एक समलम्ब सूत्र का क्षेत्रफल क्या है। समलंब क्षेत्र: गणना कैसे करें, सूत्र

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आमतौर पर एक गणित शिक्षक इसकी गणना के लिए कई तरीके जानता है, आइए उन पर अधिक विस्तार से ध्यान दें:
1) , जहां AD और BC आधार हैं, और BH समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है। उपपत्ति: एक विकर्ण BD खींचिए और त्रिभुजों ABD और CDB के क्षेत्रफलों को उनके आधारों और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

, जहां डीपी बाहरी ऊंचाई है

हम इन समानताओं को पद दर पद से जोड़ते हैं और यह देखते हुए कि BH और DP की ऊँचाई बराबर हैं, हम प्राप्त करते हैं:

आइए इसे ब्रैकेट से बाहर निकालें

क्यू.ई.डी.

एक समलंब के क्षेत्र के लिए सूत्र से परिणाम:
चूँकि आधारों का आधा योग MN - समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के बराबर है, तो

2) आवेदन सामान्य सूत्रचतुर्भुज क्षेत्र.
एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके बीच के कोण की ज्या से गुणा किए गए विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है
इसे सिद्ध करने के लिए, समलम्ब चतुर्भुज को 4 त्रिभुजों में विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, प्रत्येक के क्षेत्रफल को "विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या" के रूप में व्यक्त करें (इसे कोण के रूप में लिया जाता है) , परिणामी व्यंजकों को जोड़ें, इसे कोष्ठक से बाहर रखें और व्यंजक की समानता प्राप्त करने के लिए समूहीकरण पद्धति का उपयोग करके इस कोष्ठक को कारकों में विघटित करें। यहाँ से

3) विकर्ण शिफ्ट विधि
यह मेरा शीर्षक है। स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में, गणित के शिक्षक को ऐसा शीर्षक नहीं मिलेगा। रिसेप्शन का विवरण केवल अतिरिक्त में पाया जा सकता है शिक्षण में मददगार सामग्रीकिसी समस्या को हल करने के उदाहरण के रूप में। मैं ध्यान देता हूं कि गणित के शिक्षक प्रदर्शन की प्रक्रिया में छात्रों के लिए योजनामिति के अधिकांश रोचक और उपयोगी तथ्यों को प्रकट करते हैं व्यावहारिक कार्य. यह अत्यंत उप-इष्टतम है, क्योंकि छात्र को उन्हें अलग-अलग प्रमेयों में अलग करने और उन्हें "बड़े नाम" कहने की आवश्यकता होती है। इनमें से एक "विकर्ण शिफ्ट" है। किस बारे मेँ प्रश्न में?आइए हम शीर्ष बी के माध्यम से एसी के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं जब तक कि यह बिंदु ई पर निचले आधार के साथ छेड़छाड़ न करे। इस मामले में, चतुर्भुज ईबीसीए एक समांतर चतुर्भुज (परिभाषा के अनुसार) होगा और इसलिए बीसी = ईए और ईबी = एसी। अब हम पहली समानता से चिंतित हैं। हमारे पास है:

ध्यान दें कि त्रिभुज BED, जिसका क्षेत्रफल एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है, में कई अन्य उल्लेखनीय गुण हैं:
1) इसका क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है
2) इसका समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के समद्विबाहु के साथ ही होता है
3) शीर्ष B पर इसका ऊपरी कोण समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के बीच के कोण के बराबर है (जिसका उपयोग अक्सर समस्याओं में किया जाता है)
4) इसकी माध्यिका BK, समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिन्दुओं के बीच की दूरी QS के बराबर है। मुझे हाल ही में इस संपत्ति के उपयोग का सामना करना पड़ा जब तकाचुक की पाठ्यपुस्तक, 1973 के संस्करण (कार्य पृष्ठ के नीचे दिया गया है) का उपयोग करके मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के मेखमत के लिए एक छात्र तैयार कर रहा था।

गणित के शिक्षक विशेष।

कभी-कभी मैं एक ट्रैपेज़ॉयड के वर्ग को खोजने के बहुत ही मुश्किल तरीके से कार्यों का प्रस्ताव करता हूं। मैं इसे विशेष चालों के लिए श्रेय देता हूं, क्योंकि व्यवहार में शिक्षक शायद ही कभी उनका उपयोग करता है। यदि आपको केवल भाग बी में गणित में परीक्षा की तैयारी करनी है, तो आप उनके बारे में नहीं पढ़ सकते हैं। दूसरों के लिए, मैं आपको और बताऊंगा। यह पता चला है कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल का दुगना है जिसमें एक तरफ के सिरों पर कोने होते हैं और दूसरे के मध्य में, यानी आकृति में ABS त्रिभुज:
प्रमाण: त्रिभुजों BCS और ADS में SM और SN ऊँचाईयाँ खींचिए और इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग व्यक्त कीजिए:

चूँकि बिंदु S, CD का मध्यबिंदु है, तो (इसे स्वयं सिद्ध कीजिए) आइए त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करें:

चूँकि यह राशि समलम्ब चतुर्भुज के आधे क्षेत्र के बराबर निकली, तो - इसका दूसरा भाग। छ. टी.डी.

