ऐसा करने के दो तरीके हैं। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है। हम समीकरण हल करते हैं:

इसलिए, एकीकरण की निचली सीमा, एकीकरण की ऊपरी सीमा।
यदि संभव हो, तो इस विधि का उपयोग नहीं करना सबसे अच्छा है।.

यह बहुत अधिक लाभदायक है और लाइनों को बिंदुवार बनाने के लिए तेज़ है, जबकि एकीकरण की सीमाओं को स्पष्ट किया जाता है जैसे कि स्वयं द्वारा। विभिन्न रेखांकन के लिए बिंदुवार निर्माण की तकनीक में मदद के बारे में विस्तार से चर्चा की गई है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण । फिर भी, सीमाओं को खोजने के लिए विश्लेषणात्मक तरीके का अभी भी कभी-कभी उपयोग करना पड़ता है यदि, उदाहरण के लिए, ग्राफ़ काफी बड़ा है, या सुव्यवस्थित निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और इस तरह के एक उदाहरण, हम भी विचार करेंगे।

हम अपने कार्य पर लौटते हैं: पहले एक सीधी रेखा का निर्माण करना और फिर केवल एक परवलय के लिए अधिक तर्कसंगत है। चलो ड्राइंग निष्पादित करें:

   मैं दोहराता हूं कि बिंदु-दर-बिंदु निर्माण में, एकीकरण की सीमाएं अक्सर "स्वचालित रूप से" स्पष्ट की जाती हैं।

और अब काम करने का फार्मूला: यदि एक खंड पर कुछ निरंतर कार्य करते हैं से अधिक या बराबर  कुछ निरंतर कार्य, फिर इन कार्यों और रेखाओं के रेखांकन द्वारा बंधी हुई आकृति का क्षेत्र, सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

यहाँ आपको यह नहीं सोचना है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, और, मोटे तौर पर, यह महत्वपूर्ण है कि कौन सा शेड्यूल ABOVE है(दूसरे ग्राफ के सापेक्ष) और कौन सा BELOW है.

विचारित उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परबोला रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इससे घटाना आवश्यक है

समाधान पूरा होने पर ऐसा लग सकता है:

वांछित आंकड़ा ऊपर से एक parabola और नीचे से एक पंक्ति से घिरा है।
   संबंधित सूत्र के अनुसार खंड पर:

उत्तर है:

वास्तव में, निचले आधे विमान में एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (सरल उदाहरण देखें नंबर 3) सूत्र का एक विशेष मामला है । चूंकि अक्ष समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है, और फ़ंक्शन ग्राफ स्थित है अधिक नहीं है  फिर धुरी

और अब एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ उदाहरण हैं

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरा आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना की समस्याओं को हल करने में, एक मजेदार घटना कभी-कभी होती है। ड्राइंग सही है, गणना सही है, लेकिन लापरवाही से ... गलत आकृति का क्षेत्र पाया गया, यह कि आपके विनम्र सेवक ने कितनी बार गड़बड़ की। यहाँ जीवन से एक वास्तविक मामला है:

उदाहरण 7

रेखाओं द्वारा विभाजित आकृति के क्षेत्र की गणना करें ,,,।

निर्णय: सबसे पहले, ड्राइंग निष्पादित करें:

... एह, चमकदार ड्राइंग बाहर आया था, लेकिन सब कुछ सुपाच्य लगता है।

वह आंकड़ा जिसका क्षेत्र हमें खोजना होगा, नीले रंग में छाया हुआ है।  (स्थिति को ध्यान से देखें - आकृति की सीमा क्या है!)। लेकिन व्यवहार में, अनजाने में, एक "गड़बड़" अक्सर उठता है कि आपको आंकड़े का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता है, जो हरे रंग में छायांकित है!

यह उदाहरण इस रूप में भी उपयोगी है कि इसमें दो परिभाषित अभिन्नताओं का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की गणना की जाती है। वास्तव में:

1) अक्ष के ऊपर एक लाइन पर एक लाइन प्लॉट की जाती है;

2) अक्ष के ऊपर खंड पर हाइपरबोला का एक ग्राफ है।

यह स्पष्ट है कि वर्गों को (और) चपटा किया जा सकता है, इसलिए:

उत्तर है:

हम एक और अधिक महत्वपूर्ण कार्य को पास करते हैं।

उदाहरण 8

रेखाओं से आबद्ध आकृति के क्षेत्र की गणना करें,
   हम "स्कूल" फॉर्म में समीकरणों को प्रस्तुत करेंगे, और एक बिंदु-दर-बिंदु प्रदर्शन करेंगे:

   ड्राइंग से यह स्पष्ट है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छी" है।
   लेकिन निचली सीमा क्या है?! यह स्पष्ट है कि यह पूर्णांक नहीं है, लेकिन कौन सा है? हो सकता है कि? लेकिन जहां यह गारंटी है कि ड्राइंग सही सटीकता के साथ बनाई गई है, यह अच्छी तरह से हो सकती है। या जड़। और अगर हमने शेड्यूल सही नहीं बनाया है?

