पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान हैं। पाइथागोरस प्रमेय का मूल प्रमाण

रचनात्मकता की संभावना आमतौर पर मानविकी को जिम्मेदार ठहराया जाता है, प्राकृतिक विज्ञान को विश्लेषण, एक व्यावहारिक दृष्टिकोण और सूत्रों और संख्याओं की एक सूखी भाषा के साथ छोड़ देता है। गणित को मानवीय विषयों के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है। लेकिन "सभी विज्ञानों की रानी" में रचनात्मकता के बिना आप दूर नहीं जाएंगे - लोग इस बारे में लंबे समय से जानते हैं। पाइथागोरस के समय से, उदाहरण के लिए।

दुर्भाग्य से, स्कूली पाठ्यपुस्तकें आमतौर पर यह नहीं समझाती हैं कि गणित में न केवल प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और सूत्रों को रटना महत्वपूर्ण है। इसके मूल सिद्धांतों को समझना और महसूस करना महत्वपूर्ण है। और साथ ही अपने मन को क्लिच और प्राथमिक सत्य से मुक्त करने का प्रयास करें - केवल ऐसी स्थितियों में ही सभी महान खोजें पैदा होती हैं।

इन खोजों में वह शामिल है जिसे हम आज पाइथागोरस प्रमेय के रूप में जानते हैं। इसकी मदद से हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि गणित न केवल रोमांचक हो सकता है, बल्कि रोमांचक भी होना चाहिए। और यह कि यह साहसिक कार्य न केवल मोटे चश्मे वाले नर्ड के लिए उपयुक्त है, बल्कि उन सभी के लिए उपयुक्त है जो दिमाग से मजबूत और आत्मा में मजबूत हैं।

मुद्दे के इतिहास से

कड़ाई से बोलते हुए, हालांकि प्रमेय को "पाइथागोरस प्रमेय" कहा जाता है, पाइथागोरस ने स्वयं इसकी खोज नहीं की थी। समकोण त्रिभुज और इसके विशेष गुणों का अध्ययन इसके बहुत पहले किया गया था। इस मुद्दे पर दो विपरीत दृष्टिकोण हैं। एक संस्करण के अनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का पूर्ण प्रमाण खोजने वाला पहला व्यक्ति था। दूसरे के अनुसार, सबूत पाइथागोरस के लेखकत्व से संबंधित नहीं है।

आज आप यह नहीं देख सकते कि कौन सही है और कौन गलत। यह केवल ज्ञात है कि पाइथागोरस का प्रमाण, यदि वह कभी अस्तित्व में था, नहीं बच पाया है। हालांकि, ऐसे सुझाव हैं कि यूक्लिड के "तत्वों" से प्रसिद्ध प्रमाण पाइथागोरस से संबंधित हो सकते हैं, और यूक्लिड ने केवल इसे दर्ज किया है।

आज यह भी ज्ञात है कि प्राचीन भारतीय ग्रंथ "सुलवा सूत्र" और प्राचीन चीनी में राजा हम्मुराबी के शासनकाल के दौरान बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों पर फिरौन अमेनेमखेत I के समय के मिस्र के स्रोतों में एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याएं पाई जाती हैं। रचना "झोउ-बी सुआन जिन"।

जैसा कि आप देख सकते हैं, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से गणितज्ञों के दिमाग पर कब्जा कर लिया है। लगभग 367 विभिन्न साक्ष्य हैं जो आज भी मौजूद हैं। इसमें कोई अन्य प्रमेय इसका मुकाबला नहीं कर सकता। उल्लेखनीय प्रमाण लेखकों में लियोनार्डो दा विंची और संयुक्त राज्य अमेरिका के बीसवें राष्ट्रपति जेम्स गारफील्ड शामिल हैं। यह सब गणित के लिए इस प्रमेय के अत्यधिक महत्व की बात करता है: ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इससे या किसी न किसी तरह से जुड़े हुए हैं।

पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण

स्कूली पाठ्यपुस्तकों में ज्यादातर बीजीय प्रमाण दिए जाते हैं। लेकिन प्रमेय का सार ज्यामिति में है, तो आइए सबसे पहले प्रसिद्ध प्रमेय के उन सभी प्रमाणों पर विचार करें, जो इस विज्ञान पर आधारित हैं।

सबूत 1

पाइथागोरस प्रमेय के सरलतम प्रमाण के लिए सही त्रिकोणआपको आदर्श स्थितियाँ निर्धारित करने की आवश्यकता है: त्रिभुज को न केवल आयताकार, बल्कि समद्विबाहु भी होने दें। यह मानने का कारण है कि इस त्रिभुज को मूल रूप से पुरातनता के गणितज्ञों द्वारा माना जाता था।

कथन "एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बना एक वर्ग उसके पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है"निम्नलिखित चित्र द्वारा सचित्र किया जा सकता है:

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC को देखें: कर्ण AC पर, आप मूल ABC के बराबर चार त्रिभुजों से मिलकर बना एक वर्ग बना सकते हैं। और पैरों AB और BC पर इसे एक वर्ग में बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक में दो समान त्रिभुज हैं।

वैसे, इस चित्र ने पाइथागोरस प्रमेय को समर्पित कई उपाख्यानों और कार्टूनों का आधार बनाया। शायद सबसे प्रसिद्ध is "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं":

सबूत 2

यह विधि बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है और इसे गणितज्ञ भास्करी के प्राचीन भारतीय प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।

भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज बनाइए ए, बी और सी(चित्र एक)। फिर दोनों पैरों की लंबाई के योग के बराबर भुजाओं वाले दो वर्ग बनाएं, - (ए + बी)... प्रत्येक वर्ग में आकृति 2 और 3 के अनुसार रचना कीजिए।

पहले वर्ग में, चार समान त्रिभुज बनाएं जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। परिणामस्वरूप, आपको दो वर्ग मिलते हैं: एक भुजा a के साथ, दूसरा भुजा वाला बी.