ट्यूटर के विशेष चाल के खजाने में, मैं क्षेत्र की गणना के रूप को शामिल करूंगा समद्विबाहु समलम्बइसके किनारों पर: जहाँ p समलम्ब चतुर्भुज का अर्धपरिधि है। मैं सबूत नहीं दूंगा। अन्यथा, आपका गणित शिक्षक काम से बाहर हो जाएगा :)। कक्षा में आओ!

ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के लिए कार्य:

गणित के शिक्षक का नोट: नीचे दी गई सूची विषय के लिए एक पद्धतिगत समर्थन नहीं है, यह उपरोक्त विधियों के लिए दिलचस्प कार्यों का केवल एक छोटा सा चयन है।

1) एक समद्विबाहु समलम्ब का निचला आधार 13 है, और ऊपरी 5 है। समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसका विकर्ण भुजा के लंबवत है।
2) एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसके आधार 2 सेमी और 5 सेमी हैं और इसकी भुजाएँ 2 सेमी और 3 सेमी हैं।
3) एक समद्विबाहु समलम्ब में, बड़ा आधार 11 है, भुजा 5 है, और विकर्ण समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
4) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण 5 है, और मध्य रेखा 4 है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
5) एक समद्विबाहु समलम्ब में, आधार 12 और 20 हैं, और विकर्ण परस्पर लंबवत हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें
6) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण अपने निचले आधार के साथ एक कोण बनाता है। एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि उसकी ऊँचाई 6 सेमी है।
7) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 20 है, और इसकी एक भुजा 4 सेमी है, विपरीत भुजा के मध्य से इसकी दूरी ज्ञात कीजिए।
8) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण इसे 6 और 14 क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है। यदि भुजा 4 है तो ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
9) एक समलम्ब चतुर्भुज में, विकर्ण 3 और 5 हैं, और आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड 2 है। समलम्बाकार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी का मेखमत, 1970)।

मैंने सबसे कठिन कार्यों को नहीं चुना (मेखमत से डरो मत!) इस उम्मीद के साथ कि वे कर सकते थे स्वतंत्र निर्णय. स्वास्थ्य पर निर्णय लें! यदि आपको गणित में परीक्षा की तैयारी करने की आवश्यकता है, तो इस प्रक्रिया में भाग लिए बिना, समलम्बाकार क्षेत्र सूत्र उत्पन्न हो सकते हैं गंभीर समस्याएंसमस्या B6 के साथ और इससे भी अधिक C4 के साथ। विषय शुरू न करें और किसी भी कठिनाई के मामले में मदद मांगें। एक गणित का शिक्षक आपकी मदद करने के लिए हमेशा खुश रहता है।

कोलपकोव ए.एन.
मास्को में गणित के ट्यूटर, स्ट्रोगिनो में परीक्षा की तैयारी.

तथा । अब हम इस प्रश्न पर विचार करना शुरू कर सकते हैं कि एक समलम्ब का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। रोजमर्रा की जिंदगी में यह कार्य बहुत कम होता है, लेकिन कभी-कभी यह आवश्यक हो जाता है, उदाहरण के लिए, एक ट्रेपोजॉइड के रूप में एक कमरे के क्षेत्र को खोजने के लिए, जो निर्माण में तेजी से उपयोग किया जाता है। आधुनिक अपार्टमेंट, या मरम्मत के लिए डिजाइन परियोजनाओं में।

ट्रैपेज़ is ज्यामितीय आकृति, चार प्रतिच्छेदन खंडों द्वारा निर्मित, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर हैं और एक समलम्ब चतुर्भुज के आधार कहलाते हैं। अन्य दो खंडों को समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ कहते हैं। इसके अलावा, हमें बाद में एक और परिभाषा की आवश्यकता होगी। यह ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा है, जो पक्षों के मध्य बिंदुओं और ट्रेपोज़ॉइड की ऊंचाई को जोड़ने वाला एक खंड है, जो आधारों के बीच की दूरी के बराबर है।
त्रिभुजों की तरह, एक समलम्ब चतुर्भुज के समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलंब के रूप में विशेष प्रकार होते हैं, जिसमें भुजाओं की लंबाई समान होती है, और एक आयताकार समलम्बाकार होता है, जिसमें एक पक्ष आधारों के साथ एक समकोण बनाता है।

