बहु-पक्षीय समलम्बाकार ... यह मनमाना, समद्विबाहु या आयताकार हो सकता है। और प्रत्येक मामले में, आपको यह जानना होगा कि समलम्बाकार क्षेत्र का पता कैसे लगाया जाए। बेशक, बुनियादी सूत्र याद रखने में सबसे आसान हैं। लेकिन कभी-कभी किसी विशेष ज्यामितीय आकृति की सभी विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए व्युत्पन्न का उपयोग करना आसान होता है।

ट्रेपेज़ॉइड और उसके तत्वों के बारे में कुछ शब्द

कोई भी चतुर्भुज जिसकी दो भुजाएँ समान्तर हों, समलम्ब चतुर्भुज कहा जा सकता है। सामान्य तौर पर, वे समान नहीं होते हैं और उन्हें आधार कहा जाता है। बड़ा वाला नीचे वाला और दूसरा ऊपर वाला होता है।

अन्य दो पक्ष बग़ल में हैं। एक मनमाना ट्रेपोजॉइड के लिए, उनकी अलग-अलग लंबाई होती है। यदि वे बराबर हों, तो आकृति समद्विबाहु हो जाती है।

यदि अचानक किसी भुजा और आधार के बीच का कोण 90 डिग्री के बराबर हो जाता है, तो समलम्ब चतुर्भुज आयताकार होता है।

ये सभी विशेषताएं इस समस्या को हल करने में मदद कर सकती हैं कि समलम्बाकार क्षेत्र का पता कैसे लगाया जाए।

आकृति के उन तत्वों में से जो समस्याओं को हल करने में अपरिहार्य हो सकते हैं, कोई निम्नलिखित को अलग कर सकता है:

• ऊंचाई, यानी दोनों आधारों पर लंबवत एक खंड;
• मध्य रेखा, जिसके सिरे पर पार्श्व भुजाओं के मध्य बिंदु होते हैं।

यदि आधार और ऊँचाई ज्ञात हो तो क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र क्या है?

यह अभिव्यक्ति मुख्य के रूप में दी गई है, क्योंकि अक्सर आप इन मूल्यों का पता लगा सकते हैं, तब भी जब वे स्पष्ट रूप से नहीं दिए गए हों। इसलिए, यह समझने के लिए कि समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, आपको दोनों आधारों को जोड़ने और उन्हें दो भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है। फिर परिणामी मान को ऊंचाई मान से गुणा करें।

यदि हम आधारों को 1 और 2, ऊँचाई - n अक्षरों के साथ नामित करते हैं, तो क्षेत्र का सूत्र इस तरह दिखेगा:

एस = ((ए 1 + ए 2) / 2) * एन।

वह सूत्र जिसके द्वारा क्षेत्रफल की गणना की जाती है, इसकी ऊंचाई और मध्य रेखा दी गई है

अगर आप पिछले फॉर्मूले को करीब से देखेंगे तो आप आसानी से देखेंगे कि इसमें स्पष्ट रूप से एक मिडलाइन वैल्यू है। अर्थात्, दो से विभाजित आधारों का योग। मान लीजिए कि मध्य रेखा को l अक्षर से निरूपित किया जाता है, तो क्षेत्रफल का सूत्र बन जाता है:

एस = एल * एन।

विकर्णों द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करने की क्षमता

यदि आप उनके द्वारा बनाए गए कोण को जानते हैं तो यह विधि मदद करेगी। मान लीजिए कि विकर्णों को d 1 और d 2 अक्षरों द्वारा दर्शाया गया है, और उनके बीच के कोण α और β हैं। फिर एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा:

एस = ((क्यू 1 * क्यू 2) / 2) * पाप α।

इस व्यंजक में, आप आसानी से α को β से बदल सकते हैं। परिणाम नहीं बदलेगा।

यदि आकृति की सभी भुजाएँ ज्ञात हों तो क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

ऐसी स्थितियाँ भी होती हैं जब इस आकृति में भुजाएँ ज्ञात होती हैं। यह सूत्र बोझिल और याद रखने में मुश्किल है। लेकिन शायद। पक्षों को पदनाम दें: 1 में और 2 में, 1 का आधार 2 से बड़ा है। तब क्षेत्र सूत्र इस तरह दिखेगा:

एस = ((ए 1 + ए 2) / 2) * (1 2 में - [(ए 1 - ए 2) 2 + 1 2 में - 2 2 में) / (2 * (ए 1 - ए 2)) ] 2)।

समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल की गणना के लिए तरीके

पहला इस तथ्य से जुड़ा है कि इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और, इसकी त्रिज्या (इसे अक्षर r द्वारा दर्शाया गया है), साथ ही आधार - पर कोण को जानकर, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

एस = (4 * आर 2) / पाप ।

अंतिम सामान्य सूत्र, जो आकृति के सभी पक्षों के ज्ञान पर आधारित है, इस तथ्य के कारण बहुत सरल हो जाएगा कि पक्षों का एक ही अर्थ है:

एस = ((ए 1 + ए 2) / 2) * √ (बी 2 - [(ए 1 - ए 2) 2 / (2 * (ए 1 - ए 2))] 2)।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीके

यह स्पष्ट है कि उपरोक्त में से कोई भी एक मनमाना आंकड़ा के लिए उपयुक्त होगा। लेकिन कभी-कभी ऐसे समलम्बाकार की एक विशेषता के बारे में जानना उपयोगी होता है। यह इस तथ्य में समाहित है कि विकर्णों की लंबाई के वर्गों के बीच का अंतर आधारों के वर्गों से बने अंतर के बराबर है।

समलम्ब चतुर्भुज के सूत्रों को अक्सर भुला दिया जाता है, जबकि आयत और त्रिभुज के क्षेत्रफलों के व्यंजकों को याद किया जाता है। फिर एक आसान तरीका अपनाया जा सकता है। ट्रेपेज़ॉइड को दो आकृतियों में विभाजित करें यदि यह आयताकार है, या तीन। एक निश्चित रूप से एक आयत होगा, और दूसरा, या अन्य दो, त्रिभुज होंगे। इन आंकड़ों के क्षेत्रफलों की गणना करने के बाद, उन्हें जोड़ना बाकी है।

यह एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का एक काफी सरल तरीका है।

क्या होगा यदि समलम्ब चतुर्भुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों?