दूसरे वर्ग में, चार समान निर्मित त्रिभुज कर्ण के बराबर भुजा वाला एक वर्ग बनाते हैं सी.

चित्र 2 में निर्मित वर्गों के क्षेत्रफलों का योग उस वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है जिसे हमने चित्र 3 में भुजा c से बनाया है। इसे अंजीर में वर्गों के क्षेत्रों की गणना करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। 2 सूत्र द्वारा। और चित्र 3 में अंकित वर्ग का क्षेत्रफल एक वर्ग समकोण त्रिभुजों में अंकित चार बराबर क्षेत्रफलों को एक भुजा वाले बड़े वर्ग के क्षेत्रफल से घटाकर (ए + बी).

यह सब लिखते हुए, हमारे पास है: ए 2 + बी 2 = (ए + बी) 2 - 2ab... कोष्ठक का विस्तार करें, सभी आवश्यक बीजगणितीय गणना करें और प्राप्त करें ए 2 + बी 2 = ए 2 + बी 2... इस मामले में, अंजीर में अंकित क्षेत्र। 3. वर्ग की गणना पारंपरिक सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है एस = सी 2... वे। ए 2 + बी 2 = सी 2- आपने पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध कर दिया।

सबूत 3

उसी प्राचीन भारतीय प्रमाण का वर्णन बारहवीं शताब्दी में "द क्राउन ऑफ नॉलेज" ("सिद्धांत शिरोमणि") ग्रंथ में किया गया है और मुख्य तर्क के रूप में लेखक गणितीय प्रतिभाओं और छात्रों और अनुयायियों के अवलोकन के लिए अपील का उपयोग करता है: " नज़र!"

लेकिन हम इस प्रमाण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे:

वर्ग के अंदर, चार समकोण त्रिभुज बनाएं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। बड़े वर्ग की भुजा, यह कर्ण भी है, हम निरूपित करते हैं साथ... त्रिभुज की टाँगें कहलाती हैं एतथा बी... चित्र के अनुसार, भीतरी वर्ग की भुजा है (ए-बी).

एक वर्ग सूत्र के क्षेत्रफल का प्रयोग करें एस = सी 2बाहरी वर्ग के क्षेत्र की गणना करने के लिए। और साथ ही, आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल और सभी चार समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़कर समान मान की गणना करें: (ए-बी) 2 2 + 4 * 1 \ 2 * ए * बी.

आप यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे एक ही परिणाम देते हैं, वर्ग के क्षेत्रफल की गणना के लिए दोनों विकल्पों का उपयोग कर सकते हैं। और यह आपको यह लिखने का अधिकार देता है कि सी 2 = (ए-बी) 2 + 4 * 1 \ 2 * ए * बी... समाधान के परिणामस्वरूप, आपको पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र प्राप्त होगा सी 2 = ए 2 + बी 2... प्रमेय सिद्ध होता है।

सबूत 4

इस जिज्ञासु प्राचीन चीनी प्रमाण को "दुल्हन की कुर्सी" कहा जाता है - सभी निर्माणों के परिणामस्वरूप प्राप्त कुर्सी जैसी आकृति के कारण:

यह उस चित्र का उपयोग करता है जिसे हमने पहले ही दूसरे प्रमाण में चित्र 3 में देखा था। और साइड c वाला भीतरी वर्ग उसी तरह बनाया गया है जैसे ऊपर दिए गए प्राचीन भारतीय प्रमाण में।

यदि चित्र 1 में दो हरे समकोण त्रिभुजों को मानसिक रूप से काट दिया जाता है, तो उन्हें वर्ग के विपरीत पक्षों पर ले जाएँ c और कर्ण, बकाइन त्रिभुजों के कर्ण से संलग्न करें, आपको "दुल्हन की कुर्सी" नामक एक आकृति मिलती है। (रेखा चित्र नम्बर 2)। स्पष्टता के लिए, आप पेपर वर्गों और त्रिकोणों के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं। आप देखेंगे कि "दुल्हन की कुर्सी" दो वर्गों द्वारा बनाई गई है: एक पक्ष के साथ छोटा बीऔर एक पक्ष के साथ बड़ा ए.

इन निर्माणों ने प्राचीन चीनी गणितज्ञों और उनके बाद इस निष्कर्ष पर पहुंचने की अनुमति दी कि सी 2 = ए 2 + बी 2.

सबूत 5

यह पाइथागोरस प्रमेय का समाधान खोजने का एक और तरीका है, जो ज्यामिति पर निर्भर करता है। इसे गारफील्ड विधि कहा जाता है।

एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए एबीसी... हमें यह साबित करना होगा कि बीसी 2 = एसी 2 + एबी 2.

ऐसा करने के लिए, लेग जारी रखें जैसाऔर एक रेखाखंड खींचे सीडीजो पैर के बराबर है अब... लंबवत नीचे करें विज्ञापनअनुभाग ईडी... सेगमेंट ईडीतथा जैसाबराबर हैं। बिंदुओं को मिलाओ इतथा वी, तथा इतथा साथऔर नीचे दिए गए चित्र के अनुसार चित्र प्राप्त करें:

टावर को साबित करने के लिए, हम फिर से उस विधि का सहारा लेते हैं जिसे हमने पहले ही आजमाया है: परिणामी आकृति का क्षेत्रफल दो तरह से ज्ञात करें और भावों को एक-दूसरे से समान करें।

बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तरइसे बनाने वाले तीन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़कर यह संभव है। और उनमें से एक, ईआरयू, न केवल आयताकार है, बल्कि समद्विबाहु भी है। हम यह भी नहीं भूलते एबी = सीडी, एसी = ईडीतथा ईसा पूर्व = सीई- यह हमें रिकॉर्डिंग को सरल बनाने और इसे अधिभारित करने की अनुमति नहीं देगा। इसलिए, एस एबीईडी = 2 * 1/2 (एबी * एसी) + 1/2बीसी 2.

इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि एक बिस्तरएक समलम्ब है। इसलिए, हम इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा करते हैं: एस एबीईडी = (डीई + एबी) * 1/2एडी... हमारी गणना के लिए, खंड का प्रतिनिधित्व करना अधिक सुविधाजनक और स्पष्ट है विज्ञापनखंडों के योग के रूप में जैसातथा सीडी.

आइए एक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए दोनों तरीकों को लिखें, उनके बीच एक समान चिन्ह लगाएं: एबी * एसी + 1/2बीसी 2 = (डीई + एबी) * 1/2 (एसी + सीडी)... हम पहले से ज्ञात और ऊपर वर्णित खंडों की समानता का उपयोग अंकन के दाहिने हाथ को सरल बनाने के लिए करते हैं: एबी * एसी + 1/2बीसी 2 = 1/2 (एबी + एसी) 2... आइए अब कोष्ठकों का विस्तार करें और समानता को रूपांतरित करें: एबी * एसी + 1/2BC 2 = 1/2AC 2 + 2 * 1/2 (AB * AC) + 1/2AB 2... सभी परिवर्तनों को पूरा करने के बाद, हमें वही मिलता है जो हमें चाहिए: बीसी 2 = एसी 2 + एबी 2... हमने प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

बेशक, सबूतों की यह सूची पूरी तरह से दूर है। पाइथागोरस प्रमेय को वैक्टर, कॉम्प्लेक्स नंबर, डिफरेंशियल इक्वेशन, स्टीरियोमेट्री आदि का उपयोग करके भी साबित किया जा सकता है। और यहां तक ​​​​कि भौतिकी: यदि, उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए समान वर्ग और त्रिकोणीय संस्करणों में तरल डाला जाता है। तरल डालने से, एक परिणाम के रूप में क्षेत्रों और प्रमेय की समानता को साबित कर सकता है।

पाइथागोरस ट्रिपलेट्स के बारे में कुछ शब्द

यह मुद्दा स्कूली पाठ्यक्रम में बहुत कम पढ़ाया जाता है या नहीं पढ़ा जाता है। और फिर भी यह बहुत ही रोचक और ज्यामिति में बहुत महत्व रखता है। कई गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए पाइथागोरस त्रिक का उपयोग किया जाता है। उनका विचार आपकी आगे की शिक्षा में आपके काम आ सकता है।

तो पाइथागोरस ट्रिपल क्या हैं? इसे वे कहते हैं पूर्णांकों, तीन में एकत्रित किया जाता है, जिसमें से दो के वर्गों का योग तीसरी संख्या के वर्ग के बराबर होता है।

पाइथागोरस त्रिक हो सकते हैं:

• आदिम (तीनों संख्याएँ परस्पर अभाज्य हैं);
• आदिम नहीं (यदि ट्रिपल की प्रत्येक संख्या को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको एक नया ट्रिपल मिलता है, जो कि आदिम नहीं है)।

हमारे युग से पहले भी, प्राचीन मिस्रवासी पाइथागोरस ट्रिपल की संख्या के उन्माद से मोहित थे: समस्याओं में वे 3,4 और 5 इकाइयों के पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज मानते थे। वैसे, कोई भी त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पाइथागोरस त्रिक से संख्याओं के बराबर होती हैं, डिफ़ॉल्ट रूप से आयताकार होता है।

पाइथागोरस त्रिक के उदाहरण: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50), आदि।

प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

पाइथागोरस प्रमेय न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला और निर्माण, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि साहित्य में भी लागू होता है।

सबसे पहले, निर्माण के बारे में: पाइथागोरस प्रमेय समस्याओं में इसका व्यापक अनुप्रयोग पाता है अलग - अलग स्तरकठिनाइयाँ। उदाहरण के लिए, रोमनस्क्यू विंडो पर एक नज़र डालें:

आइए विंडो की चौड़ाई को इस प्रकार निरूपित करें बी, तो अर्धवृत्त की त्रिज्या को के रूप में दर्शाया जा सकता है आरऔर के माध्यम से व्यक्त करें बी: आर = बी / 2... छोटे अर्धवृत्तों की त्रिज्या को द्वारा भी व्यक्त किया जा सकता है बी: आर = बी / 4... इस समस्या में, हम विंडो के भीतरी वृत्त की त्रिज्या में रुचि रखते हैं (चलो इसे कहते हैं पी).

पाइथागोरस प्रमेय केवल गणना करने के काम आता है आर... ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हैं, जिसे आकृति में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। त्रिभुज के कर्ण में दो त्रिज्याएँ होती हैं: बी / 4 + पी... एक पैर त्रिज्या है बी 4, एक और बी / 2-पी... पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (बी / 4 + पी) 2 = (बी / 4) 2 + (बी / 2-पी) 2... अगला, हम कोष्ठक खोलते हैं और प्राप्त करते हैं बी 2/16 + बीपी / 2 + पी 2 = बी 2/16 + बी 2/4-बीपी + पी 2... हम इस अभिव्यक्ति को . में बदलते हैं बीपी / 2 = बी 2/4-बीपी... और फिर सभी पदों को से विभाजित करें बी, हम प्राप्त करने के लिए समान देते हैं 3/2 * पी = बी / 4... और अंत में हम पाएंगे कि पी = बी / 6- जो हमें चाहिए था।

प्रमेय का उपयोग करके, आप इसके बाद की लंबाई की गणना कर सकते हैं मकान के कोने की छत... निर्धारित करें कि सिग्नल के लिए एक निश्चित . तक पहुँचने के लिए मोबाइल टावर की कितनी ऊँचाई की आवश्यकता है समझौता... और यहां तक ​​कि लगातार सेट क्रिसमस ट्रीशहर के चौक में। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह प्रमेय न केवल पाठ्यपुस्तकों के पन्नों पर रहता है, बल्कि वास्तविक जीवन में अक्सर उपयोगी होता है।