Trapezoids में कुछ दिलचस्प गुण हैं:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के योग की आधी और उनके समानांतर होती है।
   
2. समद्विबाहु समलम्ब की भुजाएँ और कोण समान होते हैं जो वे आधारों के साथ बनाते हैं।
   
3. एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदु और इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर होते हैं।
   
4. यदि एक समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं का योग आधारों के योग के बराबर है, तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है
   
5. यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं द्वारा उसके किसी आधार पर बनने वाले कोणों का योग 90 है, तो आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उनके आधे-अंतर के बराबर होती है।
   
6. एक समद्विबाहु समलम्ब को एक वृत्त द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और इसके विपरीत। यदि एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जाता है, तो वह समद्विबाहु है।
   
7. समद्विबाहु समलम्बाकार के आधारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाला खंड इसके आधारों के लंबवत होगा और समरूपता की धुरी का प्रतिनिधित्व करता है।
   

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें.

एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के योग का आधा गुणा उसकी ऊँचाई से होगा। इसे सूत्र के रूप में व्यंजक के रूप में लिखा जाता है:

जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, a,b समलंब के प्रत्येक आधार की लंबाई है, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है।

आप किसी भी समलम्ब चतुर्भुज को सरल आकृतियों में भी विघटित कर सकते हैं: एक आयत और एक या दो त्रिभुज, और यदि यह आपके लिए आसान है, तो समलम्ब का क्षेत्रफल उसके घटक आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में ज्ञात कीजिए।

इसके क्षेत्रफल की गणना के लिए एक और सरल सूत्र है। इसके अनुसार, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी मध्य रेखा के गुणनफल और समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के बराबर होता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है: S = m * h, जहाँ S क्षेत्रफल है, m उसकी लंबाई है मध्य रेखा, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है। यह सूत्र रोजमर्रा की समस्याओं की तुलना में गणित की समस्याओं के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि वास्तविक परिस्थितियों में आपको बिना मध्य रेखा की लंबाई का पता नहीं चलेगा प्रारंभिक गणना. और आप केवल आधारों और भुजाओं की लंबाई ही जान पाएंगे।

इस मामले में, ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस \u003d ((ए + बी) / 2) * c 2 - ((बी-ए) 2 + सी 2-डी 2 / 2 (बी-ए)) 2

जहाँ S क्षेत्रफल है, a,b आधार हैं, c,d समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के और भी कई तरीके हैं। लेकिन, वे अंतिम फॉर्मूले की तरह ही असुविधाजनक हैं, जिसका अर्थ है कि उन पर ध्यान देने का कोई मतलब नहीं है। इसलिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप लेख से पहले सूत्र का उपयोग करें और चाहते हैं कि आपको हमेशा सटीक परिणाम मिले।

ज्यामिति पाठों में आत्मविश्वास महसूस करने और समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, सूत्रों को सीखना पर्याप्त नहीं है। उन्हें पहले समझने की जरूरत है। डरना, और इससे भी अधिक फ़ार्मुलों से घृणा करना अनुत्पादक है। इस लेख में सुलभ भाषा का विश्लेषण किया जाएगा विभिन्न तरीकेएक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र का पता लगाना। संबंधित नियमों और प्रमेयों को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए, हम इसके गुणों पर कुछ ध्यान देंगे। इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि नियम कैसे काम करते हैं और किन मामलों में कुछ फ़ार्मुलों को लागू किया जाना चाहिए।

एक समलम्ब को परिभाषित करें

सामान्य तौर पर यह आंकड़ा क्या है? एक समलम्ब चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसमें चार कोण और दो समानांतर भुजाएँ होती हैं। ट्रेपेज़ॉइड के अन्य दो पक्षों को अलग-अलग कोणों पर झुकाया जा सकता है। इसके समानांतर पक्षों को आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर पक्षों के लिए, "पक्ष" या "कूल्हों" नाम का उपयोग किया जाता है। रोजमर्रा की जिंदगी में ऐसे आंकड़े काफी आम हैं। ट्रेपेज़ॉइड की आकृति को कपड़ों, आंतरिक वस्तुओं, फर्नीचर, व्यंजन और कई अन्य लोगों के सिल्हूट में देखा जा सकता है। ट्रैपेज़ होता है विभिन्न प्रकार: बहुमुखी, समद्विबाहु और आयताकार। हम लेख में बाद में उनके प्रकारों और गुणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

समलम्बाकार गुण

आइए हम इस आकृति के गुणों पर संक्षेप में ध्यान दें। किसी भी भुजा के आसन्न कोणों का योग सदैव 180° होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक समलम्ब चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° होता है। ट्रेपेज़ॉइड में एक मध्य रेखा की अवधारणा है। यदि आप भुजाओं के मध्य बिंदुओं को एक खंड से जोड़ते हैं, तो यह मध्य रेखा होगी। एम नामित किया गया है। मध्य रेखा में महत्वपूर्ण गुण होते हैं: यह हमेशा आधारों के समानांतर होता है (हमें याद है कि आधार भी एक दूसरे के समानांतर हैं) और उनके आधे योग के बराबर:

इस परिभाषा को सीखना और समझना चाहिए, क्योंकि यह कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है!

