फाइबोनैचि अनुक्रम और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत। विज्ञान में शुरू करो

हाल ही में, लोगों के साथ व्यक्तिगत और समूह प्रक्रियाओं में काम करते हुए, मैंने सभी प्रक्रियाओं (कर्म, मानसिक, शारीरिक, आध्यात्मिक, परिवर्तनकारी, आदि) को एक में मिलाने के बारे में विचार किया है।

घूंघट के पीछे दोस्तों ने बहुआयामी आदमी की छवि और हर चीज में हर चीज के अंतर्संबंध का खुलासा किया।

भीतर के आवेग ने मुझे संख्याओं के साथ पुराने अध्ययनों में वापस जाने के लिए प्रेरित किया और एक बार फिर ड्रुनावलो मेलिसीडेक की पुस्तक "द प्राचीन रहस्य ऑफ द फ्लावर ऑफ लाइफ" पर गौर करें।

इस समय, सिनेमा में "दा विंची कोड" दिखाया गया था। इस फिल्म की गुणवत्ता, मूल्य और सच्चाई पर चर्चा करने का मेरा कोई इरादा नहीं है। लेकिन कोड के साथ, जब संख्या तेजी से स्क्रॉल करना शुरू हुई, मेरे लिए इस फिल्म की एक कुंजी बन गई।

अंतर्ज्ञान ने मुझे बताया कि यह फिबोनाची संख्या अनुक्रम और स्वर्ण खंड पर ध्यान देने योग्य है। यदि आप इंटरनेट पर फिबोनाची के बारे में कुछ खोजने के लिए देखते हैं, तो सूचना का एक हिमस्खलन आप पर गिर जाएगा। आप सीखेंगे कि आप हर समय इस क्रम के बारे में जानते हैं। यह प्रकृति और अंतरिक्ष में, प्रौद्योगिकी और विज्ञान में, वास्तुकला और चित्रकला में, संगीत और मानव शरीर में अनुपात, डीएनए और आरएनए में दर्शाया गया है। इस क्रम के कई शोधकर्ता इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि किसी व्यक्ति, राज्य, सभ्यता के जीवन की प्रमुख घटनाएं भी स्वर्णिम अनुपात के कानून के अधीन हैं।

ऐसा लगता है कि मनुष्य को एक मौलिक संकेत दिया गया है.

तब यह विचार उत्पन्न होता है कि मनुष्य सचेतन रूप से स्वास्थ्य और सही भाग्य को बहाल करने के लिए गोल्डन सेक्शन सिद्धांत को लागू कर सकता है, अर्थात। अपने स्वयं के ब्रह्मांड में चल रही प्रक्रियाओं को सुव्यवस्थित करना, चेतना का विस्तार करना, कल्याण में वापस आना।

साथ में हम फाइबोनैचि अनुक्रम को याद करते हैं:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

प्रत्येक बाद की संख्या दो पिछले वाले को जोड़कर बनाई गई है:

1 + 1 \u003d 2, 1 + 2 \u003d 3, 2 + 3 \u003d 5, आदि।

अब मैं प्रस्ताव करता हूं कि श्रृंखला में प्रत्येक संख्या को एक अंक तक घटाया जाए: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

यहाँ हमें क्या मिला है:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

24 नंबरों का एक क्रम जो 25 से फिर से दोहराता है:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

क्या यह आपको अजीब या तार्किक नहीं लगता है

•   दिनों में - 24 घंटे,
•   अंतरिक्ष घर - 24,
•   डीएनए किस्में - 24,
•   गॉड स्टार सीरियस के 24 बुजुर्ग,
•   फिबोनाची श्रृंखला में दोहराव अनुक्रम - 24 अंक।

यदि परिणामस्वरूप अनुक्रम निम्नानुसार लिखा गया है,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

फिर हम देखेंगे कि अनुक्रम की पहली और 13 वीं संख्या, दूसरा और 14 वां, तीसरा और 15 वां, चौथा और 16 वां ... 12 वीं और 24 वीं कुल मिलाकर 9 ।

3 3 6 9 6 6 3 9

इन नंबर श्रृंखलाओं का परीक्षण करते समय, हमें यह मिलता है:

• बच्चों का सिद्धांत;
• पैतृक सिद्धांत;
• मातृ सिद्धांत;
• एकता का सिद्धांत।

गोल्डन सेक्शन मैट्रिक्स

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यावहारिक अनुप्रयोग

मेरे एक दोस्त ने उनकी क्षमताओं और क्षमताओं के विकास पर व्यक्तिगत रूप से उनके साथ काम करने का इरादा व्यक्त किया।

अचानक, शुरुआत में, साईं बाबा इस प्रक्रिया में आए और उन्हें उनका अनुसरण करने के लिए आमंत्रित किया।

हमने दोस्त के दिव्य मोनाद के भीतर उठना शुरू किया और कॉसल बॉडी के माध्यम से इसे छोड़ते हुए, हमने खुद को कॉस्मिक हाउस के स्तर पर एक और वास्तविकता में पाया।

जिन लोगों ने मार्क और एलिजाबेथ क्लेयर पैगंबर के कार्यों का अध्ययन किया, वे कॉस्मिक क्लॉक के सिद्धांत को जानते हैं, जो उन्हें मदर मैरी द्वारा प्रेषित किया गया था।

स्पेस हाउस के स्तर पर, यूरी ने 12 तीरों के साथ एक आंतरिक केंद्र के साथ एक चक्र देखा।

इस स्तर पर हमसे मिलने वाले बुज़ुर्ग ने कहा कि हमारे सामने दैवीय घड़ी और 12 हाथ 12 (24) दैवीय पहलुओं की अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं ... (संभवतः निर्माता)।

कॉस्मिक क्लॉक के लिए, वे ऊर्जा के सिद्धांत आठ के अनुसार दिव्य के तहत स्थित थे।

- आपके संबंध में दिव्य घड़ियां किस विधा में हैं?

- घड़ी के हाथ खड़े हैं, कोई गति नहीं है।अब विचार मेरे पास आते हैं कि कई साल पहले मैंने ईश्वरीय चेतना से इनकार कर दिया और दूसरे तरीके से, जादूगर के रास्ते पर चला गया। मेरी सभी जादुई कलाकृतियां और ताबीज, जो मुझ पर और मुझ पर कई अवतारों में जमा हुए हैं, इस स्तर पर बच्चे के झुनझुने की तरह दिखते हैं। सूक्ष्म विमान पर, वे जादुई ऊर्जा के वस्त्र की छवि का प्रतिनिधित्व करते हैं।

- पूरा हुआ।हालांकि, मैं अपने जादुई अनुभव को आशीर्वाद देता हूं।इस ईमानदारी के अनुभव ने मुझे मूल स्रोत पर लौटने के लिए प्रेरित किया, अखंडता के लिए।मुझे अपने से जादुई कलाकृतियों को हटाने और घड़ी के केंद्र में खड़े होने की पेशकश की गई है।

- दिव्य घड़ी को सक्रिय करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है?

- साईं बाबा फिर से प्रकट हुए और घड़ी के साथ रजत स्ट्रिंग को एकजुट करने के अपने इरादे व्यक्त करने की पेशकश की। वह यह भी कहता है कि आपके पास किसी प्रकार की संख्या श्रृंखला है। वह सक्रियता की कुंजी है। आंतरिक आंख उठने से पहले मैन ऑफ लियोनार्ड दा विंची की छवि।

- 12 बार।

- कृपया पूरी प्रक्रिया ईश्वर-केंद्र करें और संख्या श्रृंखला की ऊर्जा की क्रिया को दिव्य घड़ी के सक्रियण के लिए निर्देशित करें।

मैं 12 बार पढ़ता हूं

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

पढ़ने की प्रक्रिया में, घड़ी पर तीर चला गया।

एक ऊर्जा चांदी के तार के साथ चली गई, जो यूरीना मोनाड के सभी स्तरों के साथ-साथ सांसारिक और स्वर्गीय ऊर्जाओं से जुड़ी ...