साहित्य के लिए, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से लेखकों को प्रेरित किया है और हमारे समय में भी ऐसा करना जारी रखता है। उदाहरण के लिए, उन्नीसवीं सदी के जर्मन लेखक एडेलबर्ट वॉन चामिसो को एक सॉनेट लिखने के लिए प्रेरित किया गया था:

सत्य का प्रकाश शीघ्र नहीं बुझेगा,
लेकिन, चमकते हुए, यह शायद ही विलुप्त हो जाएगा
और, सहस्राब्दी पहले की तरह,
संदेह और विवाद का कारण नहीं बनेगा।

सबसे बुद्धिमान जब यह आंख को छूता है
सत्य का प्रकाश, देवताओं को धन्यवाद;
और सौ बैल, छुरा घोंपा, झूठ -
भाग्यशाली पाइथागोरस की ओर से एक पारस्परिक उपहार।

तब से, बैल बुरी तरह दहाड़ रहे हैं:
बैल जनजाति द्वारा हमेशा के लिए चिंतित
यहां बताई गई घटना।

उन्हें ऐसा लगता है: समय आने वाला है
और फिर उनकी बलि दी जाएगी
कुछ महान प्रमेय।

(विक्टर टोपोरोव द्वारा अनुवाद)

और बीसवीं शताब्दी में, सोवियत लेखक येवगेनी वेल्टिस्टोव ने अपनी पुस्तक "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" में पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए एक पूरा अध्याय समर्पित किया। और आधा अध्याय दो-आयामी दुनिया की कहानी के लिए, जो मौजूद हो सकता है यदि पाइथागोरस प्रमेय एक ही दुनिया के लिए मौलिक कानून और यहां तक ​​​​कि धर्म भी बन जाता है। इसमें रहना बहुत आसान होगा, लेकिन बहुत अधिक उबाऊ भी होगा: उदाहरण के लिए, कोई भी "गोल" और "शराबी" शब्दों का अर्थ नहीं समझता है।

और पुस्तक "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" में लेखक, गणित के शिक्षक तातार के मुंह के माध्यम से कहते हैं: "गणित में मुख्य बात विचार, नए विचारों की गति है।" यह विचार की रचनात्मक उड़ान है जो पाइथागोरस प्रमेय को जन्म देती है - यह व्यर्थ नहीं है कि इसके इतने सारे अलग-अलग प्रमाण हैं। यह परिचित की सीमाओं से परे जाने और परिचित चीजों को नए तरीके से देखने में मदद करता है।

निष्कर्ष

यह लेख इसलिए बनाया गया था ताकि आप गणित में स्कूली पाठ्यक्रम से परे देख सकें और न केवल पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों का पता लगा सकें, जो पाठ्यपुस्तकों "ज्यामिति 7-9" (एल.एस. अतानासियन, वी.एन. रुडेंको) और "ज्यामिति 7" में दिए गए हैं। -11 "(एवी पोगोरेलोव), लेकिन प्रसिद्ध प्रमेय को साबित करने के अन्य जिज्ञासु तरीके भी। और यह भी देखें कि पाइथागोरस प्रमेय को दैनिक जीवन में कैसे लागू किया जा सकता है।

सबसे पहले, यह जानकारी आपको गणित के पाठों में उच्च अंकों के लिए अर्हता प्राप्त करने की अनुमति देगी - अतिरिक्त स्रोतों से विषय पर जानकारी की हमेशा सराहना की जाती है।

दूसरे, हम आपको यह समझने में मदद करना चाहते हैं कि गणित कितना दिलचस्प है। विशिष्ट उदाहरणों के साथ सुनिश्चित करें कि इसमें रचनात्मकता के लिए हमेशा जगह है। हमें उम्मीद है कि पाइथागोरस प्रमेय और यह लेख गणित और अन्य विज्ञानों में आपके स्वतंत्र अन्वेषण और रोमांचक खोजों को प्रेरित करेगा।

हमें टिप्पणियों में बताएं कि क्या आपको इस लेख में सबूत दिलचस्प लगे। क्या यह जानकारी आपके अध्ययन में उपयोगी थी? हमें लिखें कि आप पाइथागोरस प्रमेय और इस लेख के बारे में क्या सोचते हैं - हमें आपके साथ इस सब पर चर्चा करने में खुशी होगी।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय - "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है"- स्कूल से सभी जानते हैं।

अच्छा आपको याद है "पायथागॉरियन पैंट", कौन "सभी दिशाओं में समान"- ग्रीक वैज्ञानिक के प्रमेय की व्याख्या करने वाला एक योजनाबद्ध चित्र।

यहां एतथा बी- पैर, और साथ- कर्ण:

अब मैं आपको इस प्रमेय के एक मूल प्रमाण के बारे में बताऊंगा, जिसके बारे में आप शायद नहीं जानते होंगे...

लेकिन, पहले, एक पर विचार करें लेम्मा- एक सिद्ध कथन, जो अपने आप में उपयोगी नहीं है, बल्कि अन्य कथनों (प्रमेय) को सिद्ध करने के लिए उपयोगी है।

शीर्षों वाला एक समकोण त्रिभुज लीजिए एक्स, यूतथा जेड, कहां जेड- समकोण और लंब को छोड़ दें समकोण जेडकर्ण पर। यहां वू- वह बिंदु जिस पर ऊँचाई कर्ण को काटती है।

यह रेखा (लंबवत) जेडडब्ल्यूत्रिभुज को स्वयं की समान प्रतियों में तोड़ता है।

आपको याद दिला दूं कि त्रिभुज समरूप कहलाते हैं, जिनके कोण क्रमशः बराबर होते हैं, और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की समान भुजाओं के समानुपाती होती हैं।

हमारे उदाहरण में, परिणामी त्रिभुज XWZतथा YWZएक दूसरे के समान और मूल त्रिभुज के समान XYZ.