ट्रेपेज़ॉइड में, आप हमेशा ऊंचाई को आधार तक कम कर सकते हैं। एक ऊंचाई एक लंबवत है, जिसे अक्सर प्रतीक एच द्वारा दर्शाया जाता है, जो एक आधार पर किसी भी बिंदु से दूसरे आधार या उसके विस्तार तक खींचा जाता है। मध्य रेखा और ऊंचाई आपको समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में मदद करेगी। इस तरह के कार्य स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में सबसे आम हैं और नियमित रूप से नियंत्रण और परीक्षा पत्रों के बीच दिखाई देते हैं।

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सबसे सरल सूत्र

आइए दो सबसे लोकप्रिय और सरल फ़ार्मुलों का विश्लेषण करें जिनके साथ एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करें। आप जो खोज रहे हैं उसे आसानी से ढूंढने के लिए ऊंचाई को आधारों के आधे योग से गुणा करना पर्याप्त है:

एस = एच * (ए + बी) / 2।

इस सूत्र में, a, b समलंब के आधारों को निरूपित करते हैं, h - ऊँचाई। इस लेख में पठनीयता के लिए, गुणन चिह्नों को सूत्रों में प्रतीक (*) के साथ चिह्नित किया गया है, हालांकि आधिकारिक संदर्भ पुस्तकों में गुणन चिह्न को आमतौर पर छोड़ दिया जाता है।

एक उदाहरण पर विचार करें।

दिया गया है: 10 और 14 सेमी के बराबर दो आधारों के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज, ऊंचाई 7 सेमी है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है?

आइए इस समस्या के समाधान का विश्लेषण करें। इस सूत्र के अनुसार, आपको पहले आधारों का आधा योग ज्ञात करना होगा: (10 + 14) / 2 \u003d 12. तो, आधा योग 12 सेमी है। अब हम आधे योग को ऊंचाई से गुणा करते हैं: 12 * 7 \u003d 84. वांछित पाया जाता है। उत्तर: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर होता है। सेमी।

दूसरा प्रसिद्ध सूत्र कहता है: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल मध्य रेखा के गुणनफल और समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के बराबर होता है। अर्थात्, यह वास्तव में मध्य रेखा की पिछली अवधारणा का अनुसरण करता है: S=m*h।

गणना के लिए विकर्णों का उपयोग करना

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का दूसरा तरीका वास्तव में उतना कठिन नहीं है। यह अपने विकर्णों से जुड़ा हुआ है। इस सूत्र के अनुसार, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, इसके विकर्णों के आधे गुणनफल (d 1 d 2) को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करना आवश्यक है:

एस = ½ डी 1 डी 2 पाप ए।

एक समस्या पर विचार करें जो इस पद्धति के अनुप्रयोग को दर्शाती है। दिया गया है: एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी विकर्ण लंबाई क्रमशः 8 और 13 सेमी है। विकर्णों के बीच का कोण 30° है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, यह गणना करना आसान है कि क्या आवश्यक है। जैसा कि आप जानते हैं, पाप 30 ° 0.5 है। इसलिए, एस = 8*13*0.5=52। उत्तर: क्षेत्रफल 52 वर्ग मीटर है। सेमी।

एक समद्विबाहु समलम्बाकार क्षेत्र के लिए खोज रहे हैं

एक समलम्ब समद्विबाहु (समद्विबाहु) हो सकता है। इसकी भुजाएँ समान हैं और आधारों पर कोण समान हैं, जिसे चित्र में अच्छी तरह से दर्शाया गया है। एक समद्विबाहु समलम्बाकार समलम्बाकार समलम्बाकार के समान गुण होते हैं, साथ ही कई विशेष गुण भी होते हैं। समद्विबाहु समलम्ब के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, और इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

ऐसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए क्या तरीके हैं? नीचे दी गई विधि के लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग करने के लिए, आपको समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोण के साइन (पाप) और कोसाइन (cos) के मूल्यों को जानना होगा। उनकी गणना के लिए या तो ब्रैडिस टेबल या इंजीनियरिंग कैलकुलेटर की आवश्यकता होती है। यहाँ सूत्र है:

एस = सी*पाप ए*(ए - सी*कोस ए),

कहाँ पे साथ- पार्श्व जांघ ए- निचले आधार पर कोण।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में समान लंबाई के विकर्ण होते हैं। इसका विलोम भी सत्य है: यदि एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं, तो वह समद्विबाहु है। इसलिए एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करने के लिए निम्न सूत्र - विकर्णों के वर्ग का आधा गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या: S = ½ d 2 sin ए।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला ज्ञात है। यह एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें एक पक्ष (उसकी जांघ) एक समकोण पर आधारों को जोड़ता है। इसमें एक साधारण ट्रेपोजॉइड के गुण होते हैं। इसके अलावा, उसके पास एक बहुत है दिलचस्प विशेषता. ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का अंतर इसके आधारों के वर्गों के अंतर के बराबर होता है। इसके लिए, क्षेत्रफल की गणना के लिए पहले दी गई सभी विधियों का उपयोग किया जाता है।

सरलता लागू करना

एक तरकीब है जो विशिष्ट फ़ार्मुलों की भूलने की स्थिति में मदद कर सकती है। आइए अधिक विस्तार से विचार करें कि एक ट्रेपोजॉइड क्या है। यदि हम मानसिक रूप से इसे भागों में विभाजित करते हैं, तो हमें परिचित और समझने योग्य ज्यामितीय आकृतियाँ मिलेंगी: एक वर्ग या एक आयत और एक त्रिभुज (एक या दो)। यदि आप ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई और पक्षों को जानते हैं, तो आप एक त्रिकोण और आयत के क्षेत्र के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, और फिर सभी प्राप्त मूल्यों को जोड़ सकते हैं।

आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट करते हैं। एक आयताकार समलम्ब को देखते हुए। कोण C = 45°, कोण A, D 90° हैं। ट्रेपेज़ॉइड का ऊपरी आधार 20 सेमी है, ऊंचाई 16 सेमी है। यह आंकड़ा के क्षेत्र की गणना करने के लिए आवश्यक है।

इस आकृति में स्पष्ट रूप से एक आयत (यदि दो कोण 90° हैं) और एक त्रिभुज है। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज आयताकार है, इसलिए इसकी ऊँचाई इसकी भुजा के बराबर है, यानी 16 सेमी। हमारे पास क्रमशः 20 और 16 सेमी की भुजाओं वाला एक आयत है। अब एक त्रिभुज पर विचार करें जिसका कोण 45° है। हम जानते हैं कि इसकी एक भुजा 16 सेमी है। चूँकि यह भुजा भी समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है (और हम जानते हैं कि ऊँचाई समकोण पर आधार पर पड़ती है), इसलिए त्रिभुज का दूसरा कोण 90 ° है। अत: त्रिभुज का शेष कोण 45° है। इसके परिणामस्वरूप, हमें एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है, जिसमें दो भुजाएँ समान होती हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज का दूसरा पक्ष ऊंचाई के बराबर है, अर्थात 16 सेमी। यह त्रिभुज और आयत के क्षेत्रफल की गणना करने और परिणामी मानों को जोड़ने के लिए बनी हुई है।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के आधे गुणनफल के बराबर होता है: S = (16*16)/2 = 128. एक आयत का क्षेत्रफल उसकी चौड़ाई और लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है: S = 20*16 = 320. हमें आवश्यक एक मिला: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 128 + 320 = 448 वर्ग। देखें। आप उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आसानी से अपने आप को दोबारा जांच सकते हैं, उत्तर समान होगा।

हम पिक फॉर्मूला का उपयोग करते हैं

एस \u003d एम / 2 + एन -1,

इस सूत्र में, M नोड्स की संख्या है, अर्थात। ट्रेपेज़ॉइड (आकृति में नारंगी बिंदु) की सीमाओं पर सेल की रेखाओं के साथ आकृति की रेखाओं के चौराहे, एन आकृति के अंदर नोड्स की संख्या (नीला बिंदु) है। एक अनियमित बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय इसका उपयोग करना सबसे सुविधाजनक होता है। हालाँकि, उपयोग की जाने वाली विधियों का शस्त्रागार जितना बड़ा होगा, कम गलतियाँऔर बेहतर परिणाम।

बेशक, दी गई जानकारी एक समलम्बाकार के प्रकार और गुणों के साथ-साथ इसके क्षेत्र को खोजने के तरीकों को समाप्त करने से बहुत दूर है। यह लेख इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं का अवलोकन प्रदान करता है। ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में, धीरे-धीरे कार्य करना, आसान सूत्रों और समस्याओं से शुरू करना, लगातार समझ को समेकित करना और जटिलता के दूसरे स्तर पर जाना महत्वपूर्ण है।