इस प्रक्रिया में सबसे अप्रत्याशित बात यह थी कि घड़ी में चार एंटिटीज दिखाई दीं, जो कि जुरा के साथ वन इंटेगर के कुछ हिस्से हैं।

संचार के दौरान, यह पता चला कि एक बार केंद्रीय आत्मा का अलगाव हुआ था, और प्रत्येक भाग ने ब्रह्मांड में अपने स्वयं के क्षेत्र को प्राप्ति के लिए चुना था।

इसे एकीकृत करने का निर्णय लिया गया, जो दिव्य घड़ी के केंद्र में हुआ।

इस प्रक्रिया का परिणाम इस स्तर पर एक कॉमन क्रिस्टल का निर्माण था।

उसके बाद, मुझे याद आया कि साईं बाबा ने एक बार एक निश्चित योजना की बात की थी, जिसमें पहले दो एंटिटीज का मिलन होता है, फिर चार और इतने पर बाइनरी सिद्धांत के अनुसार।

बेशक, यह संख्या श्रृंखला रामबाण नहीं है। यह सिर्फ एक उपकरण है जो आपको एक व्यक्ति के साथ आवश्यक कार्य करने की अनुमति देता है, उसे होने के विभिन्न स्तरों के साथ लंबवत रूप से संलग्न करने के लिए।

फाइबोनैचि अनुक्रम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

पहले कुछ सदस्य:

कहानी

ये नंबर 1202 में लियोनार्डो फाइबोनैचि (जिसे लियोनार्डो पिसानो के नाम से भी जाना जाता है) द्वारा पेश किया गया था। हालांकि, यह 19 वीं सदी के गणितज्ञ लुकास के लिए धन्यवाद था कि "फाइबोनैचि संख्या" नाम आम हो गया।

हालांकि, भारतीय गणितज्ञों ने इस क्रम की संख्या का उल्लेख पहले भी किया था: गोपाल 1135 तक, हेमचंद्र 1150 में।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या

फिबोनाची ने स्वयं निम्नलिखित कार्यों के सिलसिले में इन नंबरों का उल्लेख किया: "एक आदमी ने एक दीवार के चारों ओर चारों ओर से घेरे में एक खरगोश के जोड़े को रखा। कितने जोड़े खरगोश इस जोड़ी को प्रकाश में ला सकते हैं अगर यह पता चल जाए कि हर महीने, दूसरे से शुरू होकर, प्रत्येक जोड़ी। क्या एक जोड़ी खरगोश पैदा करता है? " इस समस्या का समाधान अनुक्रम की संख्या होगी, जिसे अब उनके सम्मान में कहा जाता है। हालांकि, फिबोनाची द्वारा वर्णित स्थिति वास्तविक प्रकृति की तुलना में मन का खेल है।

भारतीय गणितज्ञों गोपाला और हेमाचंद्र ने इस क्रम की संख्याओं का उल्लेख लयबद्ध प्रतिमानों की संख्या के साथ किया है, जिसके परिणामस्वरूप छंदों में लंबे और छोटे शब्दांशों के विकल्प या संगीत में मजबूत और कमजोर हिस्से हैं। इस तरह के आंकड़ों की संख्या, कुल के बराबर हिस्सेदारी के साथ।

1611 में फाइबोनैचि संख्या केपलर के काम में भी दिखाई देती है, जो प्रकृति में पाए जाने वाले नंबरों (काम "हेक्सागोनल स्नोफ्लेक्स") पर परिलक्षित होती है।

एक पौधे का एक दिलचस्प उदाहरण एक यारो है, जिसमें तनों की संख्या (और इसलिए फूल) हमेशा फाइबोनैचि संख्या होती है। इसका कारण सरल है: शुरू में एक एकल डंठल के साथ, इस डंठल को फिर दो में विभाजित किया जाता है, फिर एक और एक शाखा मुख्य डंठल से बंद हो जाती है, फिर पहले दो तने फिर से शाखा, फिर अंतिम दो, शाखा को छोड़कर सभी उपजी, और इसी तरह। इस प्रकार, अपनी उपस्थिति के बाद प्रत्येक स्टेम एक शाखा को "मिस" करता है, और फिर प्रत्येक शाखा स्तर पर विभाजित करना शुरू कर देता है, जो परिणामस्वरूप फाइबोनैचि संख्या देता है।

आम तौर पर, कई फूलों में (उदाहरण के लिए, लिली) पंखुड़ियों की संख्या एक या एक और फाइबोनैचि संख्या होती है।

वनस्पति विज्ञान में भी, "फीलोटैक्सिस" की घटना ज्ञात है। एक उदाहरण सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था है: यदि आप ऊपर से उनकी व्यवस्था को देखते हैं, तो आप एक साथ दो सर्पिलों की श्रृंखला देख सकते हैं (जैसे कि एक दूसरे पर सुपरिंपोज्ड): कुछ मुड़ दक्षिणावर्त हैं, अन्य वामावर्त हैं। यह पता चला है कि इन सर्पिलों की संख्या लगभग दो लगातार फाइबोनैचि संख्याओं के साथ मेल खाती है: 34 और 55 या 89 और 144। इसी तरह के तथ्य कुछ अन्य रंगों के साथ-साथ पाइन शंकु, ब्रोकोली, अनानास, आदि के लिए भी सही हैं।

कई पौधों के लिए (कुछ रिपोर्टों के अनुसार, उनमें से 90% के लिए), इस तरह के एक दिलचस्प तथ्य सच है। एक पत्ती पर विचार करें, और जब तक हम तने पर स्थित एक पत्ती तक नहीं पहुँचते तब तक हम उससे नीचे चले जाएँगे (यानी, ठीक उसी दिशा में निर्देशित)। रास्ते के साथ, हम उन सभी पत्तियों पर विचार करेंगे जो हमारे सामने आती हैं (यानी, शुरुआती शीट और अंतिम एक के बीच ऊंचाई पर स्थित है), लेकिन अलग-अलग स्थित हैं। उन्हें क्रमांकित करके, हम धीरे-धीरे स्टेम के चारों ओर मोड़ देंगे (चूंकि पत्तियों को एक सर्पिल में स्टेम पर व्यवस्थित किया जाता है)। दक्षिणावर्त या वामावर्त बनाने के लिए इस पर निर्भर करते हुए, विभिन्न प्रकार के घुमाव प्राप्त किए जाएंगे। लेकिन यह पता चला है कि हमारे द्वारा दक्षिणावर्त किए गए घुमावों की संख्या, वामावर्त किए गए घुमावों की संख्या और पत्तियों की संख्या 3 लगातार फाइबोनैचि संख्याओं से मिलती है।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसे पौधे हैं जिनके लिए उपरोक्त गणना पूरी तरह से अलग-अलग अनुक्रमों से नंबर देगी, इसलिए यह नहीं कहा जा सकता है कि फाइटोटैक्सिस की घटना एक कानून है - बल्कि यह एक दिलचस्प प्रवृत्ति है।

गुण

फाइबोनैचि संख्या में कई दिलचस्प गणितीय गुण हैं।

यहाँ उनमें से कुछ ही हैं:

फाइबोनैचि संख्या प्रणाली

ज़ीकेन्डोर्फ की प्रमेय तर्क है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को विशिष्ट रूप से फाइबोनैचि संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

जहां,, (यानी, दो आसन्न फाइबोनैचि संख्याओं को रिकॉर्ड में उपयोग नहीं किया जा सकता है)।

यह इस प्रकार है कि किसी भी संख्या को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है फाइबोनैचि संख्या प्रणालीउदाहरण के लिए:

और किसी भी स्थिति में दो इकाइयाँ एक पंक्ति में नहीं जा सकतीं।

फिबोनाची संख्या प्रणाली में एक संख्या को जोड़ने का नियम प्राप्त करना मुश्किल नहीं है: यदि सबसे कम अंक 0 है, तो इसे 1 से बदल दिया जाता है, और यदि यह 1 है (अर्थात, 01 छोर पर है), तो 01 को 10. से बदल दिया जाता है, फिर "हम" ठीक करते हैं " रिकॉर्ड, क्रमिक रूप से 011 से 100 तक हर जगह सही। परिणामस्वरूप, एक नए नंबर का रिकॉर्ड रैखिक समय में प्राप्त किया जाएगा।

फाइबोनैचि संख्या प्रणाली में एक संख्या का अनुवाद एक सरल "लालची" एल्गोरिथ्म द्वारा किया जाता है: हम बस फाइबोनैचि संख्याओं को बड़े से छोटे तक सॉर्ट करते हैं और यदि कुछ, संख्या रिकॉर्ड दर्ज करते हैं, और हम खोज को जारी रखते हैं और घटाते हैं।