ऐसे मामलों में, आपको अतिरिक्त समय बिताना होगा और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को परिष्कृत करना होगा।

रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
   ऐसा करने के लिए, हम समीकरण हल करते हैं:


,

दरअसल ,.

आगे का समाधान तुच्छ है, मुख्य बात यह है कि क्रमपरिवर्तन और संकेतों के साथ भ्रमित न हों, यहां गणना सबसे आसान नहीं है।

खंड पर इसी सूत्र के अनुसार:

उत्तर है:

खैर, और पाठ के निष्कर्ष में, हम दो कार्यों को अधिक कठिन मानेंगे।

उदाहरण 9

रेखाओं द्वारा विभाजित आकृति के क्षेत्र की गणना करें,

निर्णय: आइए इस आकृति को ड्राइंग में बनाएं।

धिक्कार है, मैं शेड्यूल पर हस्ताक्षर करना भूल गया, और तस्वीर को फिर से करना, मुझे खेद है, हॉटमैन नहीं। ड्राइंग नहीं, संक्षेप में, आज का दिन है \u003d)

बिंदुवार निर्माण के लिए, साइनसॉइड की उपस्थिति को जानना आवश्यक है (और आमतौर पर यह जानना उपयोगी है सभी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन), साथ ही कुछ साइन वैल्यू में पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका। कई मामलों में (इस एक के रूप में), एक योजनाबद्ध ड्राइंग का निर्माण करने की अनुमति है, जिस पर ग्राफ़ और एकीकरण सीमाएं सही ढंग से प्रदर्शित होनी चाहिए।

यहां एकीकरण सीमा के साथ कोई समस्या नहीं है, वे सीधे स्थिति से पालन करते हैं: - "एक्स" शून्य से "पीआई" में बदलता है। हम एक और समाधान तैयार करते हैं:

खंड पर, फ़ंक्शन ग्राफ अक्ष के ऊपर स्थित है, इसलिए:

पिछले अनुभाग में, एक निश्चित अभिन्न के ज्यामितीय अर्थ के विश्लेषण के लिए समर्पित, हमने एक घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना के लिए कई सूत्र प्राप्त किए:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) \u003d b a b f (x) d x एक निरंतर और गैर-नकारात्मक कार्य के लिए y \u003d f (x) अंतराल पर [a; ख],

एस (जी) \u003d - b ए बी एफ (एक्स) डी x एक निरंतर और गैर-सक्रिय फ़ंक्शन के लिए y \u003d f (x) अंतराल पर [ए; ख]।

ये सूत्र अपेक्षाकृत सरल समस्याओं को हल करने के लिए लागू होते हैं। वास्तव में, हमें अक्सर अधिक जटिल आकृतियों के साथ काम करना पड़ता है। इस संबंध में, यह खंड उन आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के लिए एल्गोरिदम के विश्लेषण के लिए समर्पित होगा जो एक स्पष्ट रूप में कार्यों द्वारा सीमित हैं, अर्थात्। जैसे y \u003d f (x) या x \u003d g (y)।

कार्यों को y \u003d f 1 (x) और y \u003d f 2 (x) को परिभाषित करें और अंतराल पर जारी रखें [a; बी], और एफ 1 (एक्स), एफ 2 (एक्स) से एक्स के किसी भी मूल्य के लिए [ए; ख]। फिर लाइनों G \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) और y \u003d f 2 (x) से बंधी आकृति G के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र S (G) \u003d ∫ abf 2 (x - f 1) होगा। (x) dx

एक समान सूत्र लाइनों y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) और x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ cd (g 2 (y) - g 1) से बंधी हुई आकृति के क्षेत्र के लिए लागू होगा। (y) डाई।

सबूत

आइए हम तीन मामलों की जांच करें जिनके लिए सूत्र मान्य होगा।

पहले मामले में, क्षेत्र की संवेदनशीलता को देखते हुए, मूल आकृति जी और घुमावदार ट्रेपोजॉइड जी 1 के क्षेत्रों का योग आंकड़ा जी 2 के क्षेत्र के बराबर है। इसका मतलब है कि

इसलिए, S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d 2 abf 2 (x) dx - x abf 1 (x) dx \u003d (ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx।

हम एक निश्चित अभिन्न की तीसरी संपत्ति का उपयोग करके अंतिम संक्रमण कर सकते हैं।

दूसरे मामले में, समानता रखती है: S (G) \u003d S (G 2) + S (G 1) \u003d the abf 2 (x) dx + - f abf 1 (x) dx \u003d (ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx

एक ग्राफिक चित्रण दिखेगा:

यदि दोनों कार्य असंयमित हैं, तो हम प्राप्त करते हैं: S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d - - abf 2 (x) dx - - f abf 1 (x) dx \u003d pos ab (f 2 (x) - एफ 1 (एक्स)) डीएक्स। एक ग्राफिक चित्रण दिखेगा:

हम सामान्य मामले पर विचार करते हैं जब y \u003d f 1 (x) और y \u003d f 2 (x) O x अक्ष को काटते हैं।

हम चौराहे के बिंदुओं को x i, i \u003d 1, 2, के रूप में दर्शाते हैं। । । , एन - 1। ये बिंदु खंड को विभाजित करते हैं [a; बी] एन भागों पर एक्स मैं - 1; x i, i \u003d 1, 2,। । । , n, जहां α \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

इसलिए,

S (G) \u003d ∑ i \u003d 1 n S (G i) \u003d \u003d i \u003d 1 n if xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx \u003d \u003d 0 x 0 xn (f 2 (x) - f) x)) dx \u003d d abf 2 (x) - f 1 (x) dx

हम एक निश्चित अभिन्न की पांचवीं संपत्ति का उपयोग करके अंतिम संक्रमण कर सकते हैं।

हम ग्राफ पर सामान्य मामले का वर्णन करते हैं।

सूत्र S (G) \u003d b a b f 2 (x) - f 1 (x) d x को सिद्ध किया जा सकता है।

अब आइए रेखाओं y \u003d f (x) और x \u003d g (y) द्वारा सीमित आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के उदाहरणों के विश्लेषण पर आगे बढ़ते हैं।

हम किसी भी उदाहरण की साजिश रचने से शुरू करेंगे। छवि हमें सरल आकृतियों के यूनियनों के रूप में जटिल आकृतियों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देगा। यदि आपको उन पर रेखांकन और आकृतियों के निर्माण में कठिनाई हो रही है, तो आप बुनियादी प्राथमिक कार्यों, फ़ंक्शन के रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन और फ़ंक्शन अनुसंधान के दौरान रेखांकन पर अनुभाग का अध्ययन कर सकते हैं।

उदाहरण 1

यह आंकड़ा के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए आवश्यक है, जो कि parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 और सीधी रेखाओं y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4 द्वारा सीमित है।

निर्णय

हम एक कार्तीय समन्वय प्रणाली में ग्राफ पर रेखाएँ खींचते हैं।

खंड पर [१; 4] परबोला y \u003d - x 2 + 6 x - 5 का ग्राफ लाइन y \u003d - 1 3 x - 1 2 के ऊपर स्थित है। इस संबंध में, उत्तर प्राप्त करने के लिए, हम पहले प्राप्त सूत्र का उपयोग करते हैं, साथ ही न्यूटन-लिबनिज सूत्र के अनुसार एक निश्चित अभिन्न गणना करने की विधि का उपयोग करते हैं:

S (G) \u003d 4 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx \u003d \u003d \u003d 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx \u003d - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 \u003d \u003d - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

उत्तर: एस (जी) \u003d 13

एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो कि लाइनों द्वारा सीमित है y \u003d x + 2, y \u003d x, x \u003d 7।

निर्णय

इस मामले में, हमारे पास abscissa अक्ष के समानांतर केवल एक सीधी रेखा है। यह x \u003d 7 है। इसके लिए हमें अपने दम पर एकीकरण की दूसरी सीमा तलाशनी होगी।

हम उस पर लाइनों और भूखंडों की साजिश करते हैं, समस्या की स्थिति में डेटा।

हमारी आंखों के सामने एक ग्राफ होने से, हम आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि एकीकरण की निचली सीमा रेखा y \u003d x और अर्ध-पैराबोला y \u003d x + 2 के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु के अनुपस्थिति होगी। एब्सिस को खोजने के लिए, हम समानता का उपयोग करते हैं:

y \u003d x + 2 O D G: x x - 2 x 2 \u003d x + 2 2 x 2 - x - 2 \u003d 0 D \u003d (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 D О D З x 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 D О D З

यह पता चला है कि चौराहे बिंदु का फरसा x \u003d 2 है।

हम इस तथ्य पर आपका ध्यान आकर्षित करते हैं कि ड्राइंग में सामान्य उदाहरण में, लाइनें y \u003d x + 2, y \u003d x बिंदु पर अंतर (2; 2) है, इसलिए इस तरह की विस्तृत गणना अनावश्यक लग सकती है। हमने इस तरह का विस्तृत समाधान केवल यहाँ दिया है क्योंकि अधिक जटिल मामलों में समाधान इतना स्पष्ट नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि लाइनों के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक हमेशा विश्लेषणात्मक रूप से सर्वोत्तम रूप से गणना किए जाते हैं।

अंतराल पर [2; 7] फंक्शन y \u003d x का ग्राफ फंक्शन y \u003d x + 2 के ग्राफ से ऊपर स्थित है। हम क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र लागू करते हैं:

S (G) \u003d 7 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 \u003d \u003d 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 \u003d \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

उत्तर: एस (जी) \u003d 59 6

उदाहरण 3

यह आंकड़ा के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो कि कार्यों के ग्राफ y \u003d 1 x और y \u003d - x 2 + 4 x - 2 तक सीमित है।

निर्णय

चार्ट पर रेखाएँ बनाएँ।

एकीकरण की सीमाओं को परिभाषित करें। ऐसा करने के लिए, हम 1 x और - x 2 + 4 x - 2 के भावों को समान करते हुए, लाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। बशर्ते कि x शून्य के बराबर नहीं है, समानता 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 तीसरी डिग्री के समीकरण के बराबर हो जाती है - पूर्णांक गुणांकों के साथ x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0। हम इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म को ताज़ा कर सकते हैं "खंड समीकरणों का समाधान" का संदर्भ देकर।

इस समीकरण की जड़ x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0 है।

अभिव्यक्ति को विभाजित करते हुए - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 को द्विपद x - 1 में, हम प्राप्त करते हैं: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 (- (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) \u003d 0

हम शेष जड़ों को समीकरण x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 से पा सकते हैं:

x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 D \u003d (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3। 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 0 - 0। 3

हमने एक अंतराल x; 1 पाया; 3 + 13 2, जिसमें आकृति G नीले रंग के ऊपर और लाल रेखा के नीचे संलग्न है। यह हमें आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करने में मदद करता है:

S (G) \u003d 3 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx \u003d - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 \u003d \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

उत्तर: एस (जी) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

उदाहरण 4

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो घटता y \u003d x 3, y \u003d - लॉग 2 x + 1 और अनुपस्थिति अक्ष द्वारा सीमित है।

निर्णय

चार्ट पर सभी रेखाएँ खींचें। हम फंक्शन y का ग्राफ प्राप्त कर सकते हैं \u003d - 2 x + 1 को ग्राफ y \u003d log 2 x से लॉग करते हैं यदि हम इसे सममित रूप से अनुपस्थित अक्ष के संबंध में रखते हैं और इसे एक इकाई बढ़ाते हैं। एब्सिस्सा का समीकरण y \u003d 0 है।

लाइनों के चौराहे बिंदुओं को अस्वीकार करें।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, फ़ंक्शंस y \u003d x 3 और y \u003d 0 के रेखांकन बिंदु पर बिंदु (0; 0)। ऐसा इसलिए है क्योंकि x \u003d 0 समीकरण x 3 \u003d 0 का एकमात्र वास्तविक मूल है।

x \u003d 2 समीकरण की एकमात्र जड़ है - लॉग 2 x + 1 \u003d 0, इसलिए फ़ंक्शन y \u003d - लॉग 2 x + 1 और y \u003d 0 का बिंदु पर रेखांकन (2; 0)।

x \u003d 1 समीकरण की एकमात्र जड़ है x 3 \u003d - 2 x + 1 लॉग करें। इस संबंध में, फ़ंक्शंस y \u003d x 3 और y \u003d - लॉग 2 x + 1 बिंदु पर प्रतिच्छेद (1; 1)। अंतिम कथन स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन समीकरण x 3 \u003d - लॉग 2 x + 1 में एक से अधिक रूट नहीं हो सकता है, क्योंकि फ़ंक्शन y \u003d x 3 सख्ती से बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y \u003d - log 2 x + 1 सख्ती से कम हो रहा है।

आगे के समाधान में कई विकल्प शामिल हैं।

विकल्प संख्या 1

हम आंकड़ा जी का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, एब्सिसा अक्ष के ऊपर स्थित दो घुमावदार ट्रेपोज़िड्स का योग, जिनमें से पहला खंड x the 0 पर मिडलाइन के नीचे स्थित है; 1, और दूसरा खंड x; 1 पर लाल रेखा के नीचे है; 2। इसका मतलब है कि यह क्षेत्र S (G) \u003d 3 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x के बराबर होगा।

विकल्प संख्या 2

आकृति जी को दो आंकड़ों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से पहला एब्सिसा अक्ष के ऊपर और खंड x; 0 पर नीली रेखा के नीचे स्थित है; 2, और खंड x ∈ 1 पर लाल और नीली रेखाओं के बीच दूसरा; 2। यह हमें इस प्रकार क्षेत्र खोजने की अनुमति देता है:

S (G) \u003d 2 0 2 x 3 d x - x 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

इस मामले में, क्षेत्र को खोजने के लिए, फॉर्म S (G) \u003d d c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y के सूत्र का उपयोग करना आवश्यक है। वास्तव में, आकार को सीमित करने वाली रेखाओं को तर्क y के कार्यों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हम समीकरणों को हल करते हैं y \u003d x 3 और - 2 x + 1 को x के संबंध में लॉग करें:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - लॉग 2 x + 1 ⇒ लॉग 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