इस मामले में, आपको एक अभिव्यक्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है जो आपको बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने की अनुमति देती है। इसे तीन बार लगाया जा सकता है: आधार और एक ऊंचाई दोनों का पता लगाने के लिए। और फिर केवल पहला सूत्र लागू करें, जो थोड़ा ऊपर वर्णित है।

इस पद्धति को स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण दिया जा सकता है। निर्देशांक A (5; 7), B (8; 7), C (10; 1), D (1; 1) के साथ शीर्ष दिए गए हैं। आपको आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने से पहले, आपको निर्देशांक से आधारों की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। आपको निम्नलिखित सूत्र की आवश्यकता होगी:

खंड की लंबाई = ((अंकों के पहले निर्देशांक का अंतर) 2 + (बिंदुओं के दूसरे निर्देशांक का अंतर) 2)।

ऊपरी आधार को एबी नामित किया गया है, जिसका अर्थ है कि इसकी लंबाई √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3 के बराबर होगी। निचला - एसडी = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2) = 81 = 9.

अब आपको ऊपर से नीचे तक की ऊंचाई खींचने की जरूरत है। इसकी शुरुआत बिंदु A पर होने दें। खंड का अंत निर्देशांक (5; 1) के साथ बिंदु पर निचले आधार पर होगा, इसे बिंदु H होने दें। खंड AH की लंबाई √ ((5) के बराबर होगी -5) 2 + (7-1) 2) = 36 = 6.

यह केवल परिणामी मूल्यों को ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए सूत्र में बदलने के लिए बनी हुई है:

एस = ((३ + ९) / २) * ६ = ३६।

समस्या को माप की इकाइयों के बिना हल किया गया था, क्योंकि समन्वय ग्रिड का पैमाना निर्दिष्ट नहीं था। यह एक मिलीमीटर या एक मीटर हो सकता है।

कार्यों के उदाहरण

नंबर 1. शर्त।एक स्वेच्छ समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का कोण ज्ञात होता है, यह 30 डिग्री के बराबर होता है। छोटे विकर्ण का मान 3 डीएम है, और दूसरा इससे 2 गुना बड़ा है। ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है।

समाधान।पहले आपको दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है, क्योंकि इसके बिना उत्तर गिनना संभव नहीं होगा। इसकी गणना करना कठिन नहीं है, ३*२ = ६ (dm)।

अब हमें क्षेत्र के लिए उपयुक्त सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

एस = ((3 * 6) / 2) * पाप 30º = 18/2 * ½ = 4.5 (डीएम 2)। समस्या सुलझा ली गई है।

उत्तर:समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 4.5 dm 2 है।

संख्या 2. शर्त।एवीएसडी के समलम्बाकार में, आधार रक्तचाप और बीसी के खंड हैं। बिंदु E, SD पक्ष का मध्य है। इसमें से रेखा AB पर एक लंब खींचा जाता है, इस खंड के अंत को N अक्षर से निरूपित किया जाता है। यह ज्ञात है कि लंबाई AB और EH क्रमशः 5 और 4 सेमी हैं। के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है समलम्ब चतुर्भुज।

समाधान।सबसे पहले आपको एक ड्राइंग बनाने की जरूरत है। चूँकि लंब का मान उस पक्ष से कम है जिस पर इसे खींचा गया है, समलम्बाकार ऊपर की ओर थोड़ा लम्बा होगा। तो EH आकृति के अंदर होगा।

समस्या को हल करने की प्रगति को स्पष्ट रूप से देखने के लिए, आपको अतिरिक्त निर्माण करने की आवश्यकता होगी। अर्थात्, एक सीधी रेखा खींचिए जो AB भुजा के समांतर होगी। HELL के साथ इस सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु P हैं, और BC - X की निरंतरता के साथ। परिणामी आकृति ВХРА एक समांतर चतुर्भुज है। इसके अलावा, इसका क्षेत्रफल आवश्यक के बराबर है। यह इस तथ्य के कारण है कि अतिरिक्त निर्माण के साथ प्राप्त त्रिभुज बराबर हैं। यह पक्ष की समानता और उसके आस-पास के दो कोणों से होता है, एक लंबवत है, दूसरा क्रॉस-क्रॉस है।

आप एक सूत्र का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं जिसमें भुजा का गुणनफल और उस पर गिराई गई ऊँचाई शामिल है।

इस प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 5 * 4 = 20 सेमी 2 है।

उत्तर:एस = 20 सेमी 2।

संख्या 3. शर्त।अवयव समद्विबाहु समलम्बाकारनिम्नलिखित अर्थ हैं: निचला आधार - 14 सेमी, ऊपरी - 4 सेमी, न्यून कोण - 45º। आपको इसके क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है।