Nth फाइबोनैचि संख्या के लिए सूत्र

मूलांक के माध्यम से सूत्र

फ्रांसीसी गणितज्ञ बिनेट द्वारा बुलाया गया एक अद्भुत सूत्र है, हालांकि इससे पहले उन्हें Moivre द्वारा जाना जाता था:

यह सूत्र प्रेरण द्वारा साबित करना आसान है, लेकिन इसे उत्पन्न कार्यों की अवधारणा का उपयोग करके या एक कार्यात्मक समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।

आप तुरंत देख सकते हैं कि दूसरा शब्द हमेशा 1 से कम मोडुलो है, और इसके अलावा, यह बहुत तेज़ी से घटता है (घातीय)। यह इस प्रकार है कि पहले शब्द का मूल्य "लगभग" मूल्य देता है। इसे कड़े रूप में लिखा जा सकता है:

जहां वर्ग कोष्ठक निकटतम पूर्णांक तक गोलाई दर्शाते हैं।

हालांकि, गणना में व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए, ये सूत्र बहुत उपयुक्त नहीं हैं, क्योंकि उन्हें भिन्नात्मक संख्याओं के साथ काम करने की बहुत अधिक सटीकता की आवश्यकता होती है।

फाइबोनैचि संख्याओं के लिए मैट्रिक्स सूत्र

मैट्रिक्स समानता को साबित करना आसान है

लेकिन फिर, निंदा

हमें मिलता है:

इस प्रकार, इथ फाइबोनैचि संख्या को खोजने के लिए, मैट्रिक्स को एक शक्ति तक बढ़ाने के लिए आवश्यक है।

यह याद रखना कि ith पॉवर के लिए मैट्रिक्स बढ़ाना (देखें) में किया जा सकता है

महान लियोनार्डो के युग से लेकर आज तक, कई शताब्दियों में फिबोनाची संख्याओं के अनुक्रम ने ध्यान आकर्षित किया है। हो सकता है कि आखिरी उदाहरण डैन ब्राउन का सनसनीखेज उपन्यास, द डविनी कोड हो।

सबसे पहले, सामान्य रूप से फाइबोनैचि संख्याओं के बारे में कुछ शब्द और उनके व्युत्पन्न के बारे में - विशेष रूप से सुनहरा अनुपात। यह ज्ञात है कि फाइबोनैचि श्रृंखला संख्याओं का एक अनंत क्रम है, जिनमें से प्रत्येक पिछले दो का योग है।

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,….

इस अनुक्रम की उत्पत्ति आमतौर पर पिसा के इतालवी व्यापारी लियोनार्डो के नाम से जुड़ी हुई है, जिसे उपनाम फिबोनाची के नाम से जाना जाता है। वह अपने समय के एक महान गणितज्ञ थे और गणित के विकास में उनकी भूमिका को कम करना मुश्किल है। अरब और मध्ययुगीन यूरोपीय कामों से बेहतर उनकी रचनाओं में, उन्होंने XVI-XVII सदियों तक गणित सिखाया।

फिबोनाची, जैसा कि यह था, मानव जाति को याद दिलाया कि प्राचीन काल से उसे "गोल्डन सेक्शन" के रूप में क्या जाना जाता था। इस अनुपात के ज्यामितीय अर्थ में एक खंड को इस तरह से विभाजित करना शामिल है कि यह सभी इसके बड़े हिस्से को संदर्भित करता है, क्योंकि सबसे बड़ा हिस्सा छोटे को संदर्भित करता है। स्वर्णिम अनुपात का मान अपरिमेय है, अर्थात इसकी गणना बिल्कुल नहीं की जा सकती है। हालांकि, इसे फाइबोनैचि श्रृंखला में दो आसन्न संख्याओं को विभाजित करके लगभग प्राप्त किया जा सकता है, और संख्या जितनी बड़ी होगी, परिणाम उतना ही सटीक होगा। एक छोटे से एक बड़ी संख्या को विभाजित करने से मूल्य 1.6 * \u003d 1.618 होता है ...., और छोटे को एक बड़े से विभाजित करके, हम लगभग 0.6 \u003d 0.618 प्राप्त करते हैं ...

वास्तुकला के स्मारकों के अनुसार जो हमारे पास आ गए हैं और दूर के युगों की भौतिक संस्कृति के नमूने हैं, हम मान सकते हैं कि पूर्वजों को इन संबंधों का पता था। हालांकि यह आम तौर पर माना जाता है कि गोल्डन अनुपात की अवधारणा पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) द्वारा पेश की गई थी, यह काफी संभव है कि यह ज्ञान अधिक प्राचीन है और उसने यह ज्ञान मिस्र या बेबीलोन के लोगों से उधार लिया था। चेप्स पिरामिड के अनुपात, मंदिर, उस समय के आधार-राहत, तूतनखामुन के मकबरे से कुछ घरेलू सामान और गहने सुनहरे खंड के अनुपात के अनुरूप हैं। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीर ने इन पत्रों को फैरोओं को चित्रित करने वाली राहत पर अनुपात में पाया, वे पार्थेनन मंदिर परिसर के मुखौटे में मौजूद हैं। मिस्र की कब्रों से प्राचीन राहत पर, लोग मापक यंत्र धारण कर रहे हैं जिसमें ये उल्लेखनीय अनुपात दर्ज किए जाते हैं।

प्लेटो सुनहरे अनुपात (चौथी शताब्दी ईसा पूर्व) के बारे में जानता था, इस संबंध का उल्लेख यूक्लिड के "सिद्धांतों" में किया गया है। यूक्लिड के बाद, जिप्सिकल (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व), और अन्य इसी तरह के अध्ययन में लगे हुए थे। मध्ययुगीन यूरोप में, यूक्लिडियन सिद्धांतों के अरबी अनुवाद में उनके साथ परिचित हो गए। नवरा (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उस समय यह ज्ञान गुप्त था, ध्यान से निर्जन से संरक्षित था और सख्त गोपनीयता में रखा गया था।

पुनर्जागरण के दौरान, गोल्डन सेक्शन को लियोनार्डो दा विंची, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर और वर्णनात्मक ज्यामिति के निर्माता, भिक्षु लुका पैकियोली का ध्यान दिया गया था। उन्होंने उसे "दैवीय सार" में पाया - भगवान पुत्र, भगवान पिता और भगवान पवित्र आत्मा की त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति। यह समझा गया कि छोटा खंड भगवान का पुत्र है, बड़ा खंड पिता का भगवान है, और सभी एक साथ पवित्र आत्मा हैं।

बाद की शताब्दियों में, इस अनुपात का अध्ययन जारी रहा। 1855 में, जर्मन और प्रोफेसर ज़ीज़िंग ने "एस्थेटिक स्टडीज़" नामक काम प्रकाशित किया, जहाँ उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए स्वर्णिम अनुपात को सार्वभौमिक घोषित किया। कई हजार मानव निकायों के आयामों के एक अध्ययन के आधार पर, वह इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि यह एक औसत सांख्यिकीय कानून व्यक्त करता है और मानव शरीर के अनुपात का वर्णन फाइबोनैचि श्रृंखला के सदस्यों के संबंधों द्वारा किया जाता है। यह शरीर के विभिन्न भागों के संबंध में प्रकट होता है - कंधे की लंबाई, अग्र-भुजा और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि।

स्वर्ण अनुपात न केवल कला और वास्तुकला में, बल्कि प्रकृति में भी पाया जाता है। फाइबोनैचि श्रृंखला के अनुपात पेड़ों पर पत्तियों की व्यवस्था, विभिन्न बीजों, बायोरिएथम्स में और मस्तिष्क और दृश्य धारणा के कामकाज, संगीतमय स्वर, काव्य के आकार, जीवों की जीन संरचनाओं और इसी तरह मौजूद हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं की अभिव्यक्ति धारणा और वन्य जीवन के नियमों तक सीमित नहीं है। खगोल विज्ञान के इतिहास से यह ज्ञात है कि XVIII सदी में। जर्मन खगोलशास्त्री आई। टिटियस ने फाइबोनैचि श्रृंखला का उपयोग करते हुए, सौर मंडल के ग्रहों के बीच की दूरी में एक पैटर्न पाया। आज विभिन्न प्रकार के भौतिक प्रणालियों में सुनहरे खंड की अभिव्यक्ति के कई आंकड़े हैं - कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, आदि। पानी के गुणों, ध्वनि की मात्रा और आवृत्ति, दृश्य प्रकाश के स्पेक्ट्रम, ठोस पदार्थों के भौतिक और यांत्रिक गुणों आदि के साथ स्वर्ण खंड के संबंध स्थापित होते हैं। ये तथ्य इसके प्रकट होने की स्थितियों से संख्या श्रृंखला की स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है। यहां तक \u200b\u200bकि फाइबोनैचि श्रृंखला के आधार पर मानव समाज के कालक्रम को बनाने के प्रयासों को जाना जाता है।