इसे साबित करना मुश्किल नहीं है।

त्रिभुज XWZ से शुरू करते हुए, ध्यान दें कि XWZ = 90 और इसलिए ∠XZW = 180–90-∠X। लेकिन 180-90-∠X बिल्कुल वही है जो Y है, इसलिए त्रिभुज XWZ त्रिभुज XYZ के समरूप होना चाहिए (सभी कोण बराबर हैं)। यही अभ्यास YWZ त्रिभुज के लिए भी किया जा सकता है।

लेम्मा सिद्ध है! एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर गिराई गई ऊँचाई (लंबवत) त्रिभुज को दो समान भागों में विभाजित करती है, जो बदले में मूल त्रिभुज के समान होते हैं।

लेकिन वापस हमारे "पायथागॉरियन पैंट" पर ...

कर्ण पर लंब गिराएं सी... नतीजतन, हमने अपने समकोण त्रिभुज के अंदर दो समकोण त्रिभुज बनाए हैं। आइए इन त्रिभुजों को नामित करें (उपरोक्त चित्र में हरे में) पत्र एतथा बीऔर मूल त्रिभुज है साथ.

बेशक, एक त्रिभुज का क्षेत्रफल है साथत्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर एतथा बी.

वे। ए+ बी= साथ

अब आइए शीर्ष पर आकृति ("पायथागॉरियन पैंट") को तीन घर के आंकड़ों में तोड़ दें:

जैसा कि हम लेम्मा, त्रिभुजों से पहले ही जानते हैं ए, बीतथा सीएक दूसरे के समान हैं, इसलिए परिणामी घर के आंकड़े भी समान हैं और एक दूसरे के स्केल किए गए संस्करण हैं।

इसका मतलब है कि क्षेत्रफल का अनुपात एतथा अज़ी, क्षेत्र अनुपात के समान है बीतथा बी²,तथा सीतथा ग.

तो हमारे पास ए / ए² = बी / बी² = सी / सी² .

आइए हम त्रिभुज के क्षेत्रफलों और घर की आकृति में वर्ग के इस अनुपात को अक्षर द्वारा निरूपित करें क.

वे। कत्रिभुज (घर की छत) के क्षेत्रफल को उसके नीचे के वर्ग के क्षेत्रफल से जोड़ने वाला एक निश्चित गुणांक है:
के = ए / ए² = बी / बी² = सी / सी²

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को उनके नीचे के वर्गों के क्षेत्रफलों के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
ए = का, बी = केबी², तथा सी = केसी²

लेकिन, हमें याद है कि ए + बी = सी, जिसका मतलब है ka² + kb² = kc²

या ए² + बी² = सी²

और यह है पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण!

पाइथागोरस प्रमेय को स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं। प्रख्यात गणितज्ञ ने एक महान परिकल्पना साबित की जिसका उपयोग आज बहुत से लोग कर रहे हैं। नियम इस तरह लगता है: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। कई दशकों से कोई भी गणितज्ञ इस नियम पर बहस नहीं कर पाया है। आखिरकार, पाइथागोरस लंबे समय तक अपने लक्ष्य तक गया, ताकि परिणामस्वरूप, रोजमर्रा की जिंदगी में चित्र बन सकें।

1. इस प्रमेय के लिए एक छोटी कविता, जिसका आविष्कार प्रमाण के तुरंत बाद किया गया था, सीधे परिकल्पना के गुणों को साबित करता है: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।" कई लोगों की याद में अटकी यह दो-पंक्ति-कविता आज तक गणनाओं में याद की जाती है।
2. इस प्रमेय को "पायथागॉरियन पैंट" कहा जाता था क्योंकि बीच में ड्राइंग करते समय, एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता था, जिसके किनारों पर वर्ग होते थे। दिखने में, यह चित्र पैंट जैसा दिखता था - इसलिए परिकल्पना का नाम।
3. पाइथागोरस को विकसित प्रमेय पर गर्व था, क्योंकि यह परिकल्पना समान लोगों से अधिकतम साक्ष्य में भिन्न होती है। महत्वपूर्ण: 370 सत्य साक्ष्य के कारण समीकरण गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में दर्ज किया गया था।

   

4. इस परिकल्पना को बड़ी संख्या में गणितज्ञों और प्रोफेसरों द्वारा सिद्ध किया गया था विभिन्न देशकई मायनों में... अंग्रेजी गणितज्ञ जोन्स ने जल्द ही घोषणा की कि परिकल्पना ने इसे एक अंतर समीकरण का उपयोग करके साबित कर दिया।

   

5. वर्तमान में पाइथागोरस द्वारा प्रमेय के प्रमाण को कोई नहीं जानता है।... गणितज्ञों के प्रमाणों के तथ्य आज किसी को ज्ञात नहीं हैं। यह माना जाता है कि यूक्लिड द्वारा चित्रों का प्रमाण पाइथागोरस का प्रमाण है। हालांकि, कुछ विद्वान इस कथन के साथ तर्क देते हैं: कई लोग मानते हैं कि यूक्लिड ने परिकल्पना के निर्माता की मदद के बिना, अपने दम पर प्रमेय को साबित कर दिया।

   

6. आज के वैज्ञानिकों ने पाया है कि महान गणितज्ञ इस परिकल्पना की खोज करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे।... पाइथागोरस की खोज से बहुत पहले समीकरण ज्ञात था। यह गणितज्ञ केवल परिकल्पना को फिर से जोड़ने में सक्षम था।

   

7. पाइथागोरस ने समीकरण को "पाइथागोरस प्रमेय" नाम नहीं दिया... यह नाम "जोर से दो-पंक्ति" के बाद अटक गया। गणितज्ञ केवल यही चाहता था कि पूरी दुनिया उसके प्रयासों और खोजों को जाने और उसका उपयोग करे।

   

8. मोरित्ज़ कैंटर - महान उत्कृष्ट गणितज्ञ ने चित्रों के साथ प्राचीन पेपिरस रिकॉर्ड पर पाया और पहचाना... इसके तुरंत बाद, कैंटोर ने महसूस किया कि यह प्रमेय मिस्रवासियों को 2300 ईसा पूर्व से ही ज्ञात था। तभी किसी ने इसका इस्तेमाल नहीं किया और न ही इसे साबित करने की कोशिश की।