समाधान।मान लें कि छोटे आधार को BC नामित किया गया है। बिंदु B से खींची गई ऊंचाई को BH कहा जाएगा। चूँकि कोण 45º है, त्रिभुज ABN आयताकार और समद्विबाहु बनेगा। इसलिए, एएच = बीएच। और NA को खोजना बहुत आसान है। यह आधारों के आधे अंतर के बराबर है। यानी (14 - 4)/2 = 10/2 = 5 (सेमी)।

आधार ज्ञात हैं, ऊंचाई की गणना की जाती है। आप पहले सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जिसे यहां एक मनमाना समलम्ब के लिए माना गया था।

एस = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (सेमी 2)।

उत्तर:आवश्यक क्षेत्र 45 सेमी 2 है।

संख्या 4. शर्त। AVSD का एक मनमाना समलम्ब है। इसके पार्श्व पक्षों पर, बिंदु O और E लिए जाते हैं, ताकि OE रक्तचाप के आधार के समानांतर हो। एओईडी ट्रेपेज़ियम का क्षेत्रफल सीएफई से पांच गुना बड़ा है। आधार लंबाई ज्ञात होने पर OE मान की गणना करें।

समाधान।आपको दो समानांतर AB सीधी रेखाएँ खींचनी होंगी: पहली बिंदु C से होकर, OE - बिंदु T के साथ इसका प्रतिच्छेदन; ई के माध्यम से दूसरा और रक्तचाप के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु एम होगा।

माना अज्ञात OE = x। छोटे समलम्बाकार OVSE की ऊंचाई - n 1, बड़ा AOED - n २।

चूँकि इन दो समलम्बाकार क्षेत्रों के क्षेत्रफल 1 से 5 तक संबंधित हैं, इसलिए हम निम्नलिखित समानता लिख ​​सकते हैं:

(एक्स + ए 2) * एन 1 = 1/5 (एक्स + ए 1) * एन 2

एन 1 / एन 2 = (एक्स + ए 1) / (5 (एक्स + ए 2))।

त्रिभुजों की ऊँचाई और भुजाएँ निर्माण में समानुपाती होती हैं। इसलिए, एक और समानता लिखी जा सकती है:

एन 1 / एन 2 = (एक्स - ए 2) / (ए 1 - एक्स)।

बाईं ओर अंतिम दो प्रविष्टियों में समान मान हैं, जिसका अर्थ है कि हम लिख सकते हैं कि (x + a 1) / (5 (x + a 2)) बराबर है (x - a 2) / (a​) 1 - एक्स)।

यहां कई परिवर्तनों की आवश्यकता है। पहले क्रॉसवाइज गुणा करें। कोष्ठक दिखाई देंगे जो वर्गों के अंतर को दर्शाते हैं, इस सूत्र को लागू करने के बाद, आपको एक छोटा समीकरण मिलता है।

इसमें आपको कोष्ठक खोलने और अज्ञात "x" से सभी पदों को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है बाईं तरफ, और फिर वर्गमूल निकालें।

उत्तर: x = ((एक १ २ + ५ ए २ २) / ६)।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आमतौर पर एक गणित ट्यूटर के पास इसकी गणना करने के लिए कई तकनीकें होती हैं, आइए उन पर अधिक विस्तार से ध्यान दें:
1) जहाँ AD और BC आधार हैं, और BH समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है। उपपत्ति: एक विकर्ण BD खींचिए और त्रिभुजों ABD और CDB के क्षेत्रफलों को उनके आधारों और ऊँचाई के अर्ध-उत्पाद के रूप में व्यक्त कीजिए:

, जहां डीपी बाहरी ऊंचाई है

आइए हम इन समानताओं को पद दर पद जोड़ें और यह ध्यान में रखते हुए कि BH और DP की ऊँचाई बराबर है, हम प्राप्त करते हैं:

आइए कोष्ठक से बाहर निकालें

क्यू.ई.डी.

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र से परिणाम:
चूँकि आधारों का आधा योग MN के बराबर है - समलम्ब की मध्य रेखा, तब

2) आवेदन सामान्य सूत्रचतुर्भुज का क्षेत्रफल.
एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा किए गए विकर्णों के आधे गुणनफल के बराबर होता है
प्रमाण के लिए, ट्रेपेज़ॉइड को 4 त्रिकोणों में विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, प्रत्येक के क्षेत्र को "उनके बीच के कोण की साइन द्वारा विकर्णों के आधे उत्पाद" के रूप में व्यक्त करें (कोण के रूप में, परिणामी भाव जोड़ें , उन्हें कोष्ठक से बाहर कर दें और समूहीकरण विधि का उपयोग करके इस कोष्ठक को गुणनखंडों में विभाजित करें, व्यंजक से इसकी समानता प्राप्त करें।

3) विकर्ण शिफ्ट विधि
यह मेरा नाम है। स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में, गणित के शिक्षक को ऐसा शीर्षक नहीं मिलेगा। रिसेप्शन का विवरण केवल अतिरिक्त में पाया जा सकता है शिक्षण में मददगार सामग्रीकिसी समस्या को हल करने के उदाहरण के रूप में। मैंने ध्यान दिया कि इस प्रक्रिया में गणित के शिक्षकों द्वारा प्लैनिमेट्री के अधिकांश रोचक और उपयोगी तथ्य छात्रों को पढ़ाए जाते हैं। व्यावहारिक कार्य... यह अत्यंत उप-इष्टतम है, क्योंकि छात्र को उन्हें अलग-अलग प्रमेयों में अलग करने और उन्हें "बड़े नाम" कहने की आवश्यकता होती है। इनमें से एक "विकर्ण बदलाव" है। किस बारे मेँ प्रश्न में?शीर्ष B से होकर AC के समांतर एक सीधी रेखा खींचिए जब तक कि वह बिंदु E पर निचले आधार के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। इस स्थिति में, चतुर्भुज EBCA एक समांतर चतुर्भुज होगा (परिभाषा के अनुसार) और इसलिए BC = EA और EB = AC। पहली समानता अब हमारे लिए महत्वपूर्ण है। हमारे पास है:

ध्यान दें कि त्रिभुज BED, जिसका क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है, में कई और उल्लेखनीय गुण हैं:
1) इसका क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है
2) इसका समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के समद्विबाहु के साथ ही होता है
3) शीर्ष B पर इसका ऊपरी कोण समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के बीच के कोण के बराबर है (जिसका उपयोग अक्सर समस्याओं में किया जाता है)
4) इसकी माध्यिका BK, समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिन्दुओं के बीच की दूरी QS के बराबर है। मुझे हाल ही में इस संपत्ति के उपयोग के बारे में पता चला जब तकाचुक की पाठ्यपुस्तक, 1973 के संस्करण (समस्या पृष्ठ के नीचे दी गई है) का उपयोग करके मास्को स्टेट यूनिवर्सिटी के यांत्रिकी और गणित के संकाय के लिए एक छात्र को तैयार कर रहा है।

गणित ट्यूटर विशेष तकनीक।

कभी-कभी मैं ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र को खोजने के लिए बहुत मुश्किल तरीके से कार्यों का प्रस्ताव करता हूं। मैं इसे विशेष तकनीकों के लिए संदर्भित करता हूं क्योंकि व्यवहार में ट्यूटर उनका उपयोग बहुत कम करता है। यदि आपको केवल भाग बी में गणित की परीक्षा की तैयारी की आवश्यकता है, तो आपको उनके बारे में पढ़ने की आवश्यकता नहीं है। बाकी के लिए मैं आपको आगे बताऊंगा। यह पता चला है कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल से दुगुना है जिसमें एक तरफ के सिरों पर कोने होते हैं और दूसरे के मध्य में, यानी आकृति में ABS त्रिभुज:
प्रमाण: त्रिभुजों BCS और ADS में SM और SN ऊँचाईयाँ खींचिए और इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग व्यक्त कीजिए:

चूँकि बिंदु S, CD का मध्यबिंदु है, तो (इसे स्वयं सिद्ध कीजिए)। आइए त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करें:

चूंकि यह राशि समलम्बाकार क्षेत्र के आधे क्षेत्र के बराबर निकली, इसलिए - इसका दूसरा भाग। शिक्षा विभाग

मैं ट्यूटर के विशेष तकनीकों के संग्रह में इसके किनारों पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्र की गणना के रूप को शामिल करूंगा: जहां p समलंब की अर्ध-परिधि है। मैं कोई प्रमाण नहीं दूंगा। अन्यथा, आपका गणित शिक्षक काम से बाहर हो जाएगा :)। कक्षा में आओ!

ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के लिए कार्य:

गणित शिक्षक का नोट: नीचे दी गई सूची विषय के लिए एक पद्धतिगत संगत नहीं है, यह उपरोक्त तकनीकों के लिए दिलचस्प समस्याओं का केवल एक छोटा सा चयन है।

1) समद्विबाहु समलम्बाकार का निचला आधार 13 है, और ऊपरी 5 है। समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसका विकर्ण पार्श्व पक्ष के लंबवत है।
2) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसके आधार 2cm और 5cm हैं, और भुजाएं 2cm और 3cm हैं।
3) एक समद्विबाहु समलम्ब में, बड़ा आधार 11 है, भुजा 5 है, और विकर्ण समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
4) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण 5 है और मध्य रेखा 4 है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
5) एक समद्विबाहु समलम्ब में, आधार 12 और 20 हैं, और विकर्ण परस्पर लंबवत हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें
6) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण अपने निचले आधार के साथ एक कोण बनाता है। एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि उसकी ऊँचाई 6 सेमी है।
7) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 20 है और इसकी एक भुजा 4 सेमी है विपरीत भुजा के मध्य से इसकी दूरी ज्ञात कीजिए।
8) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण इसे 6 और 14 क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है। यदि भुजा 4 है तो ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
9) एक समलम्ब चतुर्भुज में, विकर्ण 3 और 5 हैं, और आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड 2 है। समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (मेहमत MGU, 1970)।

मैंने सबसे कठिन कार्यों को नहीं चुना (मेचमत से डरो मत!) उनकी संभावना की उम्मीद के साथ स्वतंत्र निर्णय... स्वास्थ्य पर निर्णय लें! यदि आपको गणित में परीक्षा की तैयारी की आवश्यकता है, तो इस प्रक्रिया में भाग लेने के बिना, समलम्बाकार क्षेत्र के लिए सूत्र उत्पन्न हो सकते हैं गंभीर समस्याएंसमस्या B6 के साथ और इससे भी अधिक C4 के साथ। थीम लॉन्च न करें और किसी भी कठिनाई के मामले में मदद मांगें। एक गणित का शिक्षक आपकी मदद करने के लिए हमेशा खुश रहता है।

कोलपकोव ए.एन.
मास्को में गणित में ट्यूटर, स्ट्रोगिनो में परीक्षा की तैयारी.