इन घटनाओं की व्याख्या के कारणों के रूप में, अध्ययन के परिणाम आमतौर पर दिखाते हैं कि सबसे स्थिर प्राकृतिक और सामाजिक विन्यास में एक फाइबोनैचि जैसी आकृति होती है, क्योंकि वे ऊर्जा और संसाधन संरक्षण के मामले में इष्टतम हैं।

XX सदी में, फाइबोनैचि अनुक्रम के आधार पर, वित्तीय, कमोडिटी और अन्य बाजारों के विश्लेषण के लिए सबसे सफल तरीकों में से एक बनाया गया था - इलियट वेव थ्योरी। कुछ कल्पना के साथ, कोई वित्तीय बाजार और जिसे हम "राजनीतिक बाजार" कहते हैं, के बीच काफी स्पष्ट समानताएं देख सकते हैं। उत्तरार्द्ध तक, हम नागरिक समाज विनियमन की राजनीतिक प्रणाली को समझते हैं, जहां जनसंख्या के विभिन्न समूहों के हित मौजूद हैं, और उनके बीच संभावित विरोधाभासों को लोकतांत्रिक प्रक्रियाओं के ढांचे के भीतर समझौतों के माध्यम से हल किया जाता है। सामान्य तौर पर, यह सर्वविदित है कि राजनीति समझौता करने की कला है। और एक समझौता हमेशा एक सौदा होता है, और यह बहुत मायने नहीं रखता है कि क्या यह व्यापार, मध्यस्थता या राजनीतिक है। इस अर्थ में, सभी राजनेता राजनीतिक बाजार में खिलाड़ी हैं।

इसी समय, यह उन सभी के लिए महत्वपूर्ण नहीं है जो राजनेताओं को प्रेरित करते हैं: महान विचार, व्यक्तिगत महत्वाकांक्षाएं, वित्तीय और औद्योगिक समूहों के हित जो उन्हें या आबादी के कुछ समूहों का समर्थन करते हैं, या बस, उनके स्वयं के हित। यह महत्वपूर्ण है कि, अपनी गतिविधि दिखाते हुए, वे राजनीतिक दल बनाते हैं, कानून बनाने या अन्य गतिविधियों में कार्यान्वित कुछ परियोजनाओं को बढ़ावा देते हैं। यहां हमारे पास बाजार अर्थव्यवस्था का समान विरोधाभास है। इस घटना में कि नेताओं की गतिविधि कानूनी क्षेत्र में होती है, प्रेरणा की परवाह किए बिना, यह समाज के लिए उपयोगी है, क्योंकि उनके उपद्रव और उपद्रव से ये "राजनीतिक बाजार के दलाल" लोकवाद के स्व-विनियमन की समस्याओं को हल करते हैं। सादृश्य को जारी रखते हुए, हम कह सकते हैं कि "व्यापारियों और राजनीतिक बाजार के निवेशकों" को उन बलों पर विचार किया जा सकता है जो राजनीतिक गतिविधि को वित्त प्रदान करते हैं।

यदि ऐसा है, तो वित्तीय बाजारों के विश्लेषण के तरीकों को राजनीतिक बाजारों में लागू करने का प्रलोभन है। तकनीकी विश्लेषण के तरीकों में से एक इलियट वेव कानून का उपयोग है। 1946 में प्रकाशित "द लॉ ऑफ नेचर - द सीक्रेट ऑफ द यूनिवर्स ऑफ द यूनिवर्स ऑफ द नेचर" पुस्तक में राल्फ इलियट ने साठ से अधिक साल पहले, बाजार व्यवहार के सिद्धांत को विकसित किया, जिसे उन्होंने पूरी तरह से उजागर किया। वह पहले से ही आश्वस्त थे कि उनके सिद्धांत में न केवल स्टॉक सूचकांकों का व्यवहार शामिल है, बल्कि प्रकृति के अधिक सामान्य नियम भी हैं जो मानव समाज की गतिविधियों को नियंत्रित करते हैं।

इलियट दृष्टिकोण का सार यह है कि समाज विकसित होता है और पहचानने योग्य मॉडल के रूप में बदलता है। उन्होंने आंदोलन ("लहरों") के एक दर्जन से अधिक प्रकारों की पहचान की, जो बाजार की कीमतों की एक धारा में उत्पन्न होते हैं, जो रूप में दोहराते हैं, लेकिन समय या आयाम में जरूरी नहीं है। उन्हें इन मॉडलों के नाम, परिभाषा और चित्र दिए गए थे।

उनके सिद्धांत के अनुसार, आंदोलन "अच्छे पुराने सिद्धांत" के अनुसार होता है तीन कदम आगे दो कदम पीछे और लहरें अलग हो जाती हैं - आवेग (आगे) और सुधारात्मक (पिछड़ा)। वास्तव में, यहां तक \u200b\u200bकि डॉव जोन्स इंडेक्स के चार्ट पर एक सरसरी नज़र या विदेशी मुद्रा बाजार पर विनिमय दर का व्यवहार बड़ी और छोटी लहरों की एक बड़ी संख्या की लहर की गति को देखने के लिए पर्याप्त है। वे तथाकथित भग्न में निहित "आत्म-समानता" नामक संपत्ति से प्रतिष्ठित हैं।

इलियट ने तर्क दिया कि आकार की परवाह किए बिना, तरंग काफी स्थिर है, और उनके प्रत्यावर्तन का क्रम एक उचित स्पष्टीकरण के लिए उधार देता है। लहरों का नियम विकास और गिरावट का एक मॉडल है। व्यक्तिगत तरंगों के बीच के रिश्ते फाइबोनैचि श्रृंखला से प्राप्त संख्याओं और विशेष रूप से सुनहरे अनुपात पर आधारित होते हैं।

कुछ लेखक मानव जाति के इतिहास, उसके वैश्विक विकास के विश्लेषण के लिए भी इलियट वेव कानून को लागू करने का प्रयास करते हैं। खुद को इस तरह के महत्वाकांक्षी कार्यों को स्थापित किए बिना, हम XX सदी में रूस में हुई कुछ प्रक्रियाओं की अवधि का विश्लेषण करने के लिए प्रयोज्य अनुक्रम के दृष्टिकोण से विचार करने का प्रयास करेंगे, और यहां तक \u200b\u200bकि XXI सदी के पहले दशकों के लिए कुछ पूर्वानुमान देने का भी प्रयास करेंगे।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि विभिन्न प्रकार के सूचकांक (डॉव जोन्स, नास्डैक आदि) विकसित किए गए हैं और स्टॉक मार्केट के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, जो आपको समय के साथ उनके परिवर्तनों के ग्राफ का निर्माण और विश्लेषण करने की अनुमति देता है। राजनीतिक बाजार के लिए, भविष्य में ऐसे संकेतक अभी भी बनाए जा सकते हैं। यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट है कि डॉव जोन्स इंडेक्स के इन काल्पनिक एनालॉग्स में एक संभाव्य, एंट्रोपिक प्रकृति होनी चाहिए।

ब्रह्मांड में अभी भी कई अनसुलझे रहस्य हैं, जिनमें से कुछ को वैज्ञानिक पहले ही पहचानने और बताने में सक्षम हो चुके हैं। फाइबोनैचि संख्या और सुनहरा अनुपात हमारे चारों ओर की दुनिया को सुलझाने, किसी व्यक्ति द्वारा इसकी आकृति और इष्टतम दृश्य धारणा बनाने का आधार है, जिसकी मदद से वह सौंदर्य और सद्भाव महसूस कर सकता है।