एक साथ एकत्रित, सबसे सामान्य सूत्र छात्रों को एक समलम्ब के क्षेत्र की गणना करने के लिए विभिन्न तरीकों को नेविगेट करने में मदद करेंगे और परीक्षणों के लिए बेहतर तैयारी करेंगे और नियंत्रण कार्यइस विषय पर।

पिछले साल के यूएसई और जीआईए के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति की समस्याएं कई छात्रों के लिए मुश्किलें पैदा करती हैं। यदि आप सभी आवश्यक सूत्रों को याद रखते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं।

इस लेख में, आप समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने के लिए सूत्र देखेंगे, साथ ही समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण भी देखेंगे। प्रमाणन परीक्षा या ओलंपियाड में KIM में वही आपके सामने आ सकते हैं। इसलिए इनका इलाज सावधानी से करें।

ट्रेपोजॉइड के बारे में आपको क्या जानने की जरूरत है?

आरंभ करने के लिए, आइए याद रखें कि ट्रापेज़एक चतुर्भुज कहलाता है, जिसमें दो विपरीत भुजाएँ, वे आधार भी कहलाती हैं, समानांतर होती हैं, और अन्य दो नहीं होती हैं।

एक समलम्ब चतुर्भुज में, ऊँचाई (आधार के लंबवत) को भी छोड़ा जा सकता है। मध्य रेखा खींची जाती है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है। साथ ही विकर्ण जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, तीव्र और अधिक कोण बनाते हैं। या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्ब समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।

समलंब क्षेत्र सूत्र

सबसे पहले, एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए मानक सूत्रों पर विचार करें। समद्विबाहु और वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना करने के तरीकों पर नीचे विचार किया जाएगा।

तो, कल्पना कीजिए कि आपके पास a और b आधारों वाला एक समलम्ब है, जिसमें ऊँचाई h को बड़े आधार तक कम किया जाता है। इस मामले में एक आकृति के क्षेत्र की गणना करना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के दो योग से विभाजित करने और ऊंचाई से गुणा करने की आवश्यकता है: एस = 1/2(ए + बी)*एच.

आइए एक और मामला लें: मान लीजिए कि ऊंचाई के अलावा, ट्रेपेज़ॉइड की एक माध्य रेखा m है। हम मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं: m = 1/2(a + b)। इसलिए, हम निम्नलिखित रूप में एक समलम्बाकार क्षेत्र के लिए सूत्र को सही ढंग से सरल बना सकते हैं: एस = एम * एच. दूसरे शब्दों में, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको गुणा करना होगा मध्य पंक्तिऊंचाई तक।

आइए एक और विकल्प पर विचार करें: विकर्ण d 1 और d 2 एक समलम्ब चतुर्भुज में खींचे गए हैं, जो एक समकोण α पर नहीं प्रतिच्छेद करते हैं। इस तरह के एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के उत्पाद को आधा करना होगा और उनके बीच के कोण के पाप से आपको जो मिलता है उसे गुणा करना होगा: एस= 1/2d 1 घ 2 *sinα.

अब एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके बारे में सभी पक्षों की लंबाई के अलावा कुछ भी ज्ञात नहीं है: a, b, c और d। यह एक बोझिल और जटिल सूत्र है, लेकिन इसे याद रखना आपके लिए उपयोगी होगा यदि: एस \u003d 1/2 (ए + बी) * c 2 - ((1/2 (बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.

वैसे, उपरोक्त उदाहरण उस स्थिति के लिए भी सही हैं जब आपको एक आयताकार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के लिए सूत्र की आवश्यकता होती है। यह एक समलंब चतुर्भुज है, जिसकी भुजा समकोण पर आधारों को जोड़ती है।

समद्विबाहु समलम्ब

एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं समद्विबाहु कहलाती है। हम समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल के लिए सूत्र के कई रूपों पर विचार करेंगे।

पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक समद्विबाहु समलम्बाकार के अंदर अंकित होता है, और पार्श्व पक्ष और बड़ा आधार रूप तेज़ कोनेए। एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है बशर्ते कि उसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

एक समद्विबाहु समलम्बाकार क्षेत्र की गणना इस प्रकार की जाती है: उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और सभी को sinα से विभाजित करें: एस = 4r 2 /sinα. एक अन्य क्षेत्र सूत्र विकल्प के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और पक्ष के बीच का कोण 30 0 है: एस = 8r2.

दूसरा विकल्प: इस बार हम एक समद्विबाहु समलम्ब लेते हैं, जिसमें, इसके अलावा, विकर्ण d 1 और d 2 खींचे जाते हैं, साथ ही ऊँचाई h भी। यदि एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधारों के योग की आधी है: h = 1/2(a + b)। यह जानने के बाद, आपके लिए पहले से परिचित समलम्बाकार क्षेत्र सूत्र को इस रूप में परिवर्तित करना आसान है: एस = एच2.