तथा । अब आप विचार करना शुरू कर सकते हैं कि समलम्बाकार क्षेत्र का पता कैसे लगाया जाए। रोजमर्रा की जिंदगी में यह कार्य बहुत कम होता है, लेकिन कभी-कभी यह आवश्यक हो जाता है, उदाहरण के लिए, एक ट्रेपोजॉइड के रूप में एक कमरे के क्षेत्र को खोजने के लिए, जो निर्माण में तेजी से उपयोग किया जाता है। आधुनिक अपार्टमेंट, या नवीकरण के लिए डिजाइन परियोजनाओं में।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है जो चार प्रतिच्छेदी रेखा खंडों द्वारा बनाई गई है, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर हैं और समलम्बाकार के आधार कहलाते हैं। अन्य दो खंडों को समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, एक और परिभाषा निम्नलिखित में उपयोगी होगी। यह समलम्बाकार की मध्य रेखा है, जो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं और समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई को जोड़ने वाला एक रेखाखंड है, जो आधारों के बीच की दूरी के बराबर है।
त्रिभुजों की तरह, एक समलंब चतुर्भुज के समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्ब के रूप में विशेष दृश्य होते हैं, जिसमें भुजाओं की लंबाई समान होती है, और एक आयताकार समलम्बाकार, जिसमें एक भुजा आधारों के साथ समकोण बनाती है।

Trapezoids में कुछ दिलचस्प गुण हैं:

1. ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा आधारों के आधे योग के बराबर होती है और उनके समानांतर होती है।
   
2. समद्विबाहु समलम्ब में, वे भुजाएँ और कोण जो वे आधारों से बनाते हैं, समान होते हैं।
   
3. समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदु और इसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर होते हैं।
   
4. यदि समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं का योग आधारों के योग के बराबर है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है
   
5. यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं द्वारा उसके किसी आधार पर बनने वाले कोणों का योग 90 है, तो आधारों के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उनके आधे-अंतर के बराबर होती है।
   
6. एक समद्विबाहु समलम्ब को एक वृत्त द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और इसके विपरीत। यदि समलम्ब चतुर्भुज एक वृत्त में फिट बैठता है, तो यह समद्विबाहु है।
   
7. समद्विबाहु समलम्बाकार के आधारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाला खंड इसके आधारों के लंबवत होगा और समरूपता की धुरी का प्रतिनिधित्व करता है।
   

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें.

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के आधे योग के बराबर होगा जो ऊँचाई से गुणा किया जाता है। इसे सूत्र के रूप में व्यंजक के रूप में लिखा जाता है:

जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, a, b समलम्ब के प्रत्येक आधार की लंबाई है, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है।

आप किसी भी समलम्ब को सरल आकृतियों में भी विघटित कर सकते हैं: एक आयत और एक या दो त्रिभुज, और यदि यह आपके लिए आसान है, तो समलम्बाकार का क्षेत्रफल उसके घटक आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में ज्ञात कीजिए।

इसके क्षेत्रफल की गणना के लिए एक और सरल सूत्र है। इसके अनुसार, समलम्बाकार का क्षेत्रफल समलंब की ऊँचाई से उसकी मध्य रेखा के गुणनफल के बराबर होता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है: S = m * h, जहाँ S क्षेत्रफल है, m मध्य रेखा की लंबाई है, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है। यह सूत्र रोजमर्रा की समस्याओं की तुलना में गणित की समस्याओं के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि वास्तविक परिस्थितियों में आप बिना मध्य रेखा की लंबाई नहीं जान पाएंगे। प्रारंभिक गणना... और आप केवल आधारों और भुजाओं की लंबाई ही जान पाएंगे।

इस मामले में, ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

एस = ((ए + बी) / 2) * √c 2 - ((बी-ए) 2 + सी 2 -डी 2/2 (बी-ए)) 2

जहाँ S क्षेत्रफल है, a, b आधार हैं, c, d समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के और भी कई तरीके हैं। लेकिन, वे अंतिम सूत्र के रूप में असुविधाजनक हैं, जिसका अर्थ है कि उन पर ध्यान देने का कोई मतलब नहीं है। इसलिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप लेख से पहले सूत्र का उपयोग करें और चाहते हैं कि आपको हमेशा सटीक परिणाम मिले।

निर्देश

दोनों विधियों को और अधिक समझने योग्य बनाने के लिए, कुछ उदाहरण दिए जा सकते हैं।

उदाहरण 1: एक समलंब की मध्य रेखा की लंबाई 10 सेमी है, इसका क्षेत्रफल 100 सेमी² है। इस समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना होगा:

एच = 100/10 = 10 सेमी

उत्तर: इस समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई 10 सेमी . है

उदाहरण 2: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 100 सेमी² है, आधारों की लंबाई 8 सेमी और 12 सेमी है। इस समलंब की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आपको निम्नलिखित क्रिया करने की आवश्यकता है:

एच = (2 * 100) / (8 + 12) = 200/20 = 10 सेमी

उत्तर: इस समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई 20 सेमी . है

ध्यान दें

ट्रेपेज़ॉइड कई प्रकार के होते हैं:
एक समद्विबाहु समलम्बाकार एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें भुजाएँ बराबर होती हैं।
एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज एक समलम्बाकार समलम्ब होता है जिसमें एक होता है भीतरी कोने 90 डिग्री के बराबर है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक आयताकार ट्रेपोजॉइड में, ऊंचाई पक्ष की लंबाई के साथ मेल खाती है समकोण.
ट्रेपेज़ॉइड के चारों ओर, आप एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं, या इसे इस आकृति के अंदर अंकित कर सकते हैं। आप एक वृत्त को तभी अंकित कर सकते हैं जब उसके आधारों का योग विपरीत भुजाओं के योग के बराबर हो। एक वृत्त को केवल समद्विबाहु समलम्बाकार के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है।