हमें वांछित क्षेत्र मिलता है:

S (G) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) डाई \u003d - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 \u003d \u003d - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 \u003d - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 4 4

उत्तर: एस (जी) \u003d 1 एलएन 2 - 1 4

उदाहरण 5

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो कि लाइनों द्वारा सीमित है y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4।

निर्णय

लाल रेखा फ़ंक्शन y \u003d x द्वारा निर्दिष्ट रेखा पर ग्राफ़ को आकर्षित करेगी। लाइन y \u003d - 1 2 x + 4 को नीले रंग में और रेखा y \u003d 2 3 x - 3 को काले रंग में ड्रा करें।

चौराहे के बिंदुओं पर ध्यान दें।

फ़ंक्शंस y \u003d x और y \u003d - 1 2 x + 4 के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

x \u003d - 1 2 x + 4 O D G: x \u003d 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 2 x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 D \u003d (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 प्रोवर: x 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 · 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ x 1 \u003d 16 n मैं x 2 \u003d 4 \u003d 2, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 · 4 + 4 \u003d 2 ⇒ के अनुरूप हूं x 2 \u003d 4 i n g l e e u u m m e ure n ⇒ (4; 2) पार करने के लिए बिंदु i y \u003d x और y \u003d - 1 2 x + 4

कार्यों के रेखांकन का अंतर बिंदु ज्ञात करें y \u003d x और y \u003d 2 3 x - 3:

x \u003d 2 3 x - 3 O D G: x \u003d 0 x \u003d 2 3 x - 3 2 \u003d x \u003d 4 9 x 2 - 4 x + 9 x 4 x 2 - 45 x + 81 \u003d 0 D \u003d (- 45 ) 2 - 4 · 4 · 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, x 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 प्रदर्शनी: x 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 मैं ⇒ (9; 3) को हल करने के लिए धुन में हूं; Y \u003d x और y \u003d 2 3 x - 3 x 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4

लाइनों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें y \u003d - 1 2 x + 4 और y \u003d 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 x - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 x 7 x \u003d 42 1 x \u003d 6 - 1 2 · 6 + 4 \u003d 2 3 · 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6) ; 1) क्रॉस सेक्शन y \u003d - 1 2 x + 4 और y \u003d 2 3 x - 3

विधि संख्या 1

हम व्यक्तिगत आंकड़े के क्षेत्रों के योग के रूप में वांछित आंकड़े के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं।

फिर आकृति का क्षेत्र इसके बराबर है:

S (G) \u003d 6 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx +) 6 9 x - 2 3 x - 3 dx \u003d \u003d 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d \u003d 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 \u003d \u003d - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

विधि संख्या 2

मूल आकृति के क्षेत्र को दो अन्य आंकड़ों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फिर हम x के संबंध में रेखा के समीकरण को हल करते हैं, और उसके बाद ही हम आकृति के क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र लागू करते हैं।

y \u003d x ⇒ x \u003d y २ इसके अतिरिक्त y \u003d २ ३ x - ३ ⇒ x \u003d ३ २ y + ९ २ काला y और y \u003d - 1 2 x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 s

इस प्रकार, क्षेत्र के बराबर है:

S (G) \u003d 3 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 डाई + 3 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d 7 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 डाई \u003d \u003d 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 \u003d 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 \u003d \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, मान समान हैं।

उत्तर: एस (जी) \u003d 11 3

परिणाम

आकृति के क्षेत्र को खोजने के लिए, जो दी गई लाइनों द्वारा सीमित है, हमें विमान पर लाइनें बनाने की जरूरत है, उनके चौराहे के बिंदुओं को ढूंढें, क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्र लागू करें। इस खंड में, हमने सबसे आम कार्य विकल्पों की जांच की।

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टास्क 1  (एक घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना पर)।

कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली xOy में, एक्स अक्ष द्वारा बंधी हुई एक आकृति दी गई है (चित्र देखें), सीधी रेखाएँ x \u003d a, x \u003d b (एक घुमावदार समलम्बाकार। यह घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए आवश्यक है।
निर्णय। ज्योमेट्री हमें बहुभुज के क्षेत्रों और एक सर्कल (सेक्टर, सेगमेंट) के कुछ हिस्सों की गणना के लिए रेसिपी देती है। ज्यामितीय विचारों का उपयोग करते हुए, हम केवल वांछित क्षेत्र के अनुमानित मूल्य का पता लगा सकते हैं, जो निम्नानुसार है।

हम खंड को विभाजित करते हैं [ए; बी] (एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड का आधार) n बराबर भागों में; यह विभाजन x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 का उपयोग करके संभव है। इन बिंदुओं के माध्यम से y अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचें। फिर दिए गए घुमावदार ट्रेपोजॉइड एन भागों में, एन संकीर्ण कॉलम में टूट जाएंगे। संपूर्ण ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्र स्तंभों के क्षेत्रों के योग के बराबर है।