स्वर्ण अनुपात

गोल्डन सेक्शन के आयामों को निर्धारित करने का सिद्धांत पूरी दुनिया और इसके भागों की पूर्णता को इसकी संरचना और कार्यों में रेखांकित करता है, इसकी अभिव्यक्ति प्रकृति, कला और प्रौद्योगिकी में देखी जा सकती है। स्वर्ण वैज्ञानिकों के सिद्धांत को संख्याओं की प्रकृति पर प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा किए गए शोध के परिणामस्वरूप रखा गया था।

यह खंडों के विभाजन के अनुपात और अनुपात के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे प्राचीन दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा बनाया गया था। उन्होंने साबित किया कि जब एक खंड को दो भागों में विभाजित किया जाता है: X (छोटा) और Y (बड़ा), छोटे से बड़े का अनुपात उनकी राशि (पूरे खंड) के अनुपात के बराबर होगा:

परिणाम समीकरण है: x 2 - x - 1 \u003d 0,जैसा तय है   x \u003d (1 \u003d √5) / 2।

यदि हम 1 / x के अनुपात पर विचार करते हैं, तो यह बराबर है 1,618…

प्राचीन विचारकों द्वारा सुनहरे अनुपात के उपयोग के साक्ष्य को यूक्लिड की पुस्तक "बिगिनिंग" में दिया गया है, जिसे तीसरी शताब्दी में लिखा गया है। ई.पू., जिन्होंने नियमित 5-गोंन्स के निर्माण के लिए इस नियम को लागू किया था। पाइथागोरस के बीच, यह आंकड़ा पवित्र माना जाता है, क्योंकि यह सममित और असममित दोनों है। पंचग्राम जीवन और स्वास्थ्य का प्रतीक है।

फाइबोनैचि संख्या

पीसा के इटली लियोनार्डो की प्रसिद्ध पुस्तक लिबर अबासी गणितज्ञ, जो बाद में फिबोनाची के रूप में जाना गया, 1202 में प्रकाशित हुआ। इसमें वैज्ञानिक पहले संख्याओं का एक पैटर्न देते हैं, जिसके बीच प्रत्येक संख्या 2 अंकों का योग है। फाइबोनैचि संख्याओं का क्रम इस प्रकार है:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, आदि।

वैज्ञानिक ने कई प्रतिमानों का भी हवाला दिया:

• अगले से विभाजित श्रृंखला से कोई भी संख्या एक मान के बराबर होगी जो 0.618 तक जाती है। इसके अलावा, पहले फाइबोनैचि संख्याएं इस तरह की संख्या नहीं देती हैं, लेकिन जैसा कि आप अनुक्रम की शुरुआत से आगे बढ़ते हैं, यह अनुपात अधिक सटीक होगा।
• यदि आप श्रृंखला से संख्या को पिछले एक में विभाजित करते हैं, तो परिणाम 1.618 तक पहुंच जाएगा।
• एक के माध्यम से अगले द्वारा विभाजित एक संख्या 0.382 के लिए एक मूल्य प्रवृत्ति दिखाएगा।

संबंध और सुनहरे अनुपात के नियम, फाइबोनैचि संख्या (0.618) को न केवल गणित में, बल्कि प्रकृति में, इतिहास में, वास्तुकला और निर्माण में, और कई अन्य विज्ञानों में भी पाया जा सकता है।

आर्किमिडीज सर्पिल और स्वर्ण आयत

सर्पिल, प्रकृति में बहुत आम, आर्किमिडीज़ द्वारा जांच की गई थी, जिसने इसके समीकरण को भी काट दिया था। सर्पिल का आकार सुनहरे खंड के कानूनों पर आधारित है। जब इसे अनवांटेड किया जाता है, तो एक लंबाई प्राप्त की जाती है, जिसके अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं को लागू किया जा सकता है, कदम समान रूप से बढ़ता है।

फिबोनाची संख्या और सुनहरे अनुपात के बीच समानांतर एक "सुनहरा आयत" का निर्माण करके देखा जा सकता है, जिसमें पक्ष आनुपातिक हैं, जैसे 1.618: 1। इसे बनाया गया है, एक बड़े आयत से एक छोटे से स्थानांतरित करना ताकि पक्षों की लंबाई एक पंक्ति में संख्याओं के बराबर हो। इसका निर्माण "1" बॉक्स से शुरू होकर, रिवर्स ऑर्डर में किया जा सकता है। जब उनके चौराहे के केंद्र में इस आयत के कोनों को जोड़ते हैं, तो एक फाइबोनैचि सर्पिल या लघुगणक प्राप्त होता है।

सोने के अनुपात के उपयोग का इतिहास

मिस्र के कई प्राचीन स्थापत्य स्मारकों को सुनहरे अनुपात का उपयोग करके बनाया गया था: चेप्स और अन्य लोगों के प्रसिद्ध पिरामिड। प्राचीन ग्रीस के आर्किटेक्ट्स ने मंदिर, एम्फीथिएटर, स्टेडियम जैसे वास्तुशिल्प वस्तुओं के निर्माण में व्यापक रूप से उनका उपयोग किया था। उदाहरण के लिए, इस तरह के अनुपात का उपयोग प्राचीन पार्थेनन मंदिर, (एथेंस) और अन्य वस्तुओं के निर्माण में किया गया था, जो गणितीय वास्तुकला के आधार पर सद्भाव का प्रदर्शन करते हुए, प्राचीन वास्तुकला की कृति बन गए थे।

बाद की शताब्दियों में, गोल्डन रेशियो में रुचि कम हो गई, और पैटर्न भूल गए, लेकिन पुनर्जागरण में फिर से शुरू किया फ्रांसिस्कन भिक्षु एल। पैकियोली डि बोर्गो की पुस्तक "डिवाइन प्रॉपरेशन" (1509)। इसमें लियोनार्डो दा विंची के चित्र थे, जिन्होंने नया नाम "गोल्डन सेक्शन" रखा। सुनहरे अनुपात के 12 गुण वैज्ञानिक रूप से भी सिद्ध थे, और लेखक ने इस बारे में बात की कि यह कला में, प्रकृति में कैसे प्रकट होता है और इसे "दुनिया और प्रकृति के निर्माण का सिद्धांत" कहा जाता है।

विट्रुवियन मैन लियोनार्डो

1492 में लियोनार्डो दा विंची की ड्राइंग ने विट्रुवियस की पुस्तक को चित्रित किया, जिसमें एक व्यक्ति के 2 पदों के आंकड़े को दर्शाया गया था, जिसमें उसकी बाहें फैल गई थीं। आकृति एक सर्कल और वर्ग में अंकित है। इस आंकड़े को लियोनाडरे द्वारा वर्णित मानव शरीर (पुरुष) के विहित अनुपात को रोमन वास्तुकार विट्रुवियस के ग्रंथों में उनके अध्ययन के आधार पर माना जाता है।

नाभि को शरीर का केंद्र माना जाता है हाथ और पैर के अंत से एक समबाहु बिंदु के रूप में, बाहों की लंबाई व्यक्ति की ऊंचाई के बराबर होती है, अधिकतम कंधे की चौड़ाई \u003d ऊंचाई का 1/8, छाती के शीर्ष से बालों की दूरी \u003d 1/7, छाती के शीर्ष से सिर के शीर्ष तक 1/6 \u003d। आदि

तब से, आकृति का उपयोग मानव शरीर की आंतरिक समरूपता को दर्शाने वाले प्रतीक के रूप में किया गया है।

लियोनार्डो ने "गोल्डन अनुपात" शब्द का उपयोग मानव आकृति में आनुपातिक संबंधों के लिए किया था। उदाहरण के लिए, कमर से पैरों की दूरी नाभि से लेकर मुकुट तक समान दूरी से मेल खाती है, जैसा कि पहली लंबाई (कमर से नीचे) तक बढ़ती है। यह गणना स्वर्ण खंड की गणना में खंडों के अनुपात के समान की जाती है और 1.618 तक पहुंच जाती है।

इन सभी सामंजस्यपूर्ण अनुपात का उपयोग अक्सर कलाकारों द्वारा सुंदर और प्रभावशाली कार्यों को बनाने के लिए किया जाता है।