   

9. वर्तमान वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि इस परिकल्पना को 8वीं शताब्दी ईसा पूर्व के रूप में जाना जाता था... उस समय के भारतीय वैज्ञानिकों ने समकोण वाले त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना की खोज की। सच है, उस समय कोई भी अनुमानित गणना द्वारा समीकरण को सुनिश्चित करने में सक्षम नहीं था।

   

10. महान गणितज्ञ बार्टेल वैन डेर वेर्डन ने परिकल्पना को सिद्ध करने के बाद एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला: “यूनानी गणितज्ञ की योग्यता को दिशा और ज्यामिति की खोज नहीं, बल्कि उसका औचित्य ही माना जाता है। पाइथागोरस के हाथों में कम्प्यूटेशनल सूत्र थे जो धारणाओं, सटीक गणनाओं और अस्पष्ट विचारों पर आधारित थे। हालांकि, उत्कृष्ट वैज्ञानिक इसे एक सटीक विज्ञान में बदलने में कामयाब रहे।"

    

11. प्रसिद्ध कवि ने कहा कि अपने चित्र के उद्घाटन के दिन, उन्होंने बैलों के लिए एक शानदार यज्ञ किया... इस परिकल्पना की खोज के बाद अफवाहें फैलीं कि सौ बैलों की बलि "पुस्तकों और प्रकाशनों के पन्नों को भटकाने के लिए चली गई।" बुद्धि आज तक मजाक करती है कि तब से सभी बैल एक नई खोज से डरते हैं।

    

12. सबूत है कि पाइथागोरस पैंट के बारे में कविता के साथ नहीं आया था ताकि वह सामने रखे ब्लूप्रिंट को साबित कर सके: महान गणितज्ञ के जीवन के दौरान, अभी तक कोई पैंट नहीं थी... उनका आविष्कार कई दशकों बाद हुआ था।
13. अपने स्वयं के शासन के बारे में पाइथागोरस के विचार: पृथ्वी पर अस्तित्व का रहस्य संख्याओं में निहित है... आखिरकार, गणितज्ञ ने अपनी परिकल्पना पर भरोसा करते हुए, संख्याओं के गुणों का अध्ययन किया, समता और विषमता का पता लगाया और अनुपात बनाए।

    

कुछ चर्चाएँ मुझे बहुत लुभाती हैं...