उपयोगी सलाह

एक समांतर चतुर्भुज एक समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला है, क्योंकि एक समलम्ब चतुर्भुज की परिभाषा किसी भी तरह से समांतर चतुर्भुज की परिभाषा का खंडन नहीं करती है। समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के मामले में, परिभाषा केवल इसके कुछ पक्षों से संबंधित है। इसलिए, कोई भी समांतर चतुर्भुज भी एक समलम्ब होता है। इसका उलट सत्य नहीं है।

स्रोत:

• समलम्बाकार सूत्र का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

टिप 2: यदि क्षेत्र ज्ञात है तो एक समलम्बाकार की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें इसकी चार भुजाओं में से दो एक दूसरे के समानांतर होती हैं। समानांतर भुजाएँ इसके आधार हैं, अन्य दो भुजाएँ इसके आधार हैं समलम्ब... ढूँढ़ने के लिए ऊँचाईं समलम्बअगर यह ज्ञात हो वर्ग, यह बहुत आसान होगा।

निर्देश

यह पता लगाना आवश्यक है कि गणना कैसे करें वर्गमूल समलम्ब... इसके लिए, प्रारंभिक डेटा के आधार पर कई सूत्र: एस = ((ए + बी) * एच) / 2, जहां ए और बी आधार हैं समलम्ब, और h इसकी ऊँचाई है (ऊँचाई समलम्ब- एक आधार से लंबवत गिरा समलम्बअन्य को);
एस = एम * एच, जहां एम एक रेखा है समलम्ब(मध्य रेखा एक खंड है, आधार समलम्बऔर इसके पार्श्व पक्षों के मध्य को जोड़ना)।

इसे स्पष्ट करने के लिए, समान कार्यों पर विचार किया जा सकता है: उदाहरण 1: एक समलम्बाकार दिया गया है, जिसमें वर्ग 68 सेमी², जिसकी औसत रेखा 8 सेमी है, आप खोजना चाहते हैं ऊँचाईंदिया गया समलम्ब... इस समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले से व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
एच = 68/8 = 8.5 सेमी उत्तर: दिए गए की ऊंचाई समलम्ब 8.5 सेमी है उदाहरण 2: मान लीजिए y समलम्ब वर्ग 120 सेमी² के बराबर, इसके आधारों की लंबाई समलम्बक्रमशः 8 सेमी और 12 सेमी, आपको खोजने की जरूरत है ऊँचाईंयह समलम्ब... ऐसा करने के लिए, आपको व्युत्पन्न सूत्रों में से एक को लागू करने की आवश्यकता है:
एच = (2 * 120) / (8 + 12) = 240/20 = 12 सेमी समलम्ब 12 सेमी . के बराबर

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ध्यान दें

किसी भी ट्रेपोजॉइड में कई गुण होते हैं:

एक समलंब की मध्य रेखा उसके आधारों के आधे योग के बराबर होती है;

समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों को जोड़ने वाला खंड इसके आधारों के बीच का आधा अंतर है;

यदि आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है, तो यह समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को प्रतिच्छेद करेगी;

एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है यदि इस समलम्बाकार के आधारों का योग इसके पार्श्व पक्षों के योग के बराबर हो।

समस्याओं को हल करते समय इन गुणों का प्रयोग करें।

टिप 3: यदि आधार ज्ञात हैं तो समलम्बाकार का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

ज्यामितीय रूप से, एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें केवल एक जोड़ी पक्ष समानांतर होते हैं। ये पक्ष उसके हैं मैदान... बीच की दूरी मैदानऊंचाई कहा जाता है समलम्ब... ढूँढ़ने के लिए वर्ग समलम्बज्यामितीय सूत्रों का उपयोग करना संभव है।

निर्देश

आधारों को मापें और समलम्बएवीएसडी। आमतौर पर उन्हें कार्यों में दिया जाता है। भीतर आएं यह उदाहरणकार्य नींव एडी (ए) समलम्ब 10 सेमी के बराबर होगा, आधार बीसी (बी) - 6 सेमी, ऊंचाई समलम्बबीके (एच) - 8 सेमी। क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्यामितीय का प्रयोग करें समलम्ब, यदि इसके आधारों की लंबाई और ऊँचाई ज्ञात हो - S = 1/2 (a + b) * h, जहाँ: - a - AD आधार का आकार समलम्ब ABCD, - b - आधार मान BC, - h - ऊँचाई मान BK।

ज्यामिति के पाठों में आत्मविश्वास महसूस करने और समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, सूत्र सीखना पर्याप्त नहीं है। सबसे पहले आपको उन्हें समझने की जरूरत है। डरने के लिए, नफ़रत के फ़ार्मुलों की तो बात ही छोड़िए, अनुत्पादक है। यह लेख सुलभ भाषा में विश्लेषण करेगा विभिन्न तरीकेट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की खोज करें। संबंधित नियमों और प्रमेयों को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम इसके गुणों पर कुछ ध्यान देंगे। इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि नियम कैसे काम करते हैं और आपको कुछ फ़ार्मुलों को कब लागू करना चाहिए।