16-19वीं शताब्दी में गोल्डन सेक्शन की पढ़ाई

सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करते हुए, अनुपात के मुद्दे पर अनुसंधान एक सदी से अधिक समय से चल रहा है। लियोनार्डो दा विंची के साथ समानांतर में, जर्मन कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर भी मानव शरीर के सही अनुपात का एक सिद्धांत विकसित कर रहा था। ऐसा करने के लिए, उसने एक विशेष कम्पास भी बनाया।

16 वीं शताब्दी में फाइबोनैचि संख्या और सुनहरे अनुपात के बीच का संबंध खगोलविद आई। केप्लर के काम के लिए समर्पित था, जिन्होंने पहले वनस्पति विज्ञान के लिए इन नियमों को लागू किया था।

19 वीं शताब्दी में एक नए "खोज" ने सुनहरे अनुपात की प्रतीक्षा की। जर्मन वैज्ञानिक प्रोफेसर ज़िसिग द्वारा एस्थेटिक रिसर्च के प्रकाशन के साथ। उन्होंने इन अनुपातों को निरपेक्ष रूप से ऊंचा किया और घोषित किया कि वे सभी प्राकृतिक घटनाओं के लिए सार्वभौमिक हैं। उन्होंने भारी संख्या में लोगों पर अनुसंधान किया, या बल्कि उनके शारीरिक अनुपात (लगभग 2 हजार), जिसके आधार पर शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में सांख्यिकीय पुष्टि पैटर्न पर निष्कर्ष निकाला गया: कंधों की लंबाई, forearms, हाथ, उंगलियां, आदि।

कला की वस्तुएं (vases, वास्तुशिल्प निर्माण), संगीतमय स्वर, कविता लिखने के दौरान आयामों की भी जांच की गई - Zeisig ने खंडों और संख्याओं की लंबाई के माध्यम से यह सब प्रदर्शित किया, उन्होंने "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" शब्द भी पेश किया। परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह निकला कि फाइबोनैचि श्रृंखला प्राप्त की जाती है।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या और सुनहरा अनुपात

पौधे और पशु दुनिया में, समरूपता के रूप में बनने की प्रवृत्ति होती है, जो विकास और आंदोलन की दिशा में देखी जाती है। सममित भागों में विभाजन, जिसमें सुनहरा अनुपात देखा जाता है, ऐसा एक पैटर्न कई पौधों और जानवरों में निहित है।

उदाहरण के लिए, हमारे आसपास की प्रकृति को फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:

• किसी भी पौधे की पत्तियों या शाखाओं का स्थान, साथ ही साथ दी गई संख्या 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 और आगे की संख्या के साथ दूरी परस्पर संबंधित होती है;
• सूरजमुखी के बीज (शंकु, अनानास कोशिकाओं पर तराजू), अलग-अलग दिशाओं में मुड़ सर्पिल में दो पंक्तियों में स्थित हैं;
• पूंछ की लंबाई और छिपकली के पूरे शरीर का अनुपात;
• अंडे का आकार, अगर हम सशर्त रूप से इसके विस्तृत भाग के माध्यम से रेखा खींचते हैं;
• किसी व्यक्ति के हाथ की उंगलियों का अनुपात

और, ज़ाहिर है, सबसे दिलचस्प रूप सर्पिल घोंघे के गोले हैं, वेब पर पैटर्न, तूफान के अंदर हवा की आवाजाही, डीएनए में डबल हेलिक्स और आकाशगंगाओं की संरचना - इन सभी में फ़्यूकोनाइन संख्याओं का एक क्रम शामिल है।

कला में सुनहरे अनुपात का उपयोग

स्वर्ण अनुपात के उपयोग के उदाहरणों की खोज करने की कला में शोधकर्ताओं ने विभिन्न वास्तुशिल्प वस्तुओं और चित्रों की विस्तार से जांच की। प्रसिद्ध मूर्तिकला कृतियों को जाना जाता है, जिनके रचनाकार सुनहरे अनुपात का पालन करते हैं - ओलंपियन ज़्यूस, अपोलो बेल्वेडियर और

लियोनार्डो दा विंची का एक काम - "मोना लिसा का चित्र" - कई वर्षों से वैज्ञानिकों द्वारा किए गए शोध का विषय है। उन्होंने पाया कि काम की संरचना में पूरी तरह से "गोल्डन त्रिकोण" शामिल हैं, जो एक नियमित पेंटागन-स्टार में एक साथ हैं। दा विंची के सभी कार्य इस बात के प्रमाण हैं कि मानव शरीर की संरचना और अनुपात में उनका ज्ञान कितना गहरा था, जिसकी बदौलत वह गियोकोंडा की अविश्वसनीय रहस्यमयी मुस्कान को पकड़ने में सक्षम थे।

वास्तुकला में स्वर्णिम अनुपात

एक उदाहरण के रूप में, वैज्ञानिकों ने "गोल्डन सेक्शन" के नियमों द्वारा बनाई गई वास्तुशिल्प कृतियों का अध्ययन किया: मिस्र के पिरामिड, पेंथियन, पार्थेनन, नोट्रे डेम डी पेरिस कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, आदि।

पार्थेनन - प्राचीन ग्रीस (5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) में सबसे सुंदर इमारतों में से एक है - 8 स्तंभ और 17 अलग-अलग तरफ हैं, इसकी लंबाई के पक्षों की लंबाई का अनुपात 0.618 है। इसके पहलुओं पर प्रोट्रूशंस को "गोल्डन सेक्शन" (नीचे फोटो) के अनुसार बनाया गया है।

उन वैज्ञानिकों में से एक जिन्होंने वास्तुशिल्प वस्तुओं के लिए मॉड्यूलर अनुपात प्रणाली के सुधार का आविष्कार किया और सफलतापूर्वक लागू किया (तथाकथित "न्यूनाधिक") फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर थे। मॉड्यूलेटर मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सशर्त विभाजन से जुड़े एक मापने वाले सिस्टम पर आधारित है।

रूसी वास्तुकार एम। काजाकोव, जिन्होंने मॉस्को में कई आवासीय भवनों का निर्माण किया, साथ ही क्रेमलिन में सीनेट की इमारत और गोलित्सिन अस्पताल (अब एन। आई। पिरोगोव के नाम पर पहला क्लिनिकल), उन वास्तुकारों में से एक थे जिन्होंने डिजाइन और निर्माण में कानूनों का इस्तेमाल किया। सुनहरे अनुपात के बारे में।

डिजाइन में अनुपात लागू करना

फैशन डिजाइन में, सभी फैशन डिजाइनर मानव शरीर के अनुपात और सुनहरे अनुपात के नियमों को ध्यान में रखते हुए नई छवियां और मॉडल बनाते हैं, हालांकि प्रकृति के सभी लोगों के पास आदर्श अनुपात नहीं हैं।

जब परिदृश्य डिजाइन की योजना बना रहे हैं और पौधों (पेड़ों और झाड़ियों), फव्वारे और छोटे वास्तुशिल्प वस्तुओं का उपयोग करके वॉल्यूमेट्रिक पार्क रचनाएं बना रहे हैं, तो "दिव्य अनुपात" के नियम भी लागू किए जा सकते हैं। आखिरकार, पार्क की संरचना को आगंतुक पर एक छाप बनाने पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए, जो इसमें स्वतंत्र रूप से नेविगेट करने और एक रचना केंद्र खोजने में सक्षम होंगे।

पार्क के सभी तत्व ऐसे अनुपात में हैं जो किसी व्यक्ति को सद्भाव और पूर्णता के साथ प्रभावित करने के लिए ज्यामितीय संरचना, सापेक्ष स्थिति, प्रकाश और प्रकाश की सहायता से करते हैं।

साइबरनेटिक्स और टेक्नोलॉजी में सुनहरे अनुपात का उपयोग

डीएनए जेनेटिक संरचना में, अंतरिक्ष प्रणालियों में, रासायनिक कणों को बनाने वाले प्राथमिक कणों के साथ होने वाली प्रक्रियाओं में, स्वर्ण खंड और फाइबोनैचि संख्याओं के नियम भी ऊर्जा संक्रमण में प्रकट होते हैं।

मानव शरीर में इसी तरह की प्रक्रियाएं होती हैं, अपने जीवन के बायोरिएम्स में खुद को प्रकट करते हुए, अंगों की कार्रवाई में, उदाहरण के लिए, मस्तिष्क या दृष्टि।

आधुनिक साइबरनेटिक्स और कंप्यूटर विज्ञान में सुनहरे अनुपात के एल्गोरिदम और पैटर्न का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। नौसिखिया प्रोग्रामर हल कर सकने वाले सरल कार्यों में से एक है सूत्र लिखना और प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करके एक निश्चित संख्या में फाइबोनैचि संख्याओं का योग निर्धारित करना।

स्वर्णिम अनुपात सिद्धांत पर समकालीन शोध

20 वीं शताब्दी के मध्य के बाद से, मानव जीवन पर सुनहरे अनुपात के नियमों की समस्याओं और प्रभाव में रुचि तेजी से बढ़ रही है, और विभिन्न व्यवसायों के कई वैज्ञानिकों की ओर से: गणितज्ञों, नृवंशविज्ञानियों शोधकर्ताओं, जीवविज्ञानी, दार्शनिकों, चिकित्साकर्मियों, अर्थशास्त्रियों, संगीतकारों, आदि।

संयुक्त राज्य अमेरिका में, 1970 के दशक से, द फाइबोनैचि त्रैमासिक पत्रिका प्रकाशित की जाने लगी, जहाँ इस विषय पर काम प्रकाशित होते हैं। काम प्रेस में दिखाई देता है जिसमें ज्ञान के विभिन्न शाखाओं में सुनहरे खंड और फाइबोनैचि श्रृंखला के सामान्यीकृत नियमों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोडिंग जानकारी, रासायनिक अनुसंधान, जैविक, आदि के लिए।

यह सब प्राचीन और आधुनिक वैज्ञानिकों के निष्कर्षों की पुष्टि करता है कि स्वर्ण अनुपात बहुपक्षीय रूप से विज्ञान के बुनियादी सवालों से जुड़ा हुआ है और हमारे आस-पास की दुनिया की कई कृतियों और घटनाओं की समरूपता में खुद को प्रकट करता है।

इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फाइबोनैचि 13 वीं शताब्दी में रहते थे और अरबी (भारतीय) संख्याओं का उपयोग करने वाले यूरोप के पहले में से एक थे। वह खरगोशों के बारे में कुछ हद तक कृत्रिम समस्या के साथ आया था जो एक खेत पर उठाए जाते हैं, जिनमें से सभी को मादा माना जाता है, पुरुषों की उपेक्षा की जाती है। जब वे दो महीने के हो जाते हैं तब खरगोश प्रजनन करना शुरू कर देते हैं और फिर हर महीने एक खरगोश को जन्म देते हैं। खरगोश कभी नहीं मरते।

यह निर्धारित करना आवश्यक है कि कितने खरगोश खेत के माध्यम से होंगे n  महीनों, यदि प्रारंभिक समय में केवल एक नवजात खरगोश था।

जाहिर है, किसान के पास पहले महीने में एक खरगोश और दूसरे महीने में एक खरगोश होता है। तीसरे महीने में पहले से ही दो खरगोश होंगे, चौथे में - तीन, आदि। में खरगोशों की संख्या को नकारें n  महीने की तरह इस तरह से
,
,
,
,
, …

आप एक एल्गोरिथ्म का निर्माण कर सकते हैं जो आपको खोजने की अनुमति देता है किसी के लिए n.

समस्या की स्थिति के अनुसार, खरगोशों की कुल संख्या
में n+1 माह तीन घटकों में विघटित होता है:

की मात्रा में, प्रजनन के लिए एक महीने के पुराने खरगोश असमर्थ हैं

;

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं

. (8.1)

सूत्र (8.1) आपको कई संख्याओं की गणना करने की अनुमति देता है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...

इस क्रम में संख्याओं को कहा जाता है फाइबोनैचि संख्या .

अगर स्वीकार है
और
, तब सूत्र (8.1) का उपयोग करके हम अन्य सभी फाइबोनैचि संख्याओं को निर्धारित कर सकते हैं। फॉर्मूला (8.1) कहा जाता है आवर्तक   सूत्र ( पुनरावृत्ति   (लैटिन में "वापसी")।

उदाहरण 8.1।मान लीजिए कि एक सीढ़ी है n  चरणों। हम इसे एक चरण के चरणों में चढ़ सकते हैं, या - दो चरणों के चरणों में। विभिन्न उठाने के तरीकों के कितने संयोजन हैं?

अगर n  \u003d 1, समस्या का केवल एक ही समाधान है। के लिए n  \u003d 2 में 2 विकल्प हैं: दो एकल चरण या एक डबल। के लिए n  \u003d 3 में 3 विकल्प हैं: तीन इकाई चरण, या एक इकाई और एक डबल, या एक डबल और एक यूनिट।

निम्नलिखित मामले में n  \u003d 4, हमारे पास 5 संभावनाएँ (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2) हैं।

यादृच्छिक पर सवाल का जवाब देने के लिए n, विकल्प की संख्या को निरूपित करें , और निर्धारित करने का प्रयास करें
प्रसिद्ध द्वारा और
। यदि हम एक कदम के साथ शुरू करते हैं, तो हमारे पास है शेष के लिए संयोजन n  चरणों। अगर हम दोहरे कदम से शुरुआत करते हैं, तो हमारे पास है
शेष के लिए संयोजन n-1 कदम। के लिए विकल्पों की कुल संख्या n+1 चरण बराबर होता है

. (8.2)

एक जुड़वां सूत्र के रूप में परिणामी सूत्र (8.1)। हालांकि, यह संयोजनों की संख्या की पहचान करने की अनुमति नहीं देता है फाइबोनैचि संख्याओं के साथ । हम देखते हैं, उदाहरण के लिए, कि
लेकिन
। हालाँकि, निम्न संबंध होता है:

.

यह सच है n \u003d 1, 2, और प्रत्येक के लिए भी सही है n। फाइबोनैचि संख्या और संयोजनों की संख्या हालांकि, प्रारंभिक मानों का उपयोग करके गणना की जाती है
,
और
,
वे अलग हैं।

उदाहरण 8.2।यह उदाहरण त्रुटि-सुधार कोडिंग समस्याओं के लिए व्यावहारिक महत्व का है। लंबाई के सभी बाइनरी शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए nएक पंक्ति में कई शून्य नहीं है। इस संख्या को बताएं । जाहिर है,
, और लंबाई 2 के शब्द हमारे प्रतिबंध को संतुष्ट करते हैं: 10, 01, 11, अर्थात्।
। चलो
- ऐसे शब्द से n  अक्षर। अगर प्रतीक
तो
मनमाना हो सकता है (
) एक अक्षर शब्द है जिसमें एक पंक्ति में कई शून्य नहीं होते हैं। तो अंत में एक इकाई के साथ शब्दों की संख्या है
.

अगर प्रतीक
तो निश्चित हो
, और पहला
प्रतीक
माना प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए मनमाना हो सकता है। इसलिए, वहाँ है
लंबाई के शब्द n  अंत में शून्य के साथ। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज के शब्दों की कुल संख्या के बराबर है

.

इस तथ्य को देखते हुए कि
और
संख्याओं का परिणामी क्रम फाइबोनैचि संख्या है।

उदाहरण 8.3उदाहरण 7.6 में, हमने पाया कि निरंतर वजन के द्विआधारी शब्दों की संख्या टी  (और लंबाई कश्मीर) बराबर है । अब निरंतर भार के द्विआधारी शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए टीएक पंक्ति में कई शून्य नहीं है।

आप इस तरह से कारण कर सकते हैं। चलो
शब्दों में शून्य की संख्या प्रश्न में। कोई भी शब्द है
निकटतम शून्य के बीच अंतराल, जिनमें से प्रत्येक में एक या एक से अधिक इकाइयां होती हैं। यह माना जाता है कि
। अन्यथा, आसन्न शून्य के बिना एक भी शब्द नहीं है।

यदि हम प्रत्येक अंतर से एक इकाई को हटाते हैं, तो हमें लंबाई का एक शब्द मिलता है
शामिल शून्य। ऐसे किसी भी शब्द को संकेतित तरीके से कुछ से प्राप्त किया जा सकता है (और, इसके अलावा, केवल एक) कश्मीरएक पत्र शून्य, जिनमें से कोई भी दो पक्ष साथ नहीं हैं। इसलिए, वांछित संख्या लंबाई के सभी शब्दों की संख्या के साथ मेल खाती है
बिल्कुल युक्त शून्य यानी है
.