हाय आप क्या कर रहे हैं?
-हां, मैं पत्रिका से समस्याओं का समाधान करता हूं।
-वाह वाह! आपसे उम्मीद नहीं थी।
- आपने क्या उम्मीद नहीं की थी?
-कि आप समस्याओं के लिए रुके हैं। आखिर यह चतुर लगता है, लेकिन आप हर तरह की बकवास में विश्वास करते हैं।
- सॉरी मुझे समझ नहीं आया। बकवास किसे कहते हैं?
-हां, वह सारा गणित आपका। आखिरकार, यह स्पष्ट है कि कचरा पूरा हो गया है।
-आप इसे कैसे कहेंगे? विज्ञान की रानी है गणित...
- बस इस पाथोस के बिना चलो, है ना? गणित कोई विज्ञान नहीं है, बल्कि मूर्खतापूर्ण नियमों और नियमों का एक निरंतर ढेर है।
-क्या?!
- ओह, ठीक है, इतनी बड़ी आँखें मत बनाओ, तुम खुद जानते हो कि मैं सही हूँ। नहीं, मैं तर्क नहीं देता, गुणन तालिका एक महान चीज है, इसने मानव जाति की संस्कृति और इतिहास के निर्माण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। लेकिन अब यह सब पहले से ही अप्रासंगिक है! और फिर, चीजों को जटिल क्यों करें? प्रकृति में कोई समाकलन या लघुगणक नहीं हैं, ये सभी गणितज्ञों के आविष्कार हैं।
-ज़रा ठहरिये। गणितज्ञों ने कुछ भी आविष्कार नहीं किया, उन्होंने सिद्ध उपकरणों का उपयोग करके संख्याओं की बातचीत के नए कानूनों की खोज की ...
-हां बिल्कुल! और क्या आप ऐसा मानते हैं? क्या आप खुद नहीं देख सकते कि वे किस बकवास के बारे में लगातार बात कर रहे हैं? क्या आप एक उदाहरण दे सकते हैं?
-हाँ, दयालु बनो।
-जी बोलिये! पाइथागोरस प्रमेय।
-उसको क्या हूआ है?
-हाँ, ऐसा नहीं है! "पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ समान हैं," आप देखते हैं। क्या आप जानते हैं कि पाइथागोरस के दिनों में यूनानियों ने पैंट नहीं पहनी थी? पाइथागोरस जिस चीज के बारे में नहीं जानता था, उसके बारे में तर्क कैसे कर सकता है?
-ज़रा ठहरिये। पैंट का इससे क्या लेना-देना है?
- अच्छा, वे पाइथागोरोव लगते हैं? या नहीं? क्या आप मानते हैं कि पाइथागोरस के पास पैंट नहीं थी?
- ठीक है, वास्तव में, यह बिल्कुल नहीं था ...
-हाँ, इसका मतलब है कि प्रमेय के शीर्षक में एक स्पष्ट विसंगति है! उसके बाद, आप उसकी बात को गंभीरता से कैसे ले सकते हैं?
- ज़रा ठहरिये। पाइथागोरस ने पैंट के बारे में कुछ नहीं कहा...
- आप इसे मानते हैं, है ना?
-हाँ ... तो, क्या मैं जारी रख सकता हूँ? पाइथागोरस ने पैंट के बारे में कुछ नहीं कहा, और उसे दूसरे लोगों की बकवास के बारे में बताने की जरूरत नहीं है ...
-हाँ, आप स्वयं सहमत हैं कि यह सब बकवास है!
- मैंने ऐसा नहीं कहा!
- मैंने यही कहा। आप अपने आप का विरोध कर रहे हैं।
-इसलिए। विराम। पाइथागोरस प्रमेय क्या कहता है?
-कि सभी पैंट समान हैं।
- अरे नहीं, क्या आपने कभी इस प्रमेय को पढ़ा है?!
-मैं जानता हूँ।
-कहा पे?
-मैंने पढ़ा।
-आपने क्या पढ़ा था?!
-लोबचेव्स्की.
*रोकें*
-क्षमा करें, लोबाचेव्स्की का पाइथागोरस से क्या लेना-देना है?
- ठीक है, लोबचेवस्की भी एक गणितज्ञ है, और वह पाइथागोरस की तुलना में कहीं अधिक ठंडा अधिकारी प्रतीत होता है, नहीं कहो?
*आहें*
-खैर, लोबाचेव्स्की ने पाइथागोरस प्रमेय के बारे में क्या कहा?
-कि पैंट बराबर है। लेकिन यह बकवास है! आप इस तरह पैंट कैसे पहन सकते हैं? और इसके अलावा, पाइथागोरस ने बिल्कुल भी पैंट नहीं पहनी थी!
-लोबाचेव्स्की ने ऐसा कहा?!
*दूसरा विराम, विश्वास के साथ*
-हां!
- मुझे दिखाओ कि यह कहाँ लिखा है।
-नहीं, ठीक है, वहां इतना सीधे नहीं लिखा है ...
- इस किताब का क्या नाम है?
-हाँ, यह कोई किताब नहीं है, यह एक अखबार का लेख है। इस तथ्य के बारे में कि लोबचेवस्की वास्तव में जर्मन खुफिया का एजेंट था ... ठीक है, यह बिंदु के बगल में है। वैसे भी, उन्होंने शायद ऐसा कहा था। वह एक गणितज्ञ भी है, इसलिए वह और पाइथागोरस एक ही समय में हैं।
-पाइथागोरस ने पैंट के बारे में कुछ नहीं कहा।
-सही है! उसके बारे में और भाषण। यह सब बकवास है।
-चलो क्रम में आते हैं। आप व्यक्तिगत रूप से कैसे जानते हैं कि पाइथागोरस प्रमेय क्या कहता है?
-ओह अब छोड़िए भी! हर कोई जानता है कि। किसी से भी पूछें, वे तुरंत आपको जवाब देंगे।
-पायथागॉरियन पैंट पैंट नहीं हैं...
-और ज़ाहिर सी बात है कि! यह एक रूपक है! क्या आप जानते हैं कि मैंने इसे पहले कितनी बार सुना है?
-पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि टाँगों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। और सब कुछ!
-पैंट कहाँ हैं?
-हाँ, पाइथागोरस के पास कोई पैंट नहीं थी !!!
- ठीक है, तुम देखो, मैं उसी के बारे में बात कर रहा हूँ। तुम्हारा सारा गणित बकवास है।
-और यह बकवास नहीं है! आप ही देख लीजिए। यहाँ एक त्रिभुज है। यहाँ कर्ण है। यहाँ पैर हैं ...
-और अचानक यह पैर क्यों है, और यह कर्ण है? शायद दूसरी तरफ?
-नहीं। पैर दो भुजाएँ हैं जो एक समकोण बनाती हैं।
- ठीक है, यहाँ आपके लिए एक और समकोण है।
- वह सीधा नहीं है।
- वह क्या है, कुटिल?
-नहीं, यह मसालेदार है।
-तो यह भी तेज है।
- यह तेज नहीं है, यह सीधा है।
- तुम्हें पता है, मुझे मूर्ख मत बनाओ! आप बस अपनी पसंद के अनुसार चीजों को नाम दें, बस परिणाम को वांछित में समायोजित करने के लिए।
- समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ टाँगें होती हैं। लंबी भुजा कर्ण है।
-और कौन छोटा है - वह पैर? और कर्ण, तो अब लुढ़क नहीं रहा है? आप ही बाहर से सुनिये, किस बकवास की बात कर रहे हो। यह 21वीं सदी है, लोकतंत्र का उत्कर्ष, और आपके पास किसी प्रकार का मध्य युग है। उसके पक्ष, आप देखते हैं, असमान हैं ...
-समान भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज मौजूद नहीं है...
-क्या आपको यकीन है? मुझे आपके लिए आकर्षित करने दो। यहाँ देखो। आयताकार? आयताकार। और सभी पक्ष समान हैं!
- आपने एक वर्ग बनाया।
-तो क्या हुआ?
-वर्ग त्रिभुज नहीं है।
-और ज़ाहिर सी बात है कि! जैसे ही यह हमें शोभा नहीं देता, तुरंत "त्रिकोण नहीं"! मुझे बेवकूफ मत बनाओ। इसे स्वयं गिनें: एक कोना, दो कोने, तीन कोने।
-चार।
-तो क्या हुआ?
- यह एक चौक है।
-और एक वर्ग, त्रिभुज नहीं? वह बदतर है, है ना? सिर्फ इसलिए कि मैंने इसे खींचा? क्या तीन कोने हैं? वहाँ है, और यहाँ भी एक अतिरिक्त है। खैर, यहाँ कुछ भी नहीं है, आप जानते हैं ...
- ठीक है, इस विषय को छोड़ दें।
-हाँ, पहले से ही हार मान रहे हो? बहस करने के लिए कुछ भी नहीं है? क्या आप मानते हैं कि गणित बकवास है?
- नहीं, मैं नहीं।
- अच्छा, फिर से, बढ़िया! मैंने आपको विस्तार से सब कुछ साबित कर दिया है! यदि आपकी सारी ज्यामिति पाइथागोरस की शिक्षाओं पर आधारित है, और, मैं क्षमा चाहता हूँ, यह पूरी तरह से बकवास है ... तो आप आगे किस बारे में बात कर सकते हैं?
-पाइथागोरस की शिक्षा बकवास नहीं है...
-कितनी अच्छी तरह से! और फिर मैंने पाइथागोरस के स्कूल के बारे में नहीं सुना! वे, यदि आप जानना चाहते हैं, तांडव में लिप्त हैं!
- इसका इससे क्या लेना-देना है ...
-और पाइथागोरस आम तौर पर एक फगोट था! उसने खुद कहा था कि प्लेटो उसका दोस्त है।
-पाइथागोरस?!
- आप नहीं जानते थे? हाँ, वे सब मूर्ख थे। और सिर पर तीन। एक बैरल में सो रहा था, दूसरा नग्न होकर शहर में घूम रहा था ...
-डायोजनीज एक बैरल में सोता था, लेकिन वह एक दार्शनिक था, गणितज्ञ नहीं ...
-और ज़ाहिर सी बात है कि! अगर कोई बैरल में चढ़ गया, तो वे अब गणितज्ञ नहीं हैं! हमें अतिरिक्त शर्म की आवश्यकता क्यों है? हम जानते हैं, हम जानते हैं, बीत चुके हैं। लेकिन आप मुझे समझाते हैं कि हर तरह के फगोट जो तीन हजार साल पहले रहते थे और बिना पैंट के दौड़ते थे, मेरे लिए एक अधिकार क्यों होना चाहिए? मैं पृथ्वी पर क्यों उनकी बात मानूं?
-ठीक है, चले जाओ...
-नहीं, सुनो! अंत में, मैंने भी आपकी बात सुनी। ये हैं आपकी गणना, गणना ... आप सभी जानते हैं कि कैसे गिनना है! और आपसे संक्षेप में कुछ पूछें, ठीक वहीं पर: "यह एक भागफल है, यह एक चर है, और ये दो अज्ञात हैं।" और आप मुझे बिना किसी विवरण के ओ-ओ-ओ-जनरल में बताएं! और बिना किसी अज्ञात, अज्ञात, अस्तित्वगत ... यह मुझे बीमार करता है, तुम्हें पता है?
-समझना।
- अच्छा, मुझे समझाओ कि दो बार दो हमेशा चार क्यों होते हैं? इसका आविष्कार किसने किया? और मैं इसे हल्के में लेने के लिए बाध्य क्यों हूं और मुझे संदेह करने का कोई अधिकार नहीं है?
-हां, जितना चाहो शक करो...
- नहीं, तुम मुझे समझाओ! केवल तुम्हारी इन बातों के बिना, लेकिन यह सामान्य है, मानवीय रूप से, ताकि यह स्पष्ट हो।
-दो गुना दो चार के बराबर होता है, क्योंकि दो गुना दो चार के बराबर होता है.
-तेल तेल। आपने मुझे क्या नया बताया?
-दो गुना दो दो गुना दो है. दो और दो लें और उन्हें जोड़ें ...
-तो जोड़ें या गुणा करें?
-यह बिल्कुल वैसा है...
-दोनों पर! तो अगर मैं सात और आठ को जोड़ूं और गुणा करूं, तो क्या यह भी वही बात है?
-नहीं।
-और क्यों?
-क्योंकि सात जमा आठ बराबर नहीं होता...
-और अगर मैं नौ को दो से गुणा करूं, तो यह चार हो जाता है?
-नहीं।
-और क्यों? मैंने दो गुणा किया - यह काम किया, लेकिन नौ के साथ अचानक एक बमर?
-हां। दो बार नौ - अठारह।
-और दो बार सात?
-चौदह।
-और दो बार पाँच?
-दस।
- यानी चार केवल एक विशेष मामले में निकलते हैं?
-बिल्कुल।
- अब आप ही सोचिए। आप कहते हैं कि गुणन के कुछ सख्त नियम और नियम हैं। हम यहां किन कानूनों के बारे में बात कर सकते हैं, यदि प्रत्येक विशिष्ट मामले में एक अलग परिणाम प्राप्त होता है?!
-यह पूरी तरह सच नहीं है। कभी-कभी परिणाम समान हो सकता है। उदाहरण के लिए, दो बार छह बारह के बराबर होता है। और चार गुना तीन - वो भी...
-ज़्यादा बुरा! दो, छह, तीन, चार - कुछ भी नहीं! आप स्वयं देख सकते हैं कि परिणाम किसी भी तरह से प्रारंभिक डेटा पर निर्भर नहीं करता है। एक ही निर्णय दो मौलिक रूप से भिन्न स्थितियों में किया जाता है! और यह इस तथ्य के बावजूद कि वही दो, जिन्हें हम लगातार लेते हैं और किसी भी चीज़ के लिए नहीं बदलते हैं, हमेशा सभी संख्याओं के साथ एक अलग उत्तर देते हैं। कोई आश्चर्य करता है कि तर्क कहाँ है?
-लेकिन यह एक बार फिर तार्किक है!
- आपके लिए - शायद। आप गणितज्ञ हमेशा हर तरह की अपमानजनक बकवास में विश्वास करते हैं। और तुम्हारी ये गणना मुझे विश्वास नहीं दिलाती। और आप जानते हैं क्यों?
-क्यों?
-क्योंकि मैं मैं जानता हूँआपके गणित की वास्तव में आवश्यकता क्यों है। यह सब क्या उबलता है? "कात्या की जेब में एक सेब है, और मीशा के पास पाँच हैं। मिशा को कात्या को कितने सेब देने चाहिए ताकि उनके पास बराबर सेब हो?" और आप जानते हैं कि मैं आपको क्या बताऊंगा? मिशा किसी का कुछ भी बकाया नहीं हैमुफ्त में मिली वस्तु! कात्या के पास एक सेब है - बस। क्या यह उसके लिए काफी नहीं है? उसे काम पर जाने दो, और ईमानदारी से कम से कम सेब के लिए, कम से कम नाशपाती के लिए, कम से कम शैंपेन में अनानास के लिए खुद को कमाओ। और अगर कोई काम नहीं करना चाहता है, लेकिन केवल समस्याओं को हल करना चाहता है - उसे अपने एक सेब के साथ बैठने दो, दिखावा नहीं!