हम अलग से kth कॉलम पर विचार करते हैं, अर्थात घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड, जिसका आधार एक खंड है। इसे एक आयत के साथ बदलें उसी आधार और ऊंचाई के बराबर एफ (एक्स के) (आकृति देखें)। आयत का क्षेत्र \\ (f (x_k) \\ cdot \\ Delta x_k \\) है, जहां \\ (\\ Delta x_k \\) खंड की लंबाई है; संकलित कार्य को kth स्तंभ के क्षेत्र के अनुमानित मूल्य के रूप में माना जाना स्वाभाविक है।

यदि अब हम अन्य सभी स्तंभों के साथ भी ऐसा ही करते हैं, तो हम निम्नलिखित परिणाम पर पहुंचेंगे: दिए गए घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्र S लगभग उस क्षेत्र के बराबर है जो n आयतों से बना चरणबद्ध आकृति का एस है (देखें आंकड़ा):
  \\ _ (S_n \u003d f (x_0) \\ Delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ Delta x_k + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ Delta x_ (n-1) \\)
  यहाँ, अंकन की एकरूपता के लिए, हम मानते हैं कि a \u003d x 0, b \u003d x n; \\ \\ (\\ डेल्टा x_0 \\) - खंड की लंबाई, (\\ डेल्टा x_1 \\) - खंड की लंबाई आदि। उसी समय, जैसा कि हम ऊपर सहमत हुए, \\ (\\ Delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ Delta x_ (n-1) 1)

तो, \\ (S \\ लगभग S_n \\), और यह अनुमानित समानता अधिक सटीक, अधिक से अधिक n है।
  परिभाषा के अनुसार, यह माना जाता है कि घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड का वांछित क्षेत्र अनुक्रम की सीमा (एस एन) के बराबर है:
  $ $ S \u003d \\ lim_ (n \\ to to infty) S_n $$

टास्क २  (एक बिंदु को आगे बढ़ाने के बारे में)
  भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है। समय पर गति की निर्भरता सूत्र v \u003d v (t) द्वारा व्यक्त की जाती है। समय की अवधि में एक बिंदु की गति का पता लगाएं [ए; ख]।
निर्णय।  यदि गति समान थी, तो समस्या बहुत सरल रूप से हल हो जाएगी: s \u003d vt, अर्थात। s \u003d v (b-a)। असमान आंदोलन के लिए, उन विचारों का उपयोग करना आवश्यक है जिन पर पिछली समस्या का समाधान आधारित था।
  1) समय अंतराल को विभाजित करें [ए; बी] एन बराबर भागों में।
  2) समय की अवधि पर विचार करें और हम यह मान लेंगे कि इस अवधि के दौरान गति स्थिर थी, जैसे कि समय टी के। तो, हम मानते हैं कि v \u003d v (t k)।
3) समय की अवधि में बिंदु के विस्थापन के अनुमानित मूल्य का पता लगाएं, इस अनुमानित मूल्य को k द्वारा नकारा जाता है।
  \\ _ (s_k \u003d v (t_k) \\ Delta t_k \\)
  4) विस्थापन के अनुमानित मूल्य का पता लगाएं:
  \\ _ (s \\ लगभग S_n \\) जहां
  \\ (S_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (t_0) \\ Delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n-1)) \\ Delta t_ (n-1) \\)
  5) वांछित गति अनुक्रम सीमा (S n) के बराबर है:
  $ $ s \u003d \\ lim_ (n \\ to to infty) S_n $$

संक्षेप में देना। विभिन्न समस्याओं के समाधान को एक ही गणितीय मॉडल में घटा दिया गया है। विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों के कई कार्य एक ही मॉडल को हल करने की प्रक्रिया का नेतृत्व करते हैं। इसका मतलब है कि इस गणितीय मॉडल का विशेष रूप से अध्ययन किया जाना चाहिए।

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा

आइए हम उस मॉडल का गणितीय विवरण दें जो फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए विचार की गई तीन समस्याओं में बनाया गया था, निरंतर (लेकिन जरूरी नहीं कि गैर-नकारात्मक हो, जैसा कि अंतराल पर माना गया समस्याओं में था) [a; ख]:
  1) हम खंड को तोड़ते हैं [ए; बी] एन बराबर भागों में;
  2) $ $ S_n \u003d f (x_0) \\ Delta x_0 + f (x_1) \\ Delta x_1 + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ Delta x_ (n-1) $ $ कमाएँ
  3) $ $ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $$ की गणना करें

गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह साबित होता है कि यह सीमा एक निरंतर (या टुकड़ा-टुकड़ा निरंतर) फ़ंक्शन के मामले में मौजूद है। वे उसे बुलाते हैं अंतराल पर कार्य y \u003d f (x) के एक निश्चित अभिन्न द्वारा [a; ख]  और निम्नानुसार नामित हैं:
  \\ _ (\\ int \\ limit_a ^ b f (x) dx \\)
  संख्याओं और बी को एकीकरण की सीमा कहा जाता है (निचले और ऊपरी, क्रमशः)।

आइए ऊपर दी गई समस्याओं पर लौटते हैं। कार्य 1 में दी गई क्षेत्र की परिभाषा को अब निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
  \\ _ (S \u003d \\ int \\ limit_a ^ b f (x) dx \\)
  यहाँ S ऊपर की आकृति में दर्शाया गया घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्र है। इसमें सम्\u200dमिलित है एक निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ।

एक गति v \u003d v (t) के साथ एक सीधी रेखा में गतिमान बिंदु के विस्थापन का निर्धारण, t \u003d a से t \u003d b तक कार्य 2 में दिए गए समय के अनुसार फिर से लिखा जा सकता है:

न्यूटन का सूत्र - लाइबनिट्स

शुरू करने के लिए, हम इस सवाल का जवाब देंगे: एक निश्चित अभिन्न और एक आदिम के बीच क्या संबंध है?

इसका उत्तर समस्या 2 में पाया जा सकता है। एक ओर, एक बिंदु के विस्थापन को सीधी रेखा में गति v \u003d v (t) के साथ t \u003d a से t \u003d b तक की अवधि में गतिमान है और सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है
  \\ _ (S \u003d \\ int \\ limit_a ^ b v (t) dt \\)

दूसरी ओर, गति के लिए गतिमान बिंदु का समन्वय जीवाणुरोधी है - हम इसे एस (टी) द्वारा निरूपित करते हैं; इसलिए, विस्थापन s को सूत्र s \u003d s (b) - s (a) द्वारा व्यक्त किया जाता है। नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं:
  \\ _ (S \u003d \\ int \\ limit_a ^ b v (t) dt \u003d s (b) -s (a) \\)
  जहाँ s (t) v (t) के लिए प्रतिपक्षी है।

गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम में, निम्नलिखित प्रमेय सिद्ध होता है।
प्रमेय। यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल पर निरंतर है [a; बी], तब सूत्र
  \\ (S \u003d \\ int \\ limit_a ^ b f (x) dx \u003d F (b) -F (a) \\)
  जहाँ F (x) f (x) के लिए प्रतिपक्षी है।

उपरोक्त सूत्र आमतौर पर कहा जाता है न्यूटन का सूत्र - लाइबनिट्स  अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1643-1727) और जर्मन दार्शनिक गोटफ्राइड लिबनीज (1646-1716) के सम्मान में, जिन्होंने इसे एक-दूसरे से और लगभग एक साथ स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया।

व्यवहार में, संकेतन F (b) - F (a) के बजाय, संकेतन \\ (\\ बाएँ। F (X) \\ सही। _A ^ b \\) का उपयोग किया जाता है (इसे कभी-कभी कहा जाता है दोहरी खोज) और, तदनुसार, इस रूप में न्यूटन-लीबनिज सूत्र को फिर से लिखें:
  \\ _ (S \u003d \\ int \\ limit_a ^ b f (x) dx \u003d \\ बाएँ। F (x) \\ right | _a ^ b \\)

एक निश्चित अभिन्न की गणना करके, सबसे पहले प्रतिपक्षी पाया जाता है, और फिर दोहरा प्रतिस्थापन किया जाता है।

न्यूटन-लिबनिज सूत्र के आधार पर, एक निश्चित अभिन्न के दो गुण प्राप्त किए जा सकते हैं।

संपत्ति १।  कार्यों के योग का अभिन्न अभिन्न के योग के बराबर है:
  \\ (\\ int \\ limit_a ^ b f (x) + g (x)) dx \u003d \\ int \\ limit_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ limit_a ^ b g (x) dx \\)

संपत्ति २।  निरंतर कारक को अभिन्न संकेत से बाहर निकाला जा सकता है:
  \\ (\\ int \\ limit_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ limit_a ^ b f (x) dx \\)

एक निश्चित अभिन्न अंग का उपयोग करके प्लानर के आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना

अभिन्न का उपयोग करते हुए, न केवल घुमावदार ट्रेपोज़िड्स के क्षेत्रों की गणना करना संभव है, बल्कि अधिक जटिल रूप के प्लानर आंकड़े भी हैं, उदाहरण के लिए, आंकड़े में दिखाया गया है। चित्र P को सीधी रेखाओं x \u003d a, x \u003d b और निरंतर फ़ंक्शंस y \u003d f (x), y \u003d g (x), इसके अलावा, अंतराल [a; b] असमानता \\ (जी (x) \\ leq f (x) \\) रखती है। इस तरह के एक आंकड़े के क्षेत्र एस की गणना करने के लिए, हम निम्नानुसार कार्य करेंगे:
  \\ _ (S \u003d S_ (ABCD) \u003d S_ (aDCb) - S_ (aABb) \u003d \\ int \\ limit_a ^ b f (x) dx - \\ int \\ limit_a ^ b g (x) dx \\ _)
  \\ _ (\u003d \\ int \\ limit_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

तो, आकृति का क्षेत्र S, सीधी रेखाओं x \u003d a, x \u003d b और कार्यों y \u003d f (x), y \u003d g (x) के अंतराल से घिरा होता है, जो अंतराल पर निरंतर होता है और ऐसा अंतराल से किसी भी x के लिए; b] असमानता \\ _ (g (x) \\ leq f (x) \\) रखती है, सूत्र द्वारा गणना की जाती है
  \\ (S \u003d \\ int \\ limit_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

कुछ कार्यों के अनिश्चितकालीन अभिन्न (आदिम) की तालिका

क)

निर्णय।

समाधान में पहला और सबसे महत्वपूर्ण बिंदु ड्राइंग का निर्माण है.

चलो ड्राइंग निष्पादित करें:

समीकरण य \u003d ० एक्स-अक्ष सेट करता है;

- x \u003d -2 और   x \u003d 1   - सीधा, समानांतर अक्ष ओह,

- y \u003d x 2 + 2 - parabola, जिनमें से शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, बिंदु पर (0; 2)।

ध्यान दें।एक परबोला का निर्माण करने के लिए, समन्वय अक्षों के साथ इसके चौराहे के बिंदुओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, अर्थात। डाल x \u003d 0   अक्ष के साथ चौराहा खोजें कहां और इसी द्विघात समीकरण को हल करते हुए, अक्ष के साथ चौराहे को ढूंढें ओह .

परवलय का शीर्ष सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

आप लाइनों और पॉइंटवाइज़ का निर्माण कर सकते हैं।

खंड पर [-2; 1] फ़ंक्शन ग्राफ़ y \u003d x 2 +2   स्थित धुरी पर बैल , इसलिए:

उत्तर है: एस \u003d 9 वर्ग इकाइयाँ

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखने और यह पता लगाने के लिए हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक था या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किया जाएगा, यह सच प्रतीत होता है। यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि अगर हमने कहा था, एक उत्तर: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो यह स्पष्ट है कि एक गलती कहीं न कहीं हुई थी - 20 कोशिकाएं स्पष्ट रूप से प्रश्न में आंकड़े में फिट नहीं हो सकती हैं, दसियों बल हैं। यदि उत्तर नहीं है, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया है।

यदि घुमावदार ट्रेपोजॉइड स्थित है तो क्या करें अक्ष के नीचे ओह?

ख)  लाइनों द्वारा बंधे आकार के क्षेत्र की गणना करें y \u003d -e x , x \u003d 1   और कुल्हाड़ियों का समन्वय।

निर्णय।

ड्राइंग को निष्पादित करते हैं।

यदि एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड पूरी तरह से अक्ष के नीचे स्थित है ओह ,   तब इसका क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

उत्तर है: एस \u003d (ई -1) वर्ग इकाइयाँ। "1.72 वर्ग इकाई।"

चेतावनी! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।:

1) यदि आपको किसी भी ज्यामितीय अर्थ के बिना बस एक निश्चित अभिन्न हल करने के लिए कहा जाता है, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपको एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके आंकड़ा का क्षेत्र खोजने के लिए कहा जाता है, तो क्षेत्र हमेशा सकारात्मक होता है! इसीलिए माइनस सिर्फ माने गए फॉर्मूले में दिखाई देता है।

व्यवहार में, सबसे अधिक बार आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे विमानों में स्थित होता है।

ग)  लाइनों द्वारा बंधे एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x।

निर्णय।

पहले आपको ड्राइंग को पूरा करने की आवश्यकता है। आम तौर पर, जब क्षेत्र की समस्याओं के लिए एक ड्राइंग का निर्माण करते हैं, तो हम लाइनों के चौराहे के बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए   और प्रत्यक्ष   ऐसा करने के दो तरीके हैं। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है।

  हम समीकरण हल करते हैं:

इसलिए, एकीकरण की निचली सीमा a \u003d ०   एकीकरण की ऊपरी सीमा बी \u003d ३ .

डॉटवाइज़ का निर्माण करना संभव है, जबकि एकीकरण की सीमाएं स्पष्ट हैं जैसे कि स्वयं द्वारा। फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि को कभी-कभी लागू करना पड़ता है यदि, उदाहरण के लिए, ग्राफ़ पर्याप्त रूप से बड़ा है, या सुव्यवस्थित निर्माण एकीकरण की सीमा को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)।

वांछित आंकड़ा ऊपर से एक parabola और नीचे से एक पंक्ति से घिरा है।

खंड पर   इसी सूत्र के अनुसार:

उत्तर है: एस \u003d 4.5 वर्ग इकाइयाँ