उदाहरण 8.4।हमें यह साबित करते हैं कि राशि
किसी भी पूर्णांक के लिए फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर । प्रतीक
का प्रतिनिधित्व करता है सबसे छोटा पूर्णांक इससे बड़ा या उसके बराबर होता है । उदाहरण के लिए, यदि
तो
; और अगर
तो
प्लस्तर लगाना  ( "छत")। प्रतीक भी होता है।
जो दर्शाता है सबसे बड़ा पूर्णांक से कम या इसके बराबर । अंग्रेजी में, इस ऑपरेशन को कहा जाता है मंज़िल ( "सेक्स")।

अगर
तो
। अगर
तो
। अगर
तो
.

इस प्रकार, माना मामलों के लिए, राशि वास्तव में फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर है। अब हम सामान्य मामले के लिए एक प्रमाण देते हैं। चूंकि पुनरावर्तन समीकरण (8.1) का उपयोग करके फाइबोनैचि संख्याएं प्राप्त की जा सकती हैं, फिर समानता

.

और यह वास्तव में करता है:

यहां हमने पहले प्राप्त सूत्र (4.4) का उपयोग किया है:
.

फाइबोनैचि संख्याओं का योग

हम पहले का योग निर्धारित करते हैं n  फाइबोनैचि संख्या।

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

यह देखना आसान है कि प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर एक जोड़कर, हम फिर से फाइबोनैचि संख्या प्राप्त करते हैं। पहले का योग निर्धारित करने का सामान्य सूत्र n  फाइबोनैचि संख्याओं का रूप होता है:

हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके इसे साबित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम लिखते हैं:

यह राशि बराबर होनी चाहिए
.

समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को -1 से कम करते हुए, हम समीकरण (6.1) प्राप्त करते हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं के लिए सूत्र

प्रमेय 8.1। सूत्र द्वारा फाइबोनैचि संख्याओं की गणना की जा सकती है

.

सबूत। हम इस सूत्र की वैधता को सत्यापित करते हैं n  \u003d 0, 1, और फिर हम इस फार्मूले की वैधता को एक मनमाना साबित करते हैं n  प्रेरण द्वारा। हम दो निकटतम फाइबोनैचि संख्याओं के अनुपात की गणना करते हैं:

हम देखते हैं कि इन संख्याओं का अनुपात लगभग 1.618 है (यदि आप पहले कुछ मूल्यों की उपेक्षा करते हैं)। इस संपत्ति के द्वारा, ज्यामितीय प्रगति के सदस्य फाइबोनैचि संख्याओं से मिलते जुलते हैं। स्वीकार करेंगे
, (
)। फिर अभिव्यक्ति

में परिवर्तित कर दिया

जो सरलीकरण के बाद ऐसा दिखता है

.

हमें एक द्विघात समीकरण मिला, जिसकी जड़ें बराबर हैं:

अब हम लिख सकते हैं:

(जहां ग  एक स्थिर है)। दोनों सदस्य   और उदाहरण के लिए फाइबोनैचि संख्या न दें
, जबकि
। हालाँकि अंतर है
  पुनरावृत्ति समीकरण को संतुष्ट करता है:

के लिए n\u003d 0, यह अंतर देता है , यानी।
। हालाँकि, जब n\u003d 1 हमारे पास है
। पाने के लिए
, आपको स्वीकार करना चाहिए:
.

अब हमारे पास दो क्रम हैं:   और
वही दो नंबरों से शुरू होता है और उसी पुनरावृत्ति फार्मूले को पूरा करता है। वे समान होना चाहिए:
। प्रमेय सिद्ध है।

बढ़ने के साथ n  एक सदस्य बहुत बड़ा हो रहा है
, और सदस्य की भूमिका अंतर कम हो गया है। इसलिए, बड़े के लिए n  लगभग हम लिख सकते हैं

.

हम 1/2 की उपेक्षा करते हैं (चूंकि फाइबोनैचि संख्या वृद्धि के साथ अनंत तक बढ़ जाती है n  ad infinitum)।

रवैया
  यह कहा जाता है सुनहरा अनुपात, इसका उपयोग गणित के बाहर किया जाता है (उदाहरण के लिए, मूर्तिकला और वास्तुकला में)। स्वर्ण अनुपात विकर्ण और पक्ष के बीच का अनुपात है नियमित पंचकोण  (चित्र। 8.1)।

अंजीर। 8.1। नियमित पंचकोण और उसके विकर्ण

स्वर्ण अनुपात को निरूपित करने के लिए, पत्र का उपयोग करने के लिए प्रथागत है
प्रसिद्ध एथेनियन मूर्तिकार फिदियास के सम्मान में।

अभाज्य संख्या

सभी प्राकृतिक संख्याएँ, बड़ी इकाइयाँ, दो वर्गों में आती हैं। पहले में वे नंबर शामिल हैं जिनमें दो प्राकृतिक विभाजक हैं, एक और स्वयं, दूसरा - सभी अन्य। प्रथम श्रेणी के नंबर कहलाते हैं सरलऔर दूसरा - समग्र। पहले तीन दर्जन के भीतर प्रमुख संख्याएं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

सभी प्राकृतिक संख्याओं के साथ अपराधों के गुणों और उनके संबंधों का अध्ययन यूक्लिड (3 शताब्दी ईसा पूर्व) द्वारा किया गया था। यदि आप एक पंक्ति में primes लिखते हैं, तो आप देखेंगे कि उनका सापेक्ष घनत्व कम हो जाता है। पहले दस में 4 हैं, अर्थात् 40%, सौ में - 25, अर्थात्। 25%, प्रति हजार - 168, अर्थात्। 17% से कम, प्रति मिलियन - 78498, अर्थात्। 8% से कम, आदि। हालांकि, उनकी कुल संख्या अनंत है।

ऐसे अपराधों में जोड़े ऐसे होते हैं, जिनके बीच का अंतर दो के बराबर होता है (तथाकथित सरल जुड़वाँ बच्चे), हालांकि, ऐसी जोड़ियों की सुंदरता या अनन्तता साबित नहीं हुई है।

यूक्लिड ने यह स्पष्ट माना कि केवल primes को गुणा करके सभी प्राकृतिक संख्याओं को प्राप्त किया जा सकता है, और प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को विशिष्ट रूप से primes के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है (कारकों के क्रम तक)। इस प्रकार, primes प्राकृतिक श्रृंखला का गुणक आधार बनाते हैं।

प्रिम्स के वितरण का अध्ययन एक एल्गोरिथ्म के निर्माण के लिए किया गया है जो आपको प्राइम्स की टेबल प्राप्त करने की अनुमति देता है। ऐसा एल्गोरिथ्म है एराटोस्थनीज की छलनी  (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व)। इस पद्धति में दिए गए अनुक्रम के उन पूर्णांकों को बाहर निकालना (उदाहरण के लिए, हड़ताली द्वारा) शामिल है
जो छोटे से कम से कम एक विभाजन से विभाज्य हैं
.

प्रमेय 8 . 2 .   (यूक्लिडियन प्रमेय)। Primes की संख्या अनंत है.

सबूत। हम लियोनार्ड यूलर (1707-1783) द्वारा प्रस्तावित विधि द्वारा अपराधों की अनंतता पर यूक्लिडियन प्रमेय साबित करते हैं। यूलर ने सभी अपराधों के लिए उत्पाद की समीक्षा की पी:

पर
। यह उत्पाद अभिसरण करता है, और यदि यह पता चला है, तो, प्राकृतिक संख्याओं के अपघटन की प्रमुख कारकों में विशिष्टता के कारण, यह पता चलता है कि यह श्रृंखला के योग के बराबर है , जहां से यूलर की पहचान इस प्रकार है:

.

कब से?
चूंकि श्रृंखला सही डायवर्ज (हार्मोनिक सीरीज़) पर है, तो यूक्लिडियन प्रमेय, यूलर की पहचान का अनुसरण करता है।

रूसी गणितज्ञ पी.एल. चेबीशेव (1821-1894) ने एक सूत्र निकाला जिसमें सीमाओं की संख्या निहित है
से अधिक नहीं एक्स:

,

जहाँ
,
.