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

आइए समझने से शुरू करें: एक वक्रीय समलम्बाकार क्या है। एक समन्वय अक्ष और एक सतत और गैर-ऋणात्मक फ़ंक्शन f के एक ग्राफ की कल्पना करें जो x-अक्ष पर दिए गए खंड के भीतर संकेत नहीं बदलता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) - शीर्ष पर, x अक्ष - नीचे (खंड), और पक्षों पर - बिंदु a और b और ग्राफ़ के बीच खींची गई सीधी रेखाओं द्वारा एक वक्रीय समलंब चतुर्भुज बनता है समारोह का।

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके इस तरह के गैर-मानक आंकड़े के क्षेत्र की गणना करना असंभव है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और इंटीग्रल का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात् न्यूटन-लीबनिज सूत्र - एस = ∫ बी ए एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स)│ बी ए = एफ (बी) – एफ (ए). इस सूत्र में, F चयनित अंतराल पर हमारे फलन का प्रतिअवकलन है। और वक्रीय समलंब चतुर्भुज का क्षेत्र किसी दिए गए खंड पर प्रतिपदार्थ की वृद्धि से मेल खाता है।

कार्य उदाहरण

इन सभी फ़ार्मुलों को अपने दिमाग में बेहतर बनाने के लिए, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में आने वाली समस्याओं के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं। यह सबसे अच्छा होगा यदि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही तैयार किए गए समाधान के साथ प्राप्त उत्तर की जांच करें।

कार्य 1:एक ट्रेपोजॉइड दिया। इसका बड़ा आधार 11 सेमी, छोटा 4 सेमी है। ट्रेपेज़ियम में विकर्ण होते हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी लंबा।

समाधान: एक समलम्बाकार AMRS बनाएँ। शीर्ष P से होकर जाने वाली रेखा RX इस प्रकार खींचिए कि यह विकर्ण MC के समानांतर हो और रेखा AC को बिंदु X पर काटती हो। आपको त्रिभुज APX प्राप्त होता है।

हम इन जोड़तोड़ों के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: त्रिभुज APX और समांतर चतुर्भुज CMPX।

समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि पीएक्स = एमसी = 12 सेमी और सीएक्स = एमपी = 4 सेमी। हम त्रिभुज ARCH के पक्ष AX की गणना कहाँ कर सकते हैं: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 सेमी।

हम यह भी साबित कर सकते हैं कि त्रिभुज ARCH समकोण है (ऐसा करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2) लागू करें। और इसके क्षेत्र की गणना करें: एस एपीएक्स \u003d 1/2 (एपी * पीएक्स) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 सेमी 2।

इसके बाद, आपको यह साबित करना होगा कि त्रिभुज AMP और PCX क्षेत्रफल में बराबर हैं। आधार MP और CX (पहले से ही ऊपर सिद्ध) पक्षों की समानता होगी। और यह भी कि आप इन पक्षों पर जो ऊँचाई कम करते हैं - वे AMRS ट्रेपेज़ॉइड की ऊँचाई के बराबर हैं।

यह सब आपको एस एएमपीसी \u003d एस एपीएक्स \u003d 54 सेमी 2 पर जोर देने की अनुमति देगा।

कार्य # 2:एक समलम्बाकार KRMS दिया गया है। बिंदु O और E इसके पार्श्व पक्षों पर स्थित हैं, जबकि OE और KS समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि समलम्ब चतुर्भुज ORME और OXE के क्षेत्र 1:5 के अनुपात में हैं। पीएम = ए और केएस = बी। आपको एक ओई खोजने की जरूरत है।

हल: RK के समानांतर बिंदु M से होकर एक रेखा खींचिए, और OE के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को T के रूप में निर्दिष्ट कीजिए। A, KS के आधार के साथ RK के समानांतर बिंदु E से होकर खींची गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए एक और संकेतन का परिचय दें - OE = x। साथ ही त्रिभुज TME के ​​लिए ऊँचाई h 1 और त्रिभुज AEC के लिए ऊँचाई h 2 (आप स्वतंत्र रूप से इन त्रिभुजों की समानता को सिद्ध कर सकते हैं)।

हम मान लेंगे कि b > a. ट्रेपेज़ॉइड्स ORME और OXE के क्षेत्र 1:5 से संबंधित हैं, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a))।

चूँकि त्रिभुज TME और AEC समरूप हैं, हमारे पास h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x) है। दोनों प्रविष्टियों को मिलाएं और प्राप्त करें: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) 5 (x - a) (x + a) \u003d (बी + एक्स) (बी - एक्स) 5 (एक्स 2 - ए 2) \u003d (बी 2 - एक्स 2) 6x 2 \u003d बी 2 + 5 ए 2 ↔ एक्स \u003d √ (5 ए 2 + बी 2) / 6.