एक समलम्ब को परिभाषित करना

सामान्य तौर पर यह आंकड़ा क्या है? एक समलम्ब चतुर्भुज चार कोनों का एक बहुभुज है जिसमें दो समानांतर भुजाएँ होती हैं। ट्रेपेज़ॉइड के अन्य दो पक्षों को अलग-अलग कोणों पर झुकाया जा सकता है। इसके समानांतर पक्षों को आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर पक्षों के लिए, "पक्ष" या "जांघ" नाम का उपयोग किया जाता है। रोजमर्रा की जिंदगी में ऐसे आंकड़े काफी आम हैं। ट्रेपेज़ॉइड की आकृति को कपड़ों, आंतरिक वस्तुओं, फर्नीचर, व्यंजन और कई अन्य लोगों के सिल्हूट में देखा जा सकता है। समलम्ब होता है विभिन्न प्रकार: बहुमुखी, समद्विबाहु और आयताकार। हम लेख में बाद में उनके प्रकारों और गुणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

समलम्बाकार गुण

आइए हम इस आकृति के गुणों पर संक्षेप में ध्यान दें। दोनों पक्षों से सटे कोणों का योग हमेशा 180 ° के बराबर होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ट्रेपेज़ॉइड के सभी कोण 360 ° तक जुड़ते हैं। ट्रेपेज़ॉइड में एक मध्य रेखा की अवधारणा है। यदि आप भुजाओं के मध्य बिंदुओं को एक खंड से जोड़ते हैं, तो यह मध्य रेखा होगी। एम द्वारा नामित किया गया है। मध्य रेखा में महत्वपूर्ण गुण होते हैं: यह हमेशा आधारों के समानांतर होता है (हमें याद है कि आधार भी एक दूसरे के समानांतर हैं) और उनके आधे योग के बराबर है:

इस परिभाषा को सीखना और समझना चाहिए, क्योंकि यह कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है!

ट्रेपेज़ॉइड में, आप हमेशा ऊंचाई को आधार तक कम कर सकते हैं। ऊंचाई एक लंबवत है, जिसे अक्सर प्रतीक एच द्वारा दर्शाया जाता है, जो किसी भी बिंदु से एक आधार पर दूसरे आधार या उसके विस्तार तक खींचा जाता है। मध्य रेखा और ऊंचाई आपको समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में मदद करेगी। स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में इस तरह की समस्याएं सबसे आम हैं और नियमित रूप से नियंत्रण और परीक्षा पत्रों में दिखाई देती हैं।

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सबसे सरल सूत्र

आइए दो सबसे लोकप्रिय और सरल फ़ार्मुलों का विश्लेषण करें जिनका उपयोग एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र को खोजने के लिए किया जाता है। आप जो खोज रहे हैं उसे आसानी से ढूंढने के लिए ऊंचाई को आधारों के आधे योग से गुणा करना पर्याप्त है:

एस = एच * (ए + बी) / 2।

इस सूत्र में, a, b समलम्बाकार के आधार को निरूपित करते हैं, h - ऊँचाई। धारणा में आसानी के लिए, इस लेख में, सूत्रों में गुणन चिह्नों को एक (*) प्रतीक के साथ चिह्नित किया गया है, हालांकि आधिकारिक संदर्भ पुस्तकों में गुणन चिह्न को आमतौर पर छोड़ दिया जाता है।

आइए एक उदाहरण देखें।

दिया गया है: 10 और 14 सेमी के बराबर दो आधारों वाला एक समलम्ब चतुर्भुज, ऊँचाई 7 सेमी है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है?

आइए इस समस्या के समाधान का विश्लेषण करें। इस सूत्र का उपयोग करते हुए, आपको पहले आधारों का आधा योग ज्ञात करना होगा: (10 + 14) / 2 = 12. तो, आधा योग 12 सेमी के बराबर होता है। अब हम आधे योग को ऊंचाई से गुणा करते हैं: 12 * 7 = 84. मनचाही वस्तु मिल जाती है। उत्तर: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है। से। मी।

दूसरा प्रसिद्ध सूत्र कहता है: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल मध्य रेखा के गुणनफल और समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के बराबर होता है। अर्थात्, वास्तव में, यह मध्य रेखा की पिछली अवधारणा का अनुसरण करता है: S = m * h।

गणना के लिए विकर्णों का उपयोग करना

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का दूसरा तरीका वास्तव में उतना कठिन नहीं है। यह इसके विकर्णों से जुड़ा हुआ है। इस सूत्र के अनुसार, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसके विकर्णों के आधे गुणनफल (d 1 d 2) को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करना होगा:

एस = ½ डी 1 डी 2 पाप ए।

एक समस्या पर विचार करें जो इस पद्धति के अनुप्रयोग को दर्शाती है। दिया गया है: एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी विकर्ण लंबाई क्रमशः 8 और 13 सेमी है। विकर्णों के बीच का कोण 30 ° है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, यह गणना करना आसान है कि क्या आवश्यक है। जैसा कि आप जानते हैं, पाप 30 ° 0.5 है। इसलिए, एस = 8 * 13 * 0.5 = 52। उत्तर: क्षेत्रफल 52 वर्ग मीटर है। से। मी।

हम एक समद्विबाहु समलम्बाकार क्षेत्र की तलाश कर रहे हैं

समलंब समद्विबाहु (समद्विबाहु) हो सकता है। इसकी भुजाएँ समान हैं और आधारों पर कोण समान हैं, जिसे चित्र में अच्छी तरह से दर्शाया गया है। समद्विबाहु समलम्बाकार समलम्बाकार समलम्ब चतुर्भुज के समान गुण होते हैं, साथ ही कई विशेष गुण होते हैं। एक समद्विबाहु समलम्ब के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

ऐसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की क्या विधियाँ हैं? नीचे दी गई विधि के लिए बहुत अधिक गणना की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग करने के लिए, आपको समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोण के साइन (पाप) और कोसाइन (cos) के मूल्यों को जानना होगा। उनकी गणना करने के लिए, ब्रैडिस टेबल या इंजीनियरिंग कैलकुलेटर की आवश्यकता होती है। यह सूत्र है:

एस = सी* पाप ए*(ए - सी*कोस ए),

कहाँ पे साथ- पार्श्व जांघ, ए- नीचे के आधार पर कोण।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में समान लंबाई के विकर्ण होते हैं। इसका विलोम भी सत्य है: यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण समान हों, तो वह समद्विबाहु है। इसलिए निम्न सूत्र, जो एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करता है, उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा विकर्णों के वर्ग का आधा गुणनफल है: S = ½ d 2 sin ए।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला ज्ञात है। यह एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें एक पार्श्व पक्ष (इसकी जांघ) समकोण पर आधारों को जोड़ता है। इसमें एक साधारण ट्रेपोजॉइड के गुण होते हैं। इसके अलावा, उसके पास एक बहुत है दिलचस्प विशेषता... ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों के बीच का अंतर इसके आधारों के वर्गों के बीच के अंतर के बराबर होता है। इसके लिए, क्षेत्रफल की गणना के लिए पहले दी गई सभी विधियों का उपयोग किया जाता है।

सरलता लागू करना

एक तरकीब है जो विशिष्ट फ़ार्मुलों की भूलने की स्थिति में मदद कर सकती है। आइए एक नज़र डालते हैं कि एक ट्रेपोजॉइड क्या है। यदि हम मानसिक रूप से इसे भागों में विभाजित करते हैं, तो हमें परिचित और समझने योग्य ज्यामितीय आकार मिलते हैं: एक वर्ग या आयत और एक त्रिकोण (एक या दो)। यदि आप समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई और भुजाओं को जानते हैं, तो आप त्रिभुज और आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, और फिर सभी परिणामी मान जोड़ सकते हैं।

आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट करते हैं। एक आयताकार समलम्ब दिया गया है। कोण C = 45°, कोण A, D 90° हैं। ट्रेपेज़ॉइड का ऊपरी आधार 20 सेमी है, ऊंचाई 16 सेमी है। यह आंकड़ा के क्षेत्र की गणना करने के लिए आवश्यक है।

इस आकृति में स्पष्ट रूप से एक आयत (यदि दो कोण 90 ° हैं) और एक त्रिभुज है। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज आयताकार है, इसलिए इसकी ऊँचाई इसकी पार्श्व भुजा के बराबर है, अर्थात 16 सेमी। हमारे पास क्रमशः 20 और 16 सेमी की भुजाओं वाला एक आयत है। अब एक त्रिभुज पर विचार करें जिसका कोण 45° है। हम जानते हैं कि इसकी एक भुजा 16 सेमी है। चूँकि यह भुजा एक ही समय में समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है (और हम जानते हैं कि ऊँचाई समकोण पर आधार तक गिरती है), इसलिए त्रिभुज का दूसरा कोण है 90 डिग्री। अत: त्रिभुज का शेष कोण 45° है। नतीजतन, हमें एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज मिलता है जिसकी दो भुजाएँ समान होती हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज का दूसरा पक्ष ऊंचाई के बराबर है, यानी 16 सेमी। यह त्रिभुज और आयत के क्षेत्र की गणना करने और परिणामी मूल्यों को जोड़ने के लिए रहता है।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के गुणनफल के आधे के बराबर होता है: S = (16 * 16) / 2 = 128। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी चौड़ाई और लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है : एस = 20 * 16 = 320। हमने आवश्यक पाया: समलम्बाकार एस का क्षेत्रफल = 128 + 320 = 448 वर्ग। देखें। आप उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आसानी से अपने आप को दोबारा जांच सकते हैं, उत्तर समान होगा।

पिक के सूत्र का उपयोग करना

एस = एम / 2 + एन -1,

इस सूत्र में M नोड्स की संख्या है, अर्थात। ट्रेपेज़ॉइड (आकृति में नारंगी बिंदु) की सीमाओं पर कोशिकाओं की रेखाओं के साथ आकृति की रेखाओं का चौराहा, N आकृति के अंदर नोड्स की संख्या (नीला बिंदु) है। अनियमित बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय इसका उपयोग करना सबसे सुविधाजनक होता है। फिर भी, उपयोग की जाने वाली तकनीकों का शस्त्रागार जितना बड़ा होगा, उतना ही अधिक कम गलतियाँऔर बेहतर परिणाम।

बेशक, दी गई जानकारी ट्रेपेज़ॉइड के प्रकार और गुणों के साथ-साथ इसके क्षेत्र को खोजने के तरीकों को समाप्त नहीं करती है। यह लेख इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं का अवलोकन प्रदान करता है। ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में, धीरे-धीरे कार्य करना, आसान सूत्रों और समस्याओं से शुरू करना, लगातार समझ को समेकित करना, जटिलता के दूसरे स्तर पर जाना महत्वपूर्ण है।

सबसे सामान्य फ़ार्मुलों को एक साथ रखने से छात्रों को ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने और परीक्षणों के लिए बेहतर तैयारी करने के लिए विभिन्न तरीकों से नेविगेट करने में मदद मिलेगी। नियंत्रण कार्यइस विषय पर।