इस प्रकार, OE \u003d x \u003d (5a 2 + b 2) / 6.

निष्कर्ष

ज्यामिति विज्ञान में सबसे आसान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से परीक्षा कार्यों का सामना करने में सक्षम होंगे। तैयारी में बस थोड़ा सा धैर्य चाहिए। और, ज़ाहिर है, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।

हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी सूत्रों को एक स्थान पर एकत्रित करने का प्रयास किया ताकि परीक्षा की तैयारी के दौरान आप उनका उपयोग कर सकें और सामग्री को दोहरा सकें।

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एक समद्विबाहु समलम्बाकार क्या है? यह एक ज्यामितीय आकृति है जिसकी विपरीत गैर-समानांतर भुजाएँ समान हैं। वहाँ कई हैं विभिन्न सूत्रके साथ एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए विभिन्न शर्तेंकार्यों में दिया गया है। अर्थात् यदि ऊँचाई, भुजाएँ, कोण, विकर्ण आदि दिए गए हों तो क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। यह उल्लेख करना भी असंभव नहीं है कि समद्विबाहु समलम्बाकार के लिए कुछ "अपवाद" हैं, जिसकी बदौलत क्षेत्र और सूत्र की खोज बहुत सरल हो जाती है। प्रत्येक मामले के लिए विस्तृत समाधान उदाहरण के साथ नीचे वर्णित हैं।

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आवश्यक गुण

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक ज्यामितीय आकृति जिसके विपरीत है समानांतर नहीं, बल्कि बराबर पक्ष- यह एक समलम्ब है, इसके अलावा, समद्विबाहु। ऐसे विशेष मामले हैं जहां एक समलम्बाकार को समद्विबाहु माना जाता है।

• ये समान कोणों की शर्तें हैं। तो, एक अनिवार्य बिंदु: आधार पर कोण (नीचे दिए गए चित्र को लें) बराबर होना चाहिए। हमारे मामले में, कोण BAD = कोण CDA, और कोण ABC = कोण BCD
• दूसरा महत्वपूर्ण नियम- ऐसे समलम्ब चतुर्भुज में विकर्ण बराबर होने चाहिए। इसलिए, एसी = बीडी।
• तीसरा पहलू: समलम्ब चतुर्भुज के विपरीत कोणों को 180 डिग्री तक जोड़ना चाहिए। इसका मतलब है कि कोण ABC + कोण CDA = 180 डिग्री। कोणों के साथ बीसीडी और बीएडी समान रूप से।
• चौथा, यदि एक समलम्ब चतुर्भुज अपने चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करने की अनुमति देता है, तो वह समद्विबाहु है।

समद्विबाहु समलम्ब का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - सूत्र और उनका विवरण

• एस = (ए + बी) एच / 2 - यह क्षेत्र खोजने के लिए सबसे आम सूत्र है, जहां ए - निचला आधार बी शीर्ष आधार है और h ऊँचाई है।

• यदि ऊंचाई अज्ञात है, तो आप इसे एक समान सूत्र का उपयोग करके खोज सकते हैं: h \u003d c * sin (x), जहां c या तो AB या CD है। sin(x) किसी भी आधार पर कोण की ज्या है, अर्थात कोण DAB = कोण CDA = x। सूत्र इस तरह समाप्त होता है: एस = (ए + बी) * एस * पाप (एक्स) / 2।
• इस सूत्र का उपयोग करके ऊँचाई भी ज्ञात की जा सकती है:

• अंतिम सूत्र इस तरह दिखता है:

• एक समद्विबाहु समलम्ब का क्षेत्र भी मध्य रेखा और ऊंचाई का उपयोग करके पाया जा सकता है। सूत्र है: एस = एमएच.

उस स्थिति पर विचार करें जब एक वृत्त एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित होता है।

चित्र में दिखाए गए मामले में,

क्यूएन = डी = एच - सर्कल का व्यास और साथ ही समलम्बाकार की ऊंचाई;

LO, ON, OQ = R वृत्त की त्रिज्याएँ हैं;

डीसी = ए - ऊपरी आधार;

एबी = बी - निचला आधार;

डीएबी, एबीसी, बीसीडी, सीडीए - अल्फा, बीटा - समलम्बाकार आधार कोण।

एक समान मामला निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके क्षेत्र को खोजने की अनुमति देता है:

• अब आइए विकर्णों और उनके बीच के कोणों के माध्यम से क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें।

आकृति में, AC, DB - विकर्ण - d को निरूपित करें। कोण COB, जन्म तिथि - अल्फा; डीओसी, एओबी - बीटा। एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल के लिए सूत्र, विकर्णों और उनके बीच के कोण के संदर्भ में, ( एस ) है: