Teória pravdepodobnosti alebo teória pravdepodobnosti. Základy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky

ÚVOD

Mnohé veci sú pre nás nepochopiteľné, nie preto, že by naše pojmy boli slabé;
ale preto, že tieto veci nevstupujú do okruhu našich pojmov.
Kozma Prutkov

Hlavným cieľom štúdia matematiky na stredných odborných vzdelávacích inštitúciách je poskytnúť študentom súbor matematických vedomostí a zručností potrebných na štúdium iných študijných odborov, ktoré v tej či onej miere využívajú matematiku, pre schopnosť vykonávať praktické výpočty, pre formovanie a rozvoj. logického myslenia.

V tomto príspevku sú všetky základné pojmy sekcie matematiky „Základy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky“, ktoré poskytuje program a Štátne vzdelávacie štandardy stredného odborného vzdelávania (Ministerstvo školstva Ruskej federácie. M., 2002). ), sú dôsledne zavedené, sú formulované hlavné vety, z ktorých väčšina nie je dokázaná. Uvažuje sa o hlavných úlohách a metódach ich riešenia a technológiách aplikácie týchto metód pri riešení praktických problémov. Prezentáciu dopĺňajú podrobné komentáre a množstvo príkladov.

Metodické pokyny je možné využiť na prvotné oboznámenie sa s preberanou látkou, pri zapisovaní poznámok z prednášok, na prípravu na praktické cvičenia, na upevnenie nadobudnutých vedomostí, zručností a schopností. Okrem toho bude príručka užitočná pre študentov vysokých škôl ako referenčný nástroj, ktorý vám umožní rýchlo obnoviť v pamäti to, čo bolo predtým študované.

V závere práce sú uvedené príklady a úlohy, ktoré môžu žiaci vykonávať v režime sebakontroly.

Metodické pokyny sú určené pre študentov korešpondenčnej a dennej formy vzdelávania.

ZÁKLADNÉ POJMY

Teória pravdepodobnosti študuje objektívne zákonitosti hromadných náhodných udalostí. Ide o teoretický základ pre matematickú štatistiku, zaoberajúci sa vývojom metód zberu, opisu a spracovania výsledkov pozorovaní. Prostredníctvom pozorovaní (testov, experimentov), ​​t.j. skúsenosti v širokom zmysle slova, dochádza k poznaniu javov reálneho sveta.

Pri našej praktickej činnosti sa často stretávame s javmi, ktorých výsledok sa nedá predvídať, výsledok závisí od náhody.

Náhodný jav možno charakterizovať pomerom počtu jeho výskytov k počtu pokusov, pričom v každom z nich by za rovnakých podmienok všetkých pokusov mohol nastať alebo nenastať.

Teória pravdepodobnosti je odvetvie matematiky, v ktorom sa skúmajú náhodné javy (udalosti) a odhaľujú sa zákonitosti, keď sa masívne opakujú.

Matematická štatistika je oblasť matematiky, ktorej predmetom je štúdium metód zberu, systematizácie, spracovania a využívania štatistických údajov na získanie vedecky podložených záverov a rozhodovania.

Štatistické údaje sa zároveň chápu ako súbor čísel, ktoré predstavujú kvantitatívne charakteristiky znakov študovaných objektov, ktoré nás zaujímajú. Štatistické údaje sa získavajú ako výsledok špeciálne navrhnutých experimentov a pozorovaní.

Štatistické údaje vo svojej podstate závisia od mnohých náhodných faktorov, preto matematická štatistika úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti, ktorá je jej teoretickým základom.

I. PRAVDEPODOBNOSŤ. TEÓMY SČÍTANIA A NÁSOBENIA PRAVDEPODOBNOSTI

1.1. Základné pojmy kombinatoriky

V časti matematiky zvanej kombinatorika sa riešia niektoré problémy súvisiace s uvažovaním množín a zostavovaním rôznych kombinácií prvkov týchto množín. Ak napríklad vezmeme 10 rôznych čísel 0, 1, 2, 3,:, 9 a vytvoríme z nich kombinácie, dostaneme rôzne čísla, napríklad 143, 431, 5671, 1207, 43 atď.

Vidíme, že niektoré z týchto kombinácií sa líšia iba poradím číslic (napríklad 143 a 431), iné číslami, ktoré sú v nich zahrnuté (napríklad 5671 a 1207) a iné sa líšia aj počtom číslic ( napríklad 143 a 43).

Takto získané kombinácie spĺňajú rôzne podmienky.

V závislosti od pravidiel zostavovania možno rozlíšiť tri typy kombinácií: permutácie, umiestnenia, kombinácie.

Najprv sa zoznámime s konceptom faktoriál.

Volá sa súčin všetkých prirodzených čísel od 1 do n vrátane n-faktoriálne a písať.

Vypočítajte: a) ; b) ; v).

Riešenie. a) .

b) ako aj , potom ho môžete vyňať zo zátvoriek

Potom dostaneme

v) .

Permutácie.

Kombinácia n prvkov, ktoré sa od seba líšia iba v poradí prvkov, sa nazýva permutácia.

Permutácie sú označené symbolom P n , kde n je počet prvkov v každej permutácii. ( R- prvé písmeno francúzskeho slova permutácia- permutácia).

Počet permutácií možno vypočítať pomocou vzorca

alebo s faktoriálom:

Zapamätajme si to 0!=1 a 1!=1.

Príklad 2. Koľkými spôsobmi možno umiestniť šesť rôznych kníh na jednu policu?

Riešenie. Požadovaný počet spôsobov sa rovná počtu permutácií 6 prvkov, t.j.

Ubytovanie.

Umiestnenia z m prvky v n v každom sa nazývajú také zlúčeniny, ktoré sa navzájom líšia buď samotnými prvkami (aspoň jedným), alebo poradím od miesta.

Miesta sú označené symbolom , kde m je počet všetkých dostupných prvkov, n je počet prvkov v každej kombinácii. ( ALE- prvé písmeno francúzskeho slova usporiadanie, čo znamená „umiestnenie, uvedenie do poriadku“).

Zároveň sa predpokladá, že nm.

Počet umiestnení možno vypočítať pomocou vzorca

,

tie. počet všetkých možných umiestnení z m prvky podľa n sa rovná produktu n po sebe idúce celé čísla, z ktorých väčšie je m.

Tento vzorec napíšeme vo faktoriálnom tvare:

Príklad 3. Koľko možností na distribúciu troch poukazov do sanatória rôznych profilov možno urobiť pre piatich žiadateľov?

Riešenie. Požadovaný počet možností sa rovná počtu umiestnení 5 prvkov po 3 prvkoch, t.j.

.

Kombinácie.

Kombinácie sú všetky možné kombinácie m prvky podľa n, ktoré sa od seba líšia aspoň jedným prvkom (tu m a n- prirodzené čísla a nm).

Počet kombinácií od m prvky podľa n sú označené ( OD- prvé písmeno francúzskeho slova kombinácia- kombinácia).

Vo všeobecnosti počet m prvky podľa n rovná počtu umiestnení z m prvky podľa n delené počtom permutácií z n prvky:

Pomocou faktoriálových vzorcov pre čísla umiestnení a permutácií dostaneme:

Príklad 4. V tíme 25 ľudí musíte prideliť štyroch na prácu v určitej oblasti. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Riešenie. Keďže na poradí vybraných štyroch ľudí nezáleží, dá sa to urobiť rôznymi spôsobmi.

Nájdeme podľa prvého vzorca

.

Okrem toho sa pri riešení problémov používajú nasledujúce vzorce, ktoré vyjadrujú hlavné vlastnosti kombinácií:

(podľa definície a predpokladajú sa);

.

1.2. Riešenie kombinatorických úloh

Úloha 1. Na fakulte sa študuje 16 predmetov. V pondelok si treba dať do rozvrhu 3 predmety. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Riešenie. Existuje toľko spôsobov, ako naplánovať tri položky zo 16, ako existuje toľko umiestnení so 16 prvkami, každý po 3.

Úloha 2. Z 15 objektov je potrebné vybrať 10 objektov. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Úloha 3. Súťaže sa zúčastnili štyri družstvá. Koľko možností na rozdelenie miest medzi nimi je možných?

.

Úloha 4. Koľkými spôsobmi možno vytvoriť hliadku troch vojakov a jedného dôstojníka, ak je 80 vojakov a 3 dôstojníci?

Riešenie. Je možné vybrať vojaka na hliadke

spôsoby a dôstojnícke spôsoby. Keďže každý dôstojník môže ísť s každým tímom vojakov, existujú len spôsoby.

Úloha 5. Zistite, či je známe, že .

Od , dostaneme

,

,

Z definície kombinácie vyplýva, že . To. .

1.3. Koncept náhodnej udalosti. Typy udalostí. Pravdepodobnosť udalosti

Vyvolá sa akákoľvek akcia, jav, pozorovanie s niekoľkými rôznymi výsledkami, realizované za daného súboru podmienok test.

Výsledkom tejto akcie alebo pozorovania je tzv udalosť .

Ak udalosť za daných podmienok nastať môže alebo nemôže nastať, potom sa volá náhodný . V prípade, že k nejakej udalosti určite dôjde, je tzv autentické a v prípade, že sa to určite nemôže stať, - nemožné.

Udalosti sú tzv nezlučiteľné ak sa zakaždým môže objaviť len jeden z nich.

Udalosti sú tzv kĺb ak za daných podmienok výskyt jednej z týchto udalostí nevylučuje výskyt druhej v tom istom teste.

Udalosti sú tzv opak , ak sú za testovacích podmienok ako jeho jediné výsledky nezlučiteľné.

Udalosti sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy: A B C D, : .

Kompletný systém udalostí A 1, A 2, A 3, : , A n je súbor nezlučiteľných udalostí, z ktorých výskyt aspoň jedného je povinný pre daný test.

Ak úplný systém pozostáva z dvoch nekompatibilných udalostí, potom sa takéto udalosti nazývajú opačné a označujú sa A a .

Príklad. V krabici je 30 očíslovaných loptičiek. Určte, ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, isté, opačné:

dostal očíslovanú loptu (ALE);

nakreslite loptičku s párnym číslom (AT);

vytiahol loptičku s nepárnym číslom (OD);

dostal loptu bez čísla (D).

Ktorí z nich tvoria ucelenú skupinu?

Riešenie . ALE- určitá udalosť; D- nemožná udalosť;

V a OD- opačné deje.

Kompletná skupina udalostí je ALE a D, V a OD.

Pravdepodobnosť udalosti sa považuje za mieru objektívnej možnosti výskytu náhodnej udalosti.

1.4. Klasická definícia pravdepodobnosti

Číslo, ktoré je vyjadrením miery objektívnej možnosti vzniku udalosti, sa nazýva pravdepodobnosť túto udalosť a je označená symbolom P(A).

Definícia. Pravdepodobnosť udalosti ALE je pomer počtu výsledkov m, ktoré podporujú výskyt danej udalosti ALE, na číslo n všetky výsledky (nekompatibilné, jedinečné a rovnako možné), t.j. .

Preto, aby sa zistila pravdepodobnosť udalosti, je potrebné po zvážení rôznych výsledkov testu vypočítať všetky možné nekompatibilné výsledky. n, vyberte počet výsledkov, ktoré nás zaujímajú a vypočítajte pomer m do n.

Z tejto definície vyplývajú nasledujúce vlastnosti:

Pravdepodobnosť akéhokoľvek pokusu je nezáporné číslo nepresahujúce jednu.

Skutočne, počet m požadovaných udalostí leží v . Rozdelenie oboch častí na n, dostaneme

2. Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej, pretože .

3. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová, pretože .

Úloha 1. V lotérii je 200 výhercov z 1000 tiketov. Jeden tiket sa žrebuje náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že tento tiket vyhrá?

Riešenie. Celkový počet rôznych výsledkov je n= 1000. Počet výsledkov v prospech výhry je m=200. Podľa vzorca dostaneme

.

Úloha 2. V dávke 18 dielov sú 4 chybné. Náhodne sa vyberie 5 kusov. Nájdite pravdepodobnosť, že dve z týchto 5 častí sú chybné.

Riešenie. Počet všetkých rovnako možných nezávislých výsledkov n sa rovná počtu kombinácií od 18 do 5 t.j.

Vypočítajme číslo m, ktoré uprednostňuje udalosť A. Medzi 5 náhodne vybranými časťami by mali byť 3 kvalitné a 2 chybné. Počet spôsobov, ako vybrať dva chybné diely zo 4 dostupných chybných dielov, sa rovná počtu kombinácií od 4 do 2:

Počet spôsobov výberu troch kvalitných dielov zo 14 dostupných kvalitných dielov je rovnaký

.

Akákoľvek skupina kvalitných dielov môže byť kombinovaná s akoukoľvek skupinou chybných dielov, teda celkový počet kombinácií m je

Požadovaná pravdepodobnosť udalosti A sa rovná pomeru počtu výsledkov m, ktoré podporujú túto udalosť, k počtu n všetkých rovnako možných nezávislých výsledkov:

.

Súčet konečného počtu udalostí je udalosť, ktorá spočíva v výskyte aspoň jednej z nich.

Súčet dvoch udalostí je označený symbolom A + B a súčet n symbol udalostí A 1 +A 2 + : +A n .

Veta o sčítaní pravdepodobností.

Pravdepodobnosť súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Dôsledok 1. Ak udalosti А 1 , А 2 , : , А n tvoria úplný systém, potom sa súčet pravdepodobností týchto udalostí rovná jednej.

Dôsledok 2. Súčet pravdepodobností opačných udalostí a je rovný jednej.

.

Problém 1. Existuje 100 tiketov lotérie. Je známe, že 5 lístkov získa výhru 20 000 rubľov, 10 - 15 000 rubľov, 15 - 10 000 rubľov, 25 - 2 000 rubľov. a zvyšok nič. Nájdite pravdepodobnosť, že zakúpený lístok vyhrá najmenej 10 000 rubľov.

Riešenie. Nech A, B a C sú udalosti, ktoré spočívajú v tom, že na zakúpený lístok pripadá cena rovnajúca sa 20 000, 15 000 a 10 000 rubľov. keďže udalosti A, B a C sú nezlučiteľné, potom

Úloha 2. Oddelenie korešpondencie technickej školy dostáva od miest testy z matematiky A, B a OD. Pravdepodobnosť prijatia kontrolných prác od mesta ALE rovná 0,6, od mesta AT- 0,1. Nájdite pravdepodobnosť, že ďalšie kontrolné práce budú pochádzať z mesta OD.

Mama umyla rám

Ku koncu dlhých letných prázdnin je čas pomaly sa vrátiť k vyššej matematike a slávnostne otvoriť prázdny súbor Verd, aby ste mohli začať vytvárať novú sekciu - . Priznám sa, že prvé riadky nie sú ľahké, ale prvý krok je polovica cesty, preto každému navrhujem, aby si pozorne preštudoval úvodný článok, po ktorom bude zvládnutie témy 2-krát jednoduchšie! Vôbec nepreháňam. ... V predvečer ďalšieho 1. septembra si spomínam na prvú triedu a základku .... Písmená tvoria slabiky, slabiky slová, slová krátke vety – mama umývala rám. Ovládanie terverskej a matematickej štatistiky je také jednoduché ako naučiť sa čítať! Na to je však potrebné poznať kľúčové pojmy, pojmy a označenia, ako aj niektoré špecifické pravidlá, ktorým je venovaná táto lekcia.

Najprv však prijmite moje blahoželanie k začiatku (pokračovanie, ukončenie, príslušná poznámka) akademického roka a prijmite darček. Najlepším darčekom je kniha a pre samoukov odporúčam nasledujúcu literatúru:

1) Gmurman V.E. Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika

Legendárna učebnica, ktorá prešla viac ako desiatimi dotlačami. Líši sa zrozumiteľnosťou a ultimátnou jednoduchou prezentáciou učiva a prvé kapitoly sú, myslím, úplne prístupné už pre žiakov 6. – 7. ročníka.

2) Gmurman V.E. Sprievodca riešením problémov v pravdepodobnosti a matematickej štatistike

Reshebnik toho istého Vladimíra Efimoviča s podrobnými príkladmi a úlohami.

NUTNE stiahnite si obe knihy z internetu alebo získajte ich papierové originály! Bude stačiť verzia 60-70, čo je ešte lepšie pre figuríny. Hoci fráza „teória pravdepodobnosti pre figuríny“ znie dosť smiešne, pretože takmer všetko je obmedzené na základné aritmetické operácie. Miestami sa však šmýkajú deriváty a integrály, ale to je len miestami.

Budem sa snažiť dosiahnuť rovnakú prehľadnosť prezentácie, ale musím vás upozorniť, že môj kurz je zameraný na riešenie problémov a teoretické výpočty sú obmedzené na minimum. Preto, ak potrebujete podrobnú teóriu, dôkazy viet (áno, vety!), pozrite si učebnicu.

Pre tých, ktorí chcú naučiť sa riešiť problémy vytvorené v priebehu niekoľkých dní rýchlokurz vo formáte pdf (podľa stránky). No, práve teraz, bez toho, aby sme to odložili v dlhom priečinku, začíname študovať terver a matstat - nasledujte ma!

Dosť na začiatok =)

Pri čítaní článkov je užitočné zoznámiť sa (aspoň stručne) s ďalšími problémami uvažovaných typov. Na stránke Hotové riešenia pre vyššiu matematiku sú umiestnené zodpovedajúce pdf-ki s príkladmi riešení. Poskytne sa aj významná pomoc IDZ 18.1-18.2 Ryabushko(ľahšie) a riešil IDZ podľa zbierky Chudesenka(ťažšie).

1) súčet dve udalosti a nazýva sa udalosťou, ktorá spočíva v tom, že alebo udalosť alebo udalosť alebo obe udalosti súčasne. V prípade udalostí nezlučiteľné, posledná možnosť zmizne, to znamená, že môže nastať alebo udalosť alebo udalosť .

Pravidlo sa vzťahuje aj na viacero výrazov, napríklad na podujatie je to, čo sa stane aspoň jeden z udalostí , a ak sú udalosti nezlučiteľné – ten jeden a jediný udalosť z tejto sumy: alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť .

Veľa príkladov:

Udalosť (pri hode kockou neklesne 5 bodov) je taká alebo 1, alebo 2, alebo 3, alebo 4, alebo 6 bodov.

Udalosť (spadne nikdy viac dva body) je, že 1 alebo 2bodov.

Udalosť (bude párny počet bodov) je, že alebo 2 alebo 4 alebo 6 bodov.

Udalosť spočíva v tom, že sa z balíčka vyberie karta červenej farby (srdce). alebo tamburína) a udalosť - že „obrázok“ bude extrahovaný (jack alebo pani alebo kráľ alebo eso).

O niečo zaujímavejší je prípad spoločných podujatí:

Udalosť spočíva v tom, že sa z palubovky vyžrebuje palica alebo sedem alebo sedem klubov Podľa vyššie uvedenej definície aspoň niečo- alebo akýkoľvek klub alebo ľubovoľná sedmička alebo ich "kríženie" - sedem palíc. Je ľahké vypočítať, že táto udalosť zodpovedá 12 základným výsledkom (9 klubových kariet + 3 zostávajúce sedmičky).

Akcia je zajtra o 12.00 hod ALESPOŇ JEDNO zo zhrňujúcich spoločných podujatí, menovite:

- alebo bude len dážď / iba hrmenie / iba slnko;
- alebo príde len nejaká dvojica udalostí (dážď + búrka / dážď + slnko / búrka + slnko);
– alebo sa zobrazia všetky tri udalosti súčasne.

To znamená, že udalosť zahŕňa 7 možných výsledkov.

Druhý pilier algebry udalostí:

2) práca dve udalosti a nazývame udalosť, ktorá spočíva v spoločnom výskyte týchto udalostí, inými slovami, znásobenie znamená, že za určitých okolností dôjde a udalosť, a udalosť . Podobné tvrdenie platí pri väčšom počte podujatí, napríklad z práce vyplýva, že za určitých podmienok dôjde a udalosť, a udalosť, a udalosť,…, a udalosť .

Zvážte pokus, v ktorom sa hádžu dve mince a nasledujúce udalosti:

- hlavy padnú na 1. mincu;
- 1. minca pristane chvosty;
- 2. minca pristane hlavy;
- 2. minca príde na chvost.

potom:
a na 2.) vypadne orol;
- akcia spočíva v tom, že na oboch minciach (1 a na 2.) vypadnú chvosty;
– udalosť je taká, že 1. minca pristane hlavy a na 2. chvostoch mincí;
- udalosť je taká, že 1. minca príde nahor a na 2. minci orol.

Je ľahké vidieť, že udalosti nezlučiteľné (keďže nemôže vypadnúť napr. 2 hlavy a 2 chvosty súčasne) a forme celá skupina (keďže sa berie do úvahy všetky možné výsledky hádzania dvoch mincí). Zhrňme si tieto udalosti: . Ako interpretovať tento záznam? Veľmi jednoduché – násobenie znamená logické spojenie A, a dodatok je ALEBO. Súčet je teda ľahko čitateľný v zrozumiteľnej ľudskej reči: „padnú dva orly alebo dva chvosty alebo hlavy na 1. minci a na 2. chvoste alebo hlavy na 1. minci a orol na druhej minci »

Toto bol príklad, keď v jednom teste ide o niekoľko predmetov, v tomto prípade o dve mince. Ďalšia schéma bežne používaná v praxi je opakované testy keď sa napríklad 3x za sebou hodí tá istá kocka. Ako demonštráciu zvážte nasledujúce udalosti:

- v 1. hode vypadnú 4 body;
- v 2. hode vypadne 5 bodov;
- v 3. hode vypadne 6 bodov.

Potom udalosť spočíva v tom, že v 1. hode vypadnú 4 body a v 2. hode klesne o 5 bodov a v 3. hode padne 6 bodov. Je zrejmé, že v prípade kocky bude podstatne viac kombinácií (výsledkov), ako keby sme si hádzali mincou.

...Chápem, že sa možno analyzujú nie veľmi zaujímavé príklady, ale toto sú veci, s ktorými sa často stretávame v problémoch a nedá sa z nich dostať. Okrem mince, kocky a balíčka kariet sú tu urny s farebnými loptičkami, niekoľko anonymných ľudí strieľajúcich do terča a neúnavný pracant, ktorý neustále omieľa nejaké detaily =)

Pravdepodobnosť udalosti

Pravdepodobnosť udalosti je ústredným pojmom v teórii pravdepodobnosti. ...Smrteľne logická vec, ale niekde sa začať muselo =) Existuje niekoľko prístupov k jej definícii:

;
Geometrická definícia pravdepodobnosti ;
Štatistická definícia pravdepodobnosti .

V tomto článku sa zameriam na klasickú definíciu pravdepodobností, ktorá je najviac využívaná vo vzdelávacích úlohách.

Notový zápis. Pravdepodobnosť nejakej udalosti je označená veľkým latinským písmenom a samotná udalosť je uvedená v zátvorkách, čo funguje ako druh argumentu. Napríklad:

Malé písmeno sa tiež bežne používa na vyjadrenie pravdepodobnosti. Najmä možno upustiť od ťažkopádnych označení udalostí a ich pravdepodobnosti v prospech nasledujúceho štýlu:

je pravdepodobnosť, že hodom mince budú hlavy;
- pravdepodobnosť, že v dôsledku hodu kockou vypadne 5 bodov;
je pravdepodobnosť, že sa z balíčka vytiahne karta klubovej farby.

Táto možnosť je populárna pri riešení praktických problémov, pretože vám umožňuje výrazne znížiť zadanie riešenia. Ako v prvom prípade, aj tu je vhodné použiť „hovoriace“ dolné/horné indexy.

Každý už dlho hádal čísla, ktoré som práve napísal vyššie, a teraz zistíme, ako dopadli:

Klasická definícia pravdepodobnosti:

Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v niektorom teste je pomer , kde:

je celkový počet všetkých rovnako možné, elementárne výsledky tohto testu, ktoré tvoria celá skupina podujatí;

- suma elementárne výsledky priaznivý udalosť .

Keď sa hodí minca, môžu vypadnúť buď hlavy alebo chvosty - tieto udalosti sa formujú celá skupina, teda celkový počet výsledkov; kým každý z nich elementárne a rovnako možné. Udalosť je uprednostňovaná výsledkom (hlavy). Podľa klasickej definície pravdepodobnosti: .

Podobne ako výsledok hodu kockou sa môžu objaviť elementárne rovnako možné výsledky, ktoré vytvoria kompletnú skupinu a udalosť je uprednostňovaná jediným výsledkom (hodením päťkou). Preto: .TOTO NIE JE AKCEPTOVANÉ (hoci nie je zakázané zisťovať percentá v mysli).

Je zvykom používať zlomky jednotky a, samozrejme, pravdepodobnosť sa môže meniť v rámci . Navyše, ak , potom udalosť je nemožné, ak - autentické, a ak , potom hovoríme o náhodný udalosť.

! Ak v priebehu riešenia akéhokoľvek problému získate inú hodnotu pravdepodobnosti - hľadajte chybu!

V klasickom prístupe k definícii pravdepodobnosti sa extrémne hodnoty (nula a jedna) získajú presne rovnakým uvažovaním. Nechajte náhodne vyžrebovať 1 loptičku z urny s 10 červenými loptičkami. Zvážte nasledujúce udalosti:

v jedinom pokuse nenastane nepravdepodobná udalosť.

To je dôvod, prečo netrafíte jackpot v lotérii, ak je pravdepodobnosť tejto udalosti povedzme 0,00000001. Áno, áno, ste to vy – s jediným lístkom v konkrétnom obehu. Viac tiketov a viac žrebov vám však veľmi nepomôže. ... Keď o tom hovorím ostatným, takmer vždy počujem odpoveď: "ale niekto vyhral." Dobre, potom urobme nasledujúci experiment: kúpte si prosím akýkoľvek žreb dnes alebo zajtra (neodkladajte!). A ak vyhráte ... no, aspoň viac ako 10 kilo rubľov, určite sa odhláste - vysvetlím, prečo sa to stalo. Za percentá, samozrejme =) =)

Netreba však smútiť, pretože platí opačný princíp: ak je pravdepodobnosť nejakej udalosti veľmi blízka jednote, potom v jedinom teste takmer isté stane sa. Preto sa pred zoskokom padákom nebojte, práve naopak – usmievajte sa! Aby totiž oba padáky zlyhali, musia nastať absolútne nemysliteľné a fantastické okolnosti.

Aj keď je to všetko poézia, pretože v závislosti od obsahu udalosti sa prvý princíp môže ukázať ako veselý a druhý - smutný; alebo dokonca obe sú paralelné.

Zatiaľ asi stačí v triede Úlohy pre klasickú definíciu pravdepodobnosti zo vzorca vyžmýkame maximum. V poslednej časti tohto článku zvážime jednu dôležitú vetu:

Súčet pravdepodobností udalostí, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sa rovná jednej. Zhruba povedané, ak udalosti tvoria kompletnú skupinu, potom so 100% pravdepodobnosťou dôjde k jednej z nich. V najjednoduchšom prípade tvoria opačné udalosti kompletnú skupinu, napríklad:

- v dôsledku hodu mincou vypadne orol;
- v dôsledku hodenia mince vypadnú chvosty.

Podľa vety:

Je jasné, že tieto udalosti sú rovnako pravdepodobné a ich pravdepodobnosti sú rovnaké. .

Kvôli rovnosti pravdepodobností sa často nazývajú rovnako pravdepodobné udalosti ekvipravdepodobný . A tu sa ukázal jazykolam na určenie stupňa intoxikácie =)

Príklad kocky: udalosti sú opačné, takže .

Uvažovaná veta je vhodná v tom, že vám umožňuje rýchlo nájsť pravdepodobnosť opačnej udalosti. Ak teda poznáte pravdepodobnosť, že päťka vypadne, je ľahké vypočítať pravdepodobnosť, že nevypadne:

Je to oveľa jednoduchšie ako zhrnúť pravdepodobnosti piatich základných výsledkov. Mimochodom, pre elementárne výsledky platí aj táto veta:
. Napríklad, ak je pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, potom je pravdepodobnosť, že netrafí.

! V teórii pravdepodobnosti je nežiaduce používať písmená a na akýkoľvek iný účel.

Na počesť Dňa vedomostí nebudem dávať domáce úlohy =), ale je veľmi dôležité, aby ste odpovedali na nasledujúce otázky:

Aké typy podujatí existujú?
– Čo je náhoda a rovnaká možnosť udalosti?
– Ako chápete pojmy kompatibilita / nezlučiteľnosť udalostí?
– Čo je úplná skupina udalostí, protichodných udalostí?
Čo znamená sčítanie a násobenie udalostí?
– Čo je podstatou klasickej definície pravdepodobnosti?
– Prečo je užitočná veta o sčítaní pravdepodobnosti udalostí tvoriacich úplnú skupinu?

Nie, nemusíte nič napchávať, toto sú len základy teórie pravdepodobnosti – akýsi základ, ktorý sa vám rýchlo zmestí do hlavy. A aby sa to stalo čo najskôr, navrhujem, aby ste si prečítali lekcie

Čo je pravdepodobnosť?

Prvýkrát zoči-voči tomuto pojmu by som nerozumel, čo to je. Tak sa to pokúsim vysvetliť zrozumiteľne.

Pravdepodobnosť je šanca, že dôjde k želanej udalosti.

Napríklad ste sa rozhodli navštíviť priateľa, zapamätať si vchod a dokonca aj poschodie, na ktorom žije. Ale zabudol som číslo a polohu bytu. A teraz stojíte na schodisku a pred vami sú dvere, z ktorých si môžete vybrať.

Aká je šanca (pravdepodobnosť), že ak zazvoníte na prvé dvere, otvorí vám priateľ? Celý byt a priateľ býva len za jedným z nich. S rovnakou šancou si môžeme vybrať akékoľvek dvere.

Ale aká je táto šanca?

Dvere, správne dvere. Pravdepodobnosť uhádnutia zvonením na prvé dvere: . To znamená, že raz z troch uhádnete určite.

Chceme vedieť tak, že raz zavoláme, ako často uhádneme dvere? Pozrime sa na všetky možnosti:

1. volali ste 1 Dvere
2. volali ste 2 Dvere
3. volali ste 3 Dvere

A teraz zvážte všetky možnosti, kde môže byť priateľ:

a. Za 1 dvere
b. Za 2 dvere
v. Za 3 dvere

Porovnajme všetky možnosti vo forme tabuľky. Začiarknutie označuje možnosti, keď sa vaša voľba zhoduje s umiestnením priateľa, krížik - ak sa nezhoduje.

Ako všetko vidíte Možno možnosti polohu priateľa a váš výber, na ktoré dvere zazvoniť.

ALE priaznivé výsledky všetkých . To znamená, že časy od uhádnete tak, že raz zazvoníte na dvere, t.j. .

Toto je pravdepodobnosť - pomer priaznivého výsledku (keď sa váš výber zhodoval s umiestnením priateľa) k počtu možných udalostí.

Definícia je vzorec. Pravdepodobnosť sa zvyčajne označuje p, takže:

Nie je veľmi vhodné písať takýto vzorec, takže zoberme za - počet priaznivých výsledkov a za - celkový počet výsledkov.

Pravdepodobnosť je možné zapísať ako percento, preto musíte výsledný výsledok vynásobiť:

Pravdepodobne vás zaujalo slovo „výsledky“. Keďže matematici nazývajú rôzne akcie (u nás je takouto akciou zvonček) experimenty, je zvykom nazývať výsledok takýchto experimentov výsledkom.

Nuž, výsledky sú priaznivé aj nepriaznivé.

Vráťme sa k nášmu príkladu. Povedzme, že sme zazvonili pri jedných dverách, no otvoril nám cudzinec. Nehádali sme. Aká je pravdepodobnosť, že ak zazvoníme na jedny zo zostávajúcich dverí, otvorí nám ich priateľ?

Ak ste si to mysleli, tak je to omyl. Poďme na to.

Ostali nám dvoje dvere. Takže máme možné kroky:

1) Zavolajte na 1 Dvere
2) Zavolajte 2 Dvere

Kamarát s tým všetkým určite stojí za jedným z nich (napokon nebol za tým, ktorého sme volali):

a) priateľ 1 dvere
b) priateľ pre 2 dvere

Znovu nakreslíme tabuľku:

Ako vidíte, existujú všetky možnosti, z ktorých - priaznivé. To znamená, že pravdepodobnosť je rovnaká.

Prečo nie?

Situácia, ktorú sme zvážili, je príklad závislých udalostí. Prvou udalosťou je prvý zvonček, druhou udalosťou je druhý zvonček.

A nazývajú sa závislými, pretože ovplyvňujú nasledujúce akcie. Ak by totiž priateľ otvoril dvere po prvom zazvonení, aká by bola pravdepodobnosť, že je za jedným z ostatných dvoch? Správne, .

Ale ak existujú závislé udalosti, potom musia existovať nezávislý? Pravda, existujú.

Učebnicovým príkladom je hod mincou.

1. Hodíme si mincou. Aká je pravdepodobnosť, že prídu napríklad hlavy? Je to tak – pretože možnosti na všetko (či už hlavy alebo chvosty, pravdepodobnosť, že minca bude stáť na hrane, zanedbáme), ale vyhovujú len nám.
2. Ale vypadli chvosty. Dobre, zopakujme to. Aká je pravdepodobnosť, že sa vám to teraz podarí? Nič sa nezmenilo, všetko je po starom. Koľko možností? Dva. Nakoľko sme spokojní? Jeden.

A nech vypadnú chvosty aspoň tisíckrát za sebou. Pravdepodobnosť pádu hláv naraz bude rovnaká. Vždy existujú možnosti, ale priaznivé.

Rozlíšenie závislých udalostí od nezávislých je jednoduché:

1. Ak sa experiment vykoná raz (raz hodia mincou, raz zazvoní zvonček atď.), udalosti sú vždy nezávislé.
2. Ak sa experiment vykonáva niekoľkokrát (raz sa hodí minca, niekoľkokrát zazvoní zvonček), prvá udalosť je vždy nezávislá. A potom, ak sa zmení počet priaznivých alebo počet všetkých výsledkov, potom sú udalosti závislé, a ak nie, sú nezávislé.

Poďme si trochu zacvičiť, aby sme určili pravdepodobnosť.

Príklad 1

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že dostanete heads up dvakrát za sebou?

Riešenie:

Zvážte všetky možné možnosti:

1. orol orol
2. orol chvostnatý
3. chvostoskok
4. Chvosty-chvosty

Ako vidíte, všetky možnosti. Z nich sme spokojní len my. To je pravdepodobnosť:

Ak podmienka vyžaduje jednoducho nájsť pravdepodobnosť, potom musí byť odpoveď uvedená ako desatinný zlomok. Ak by bolo uvedené, že odpoveď musí byť uvedená v percentách, potom by sme vynásobili.

odpoveď:

Príklad 2

V bonboniére sú všetky cukríky zabalené v rovnakom obale. Avšak zo sladkostí – s orechmi, koňakom, čerešňami, karamelom a nugátom.

Aká je pravdepodobnosť, že si vezmete jeden cukrík a dostanete cukrík s orechmi. Uveďte svoju odpoveď v percentách.

Riešenie:

Koľko možných výsledkov existuje? .

To znamená, že keď si vezmete jeden cukrík, bude to jeden z tých v krabici.

A koľko priaznivých výsledkov?

Pretože krabička obsahuje samé čokoládky s orieškami.

odpoveď:

Príklad 3

V krabici s loptičkami. z ktorých sú biele a čierne.

1. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?
2. Do krabice sme pridali viac čiernych guličiek. Aká je pravdepodobnosť, že teraz vytiahnete bielu guľu?

Riešenie:

a) V krabici sú iba loptičky. z ktorých sú biele.

Pravdepodobnosť je:

b) Teraz sú v krabici loptičky. A rovnako veľa bielych zostalo.

odpoveď:

Úplná pravdepodobnosť

Napríklad v krabici červených a zelených guľôčok. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule? Zelená guľa? Červená alebo zelená guľa?

Pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule

Zelená guľa:

Červená alebo zelená guľa:

Ako vidíte, súčet všetkých možných udalostí sa rovná (). Pochopenie tohto bodu vám pomôže vyriešiť mnohé problémy.

Príklad 4

V krabičke sú fixky: zelená, červená, modrá, žltá, čierna.

Aká je pravdepodobnosť, že nakreslíte NIE červenú značku?

Riešenie:

Spočítajme číslo priaznivé výsledky.

NIE červená značka, to znamená zelená, modrá, žltá alebo čierna.

Pravdepodobnosť všetkých udalostí. A pravdepodobnosť udalostí, ktoré považujeme za nepriaznivé (keď vytiahneme červenú fixku) je .

Pravdepodobnosť nakreslenia NIE červenej fixky je teda -.

odpoveď:

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Už viete, čo sú nezávislé udalosti.

A ak potrebujete nájsť pravdepodobnosť, že dôjde k dvom (alebo viacerým) nezávislým udalostiam za sebou?

Povedzme, že chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že keď hodíme mincou raz, uvidíme orla dvakrát?

Už sme zvážili - .

Čo ak si hodíme mincou? Aká je pravdepodobnosť, že uvidíte orla dvakrát za sebou?

Celkom možné možnosti:

1. Orol-orol-orol
2. Orlie-hlava-chvosty
3. Hlava-chvost-orol
4. Hlava-chvosty-chvosty
5. chvosty-orol-orol
6. Chvosty-hlavy-chvosty
7. Chvosty-chvosty-hlavy
8. Chvosty-chvosty-chvosty

Neviem ako vy, ale ja som si tento zoznam raz pomýlil. Wow! A jediná možnosť (prvá) nám vyhovuje.

Pre 5 hodov si môžete sami vytvoriť zoznam možných výsledkov. Ale matematici nie sú takí pracovití ako ty.

Preto si najprv všimli a potom dokázali, že pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí klesá zakaždým o pravdepodobnosť jednej udalosti.

Inými slovami,

Zoberme si príklad tej istej nešťastnej mince.

Pravdepodobnosť, že sa objavíte v procese? . Teraz si hodíme mincou.

Aká je pravdepodobnosť, že dostanete chvosty v rade?

Toto pravidlo nefunguje len vtedy, ak sme požiadaní, aby sme zistili pravdepodobnosť, že sa rovnaká udalosť vyskytne niekoľkokrát za sebou.

Ak by sme chceli nájsť sekvenciu TAILS-EAGLE-TAILS na po sebe idúcich preklopeniach, urobili by sme to isté.

Pravdepodobnosť získania chvostov - , hláv - .

Pravdepodobnosť získania sekvencie TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Môžete to skontrolovať sami vytvorením tabuľky.

Pravidlo pre sčítanie pravdepodobností nezlučiteľných udalostí.

Tak prestaň! Nová definícia.

Poďme na to. Vezmime našu opotrebovanú mincu a prehodíme ju raz.
Možné možnosti:

1. Orol-orol-orol
2. Orlie-hlava-chvosty
3. Hlava-chvost-orol
4. Hlava-chvosty-chvosty
5. chvosty-orol-orol
6. Chvosty-hlavy-chvosty
7. Chvosty-chvosty-hlavy
8. Chvosty-chvosty-chvosty

Takže tu sú nezlučiteľné udalosti, toto je určitý, daný sled udalostí. sú nezlučiteľné udalosti.

Ak chceme určiť, aká je pravdepodobnosť dvoch (alebo viacerých) nezlučiteľných udalostí, tak sčítame pravdepodobnosti týchto udalostí.

Musíte pochopiť, že strata orla alebo chvostov sú dve nezávislé udalosti.

Ak chceme určiť, aká je pravdepodobnosť vypadnutia postupnosti (alebo akejkoľvek inej), tak použijeme pravidlo násobenia pravdepodobností.
Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy pri prvom hode a chvost pri druhom a treťom?

Ale ak chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť získania jednej z viacerých sekvencií, napríklad keď hlavy vystúpia presne raz, t.j. možnosti a potom musíme pridať pravdepodobnosti týchto postupností.

Celkové možnosti nám vyhovujú.

To isté môžeme získať sčítaním pravdepodobnosti výskytu každej postupnosti:

Pravdepodobnosti teda pridávame, keď chceme určiť pravdepodobnosť nejakých, nezlučiteľných, sledov udalostí.

Existuje skvelé pravidlo, ktoré vám pomôže nezmiasť sa, kedy násobiť a kedy sčítať:

Vráťme sa k príkladu, keď sme si raz hádzali mincou a chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že raz uvidíme hlavy.
Čo sa stane?

Malo by klesnúť:
(hlavy A chvosty A chvosty) ALEBO (chvosty A hlavy A chvosty) ALEBO (chvosty A chvosty A hlavy).
A tak to dopadá:

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 5

V krabičke sú ceruzky. červená, zelená, oranžová a žltá a čierna. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej alebo zelenej ceruzky?

Riešenie:

Čo sa stane? Musíme vytiahnuť (červená ALEBO zelená).

Teraz je to jasné, spočítame pravdepodobnosti týchto udalostí:

odpoveď:

Príklad 6

Kocka sa hodí dvakrát, aká je pravdepodobnosť, že padne celkom 8?

Riešenie.

Ako môžeme získať body?

(a) alebo (a) alebo (a) alebo (a) alebo (a).

Pravdepodobnosť vypadnutia z jednej (akejkoľvek) tváre je .

Vypočítame pravdepodobnosť:

odpoveď:

Posilovať.

Myslím, že teraz je vám už jasné, kedy potrebujete, ako počítať pravdepodobnosti, kedy ich sčítať a kedy vynásobiť. Nieje to? Poďme si trochu zacvičiť.

Úlohy:

Zoberme si balíček kariet, v ktorom sú karty piky, srdce, 13 palíc a 13 tamburín. Od po Eso každej farby.

1. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia palíc za sebou (prvú vytiahnutú kartu vložíme späť do balíčka a zamiešame)?
2. Aká je pravdepodobnosť ťahania čiernej karty (piky alebo palice)?
3. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia obrázka (jack, dáma, kráľ alebo eso)?
4. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia dvoch obrázkov za sebou (odstránime prvú vytiahnutú kartu z balíčka)?
5. Aká je pravdepodobnosť, že ak vezmete dve karty, nazbierate kombináciu - (Jack, Queen alebo King) a Eso Poradie, v ktorom budú karty ťahané, nie je dôležité.

Odpovede:

1. V balíčku kariet každej hodnoty to znamená:
2. Udalosti sú závislé, pretože po prvej vytiahnutej karte sa počet kariet v balíčku znížil (rovnako ako počet „obrázkov“). Celkový počet zdvihákov, dám, kráľov a es v balíčku na začiatku, čo znamená pravdepodobnosť vytiahnutia „obrázku“ s prvou kartou:

   Keďže z balíčka odstraňujeme prvú kartu, znamená to, že v balíčku už zostala karta, na ktorej sú obrázky. Pravdepodobnosť nakreslenia obrázka s druhou kartou:

   Keďže nás zaujíma situácia, keď dostaneme z balíčka: „obrázok“ A „obrázok“, potom musíme vynásobiť pravdepodobnosti:

   odpoveď:

3. Po vytiahnutí prvej karty sa počet kariet v balíčku zníži. Máme teda dve možnosti:
   1) S prvou kartou vytiahneme eso, druhú - jacka, dámu alebo kráľa
   2) S prvou kartou vyberieme jacka, dámu alebo kráľa, druhú - eso. (eso a (jack alebo dáma alebo kráľ)) alebo ((jack alebo dáma alebo kráľ) a eso). Nezabudnite na zníženie počtu kariet v balíčku!

Ak ste boli schopní vyriešiť všetky problémy sami, potom ste skvelý človek! Teraz úlohy z teórie pravdepodobnosti na skúške budete cvakať ako orechy!

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Zvážte príklad. Povedzme, že hodíme kockou. Čo je to za kosť, vieš? Toto je názov kocky s číslami na stenách. Koľko tvárí, toľko čísel: od do koľko? Predtým.

Takže hodíme kockou a chceme, aby prišla s alebo. A vypadneme.

V teórii pravdepodobnosti hovoria, čo sa stalo priaznivá udalosť(nezamieňať s dobrým).

Ak by to vypadlo, akcia by bola tiež priaznivá. Celkovo môžu nastať iba dve priaznivé udalosti.

Koľko zlých? Keďže všetky možné udalosti, nepriaznivé z nich sú udalosti (to je, ak vypadne alebo).

Definícia:

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí.. To znamená, že pravdepodobnosť ukazuje, aký podiel všetkých možných udalostí je priaznivý.

Pravdepodobnosť označujú latinským písmenom (zrejme z anglického slova pravdepodobnosť - pravdepodobnosť).

Je zvykom merať pravdepodobnosť v percentách (pozri témy a). Na to je potrebné vynásobiť hodnotu pravdepodobnosti. V príklade s kockami pravdepodobnosť.

A v percentách: .

Príklady (rozhodnite sa sami):

1. Aká je pravdepodobnosť, že hod mincou dopadne na hlavu? A aká je pravdepodobnosť chvostov?
2. Aká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne párne číslo? A s čím - zvláštne?
3. V zásuvke obyčajných, modrých a červených ceruziek. Náhodne nakreslíme jednu ceruzku. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia jednoduchého?

Riešenia:

1. Koľko možností je? Hlavy a chvosty - iba dve. A koľko z nich je priaznivých? Len jeden je orol. Takže pravdepodobnosť

   To isté s chvostmi: .

2. Celkový počet možností: (koľko strán má kocka, toľko rôznych možností). Priaznivé: (všetky sú to párne čísla :).
   Pravdepodobnosť. S odd, samozrejme, to isté.
3. Celkom: . Priaznivý: . Pravdepodobnosť: .

Úplná pravdepodobnosť

Všetky ceruzky v zásuvke sú zelené. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej ceruzky? Neexistujú žiadne šance: pravdepodobnosť (napokon, priaznivé udalosti -).

Takáto udalosť sa nazýva nemožná.

Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky? Priaznivých udalostí je presne toľko, koľko je celkových udalostí (všetky udalosti sú priaznivé). Pravdepodobnosť je teda alebo.

Takáto udalosť sa nazýva istá.

Ak sú v krabici zelené a červené ceruzky, aká je pravdepodobnosť, že nakreslíte zelenú alebo červenú? Ešte raz. Všimnite si nasledujúcu vec: pravdepodobnosť nakreslenia zelenej je rovnaká a červená je .

Celkovo sú tieto pravdepodobnosti úplne rovnaké. teda súčet pravdepodobností všetkých možných udalostí sa rovná alebo.

Príklad:

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, jednoduché, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť, že nenakreslíte zelenú?

Riešenie:

Pamätajte, že všetky pravdepodobnosti sa sčítavajú. A pravdepodobnosť nakreslenia zelenej je rovnaká. To znamená, že pravdepodobnosť nevykreslenia zelenej je rovnaká.

Zapamätajte si tento trik: Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, je mínus pravdepodobnosť, že udalosť nastane.

Nezávislé udalosti a pravidlo násobenia

Dvakrát hodíte mincou a chcete, aby padla v oboch prípadoch. Aká je pravdepodobnosť tohto?

Poďme prejsť všetkými možnými možnosťami a určiť, koľko ich je:

Eagle-Eagle, Tails-Eagle, Eagle-Tails, Tails-Tails. Čo ešte?

Celý variant. Z nich nám vyhovuje len jeden: Eagle-Eagle. Pravdepodobnosť je teda rovnaká.

Dobre. Teraz si hodíme mincou. Spočítajte si. Stalo? (odpoveď).

Možno ste si všimli, že s pridaním každého ďalšieho hodu sa pravdepodobnosť znižuje o faktor. Všeobecné pravidlo je tzv pravidlo násobenia:

Pravdepodobnosť nezávislých udalostí sa mení.

Čo sú nezávislé udalosti? Všetko je logické: toto sú tie, ktoré na sebe nezávisia. Napríklad, keď hodíme mincou niekoľkokrát, zakaždým sa uskutoční nový hod, ktorého výsledok nezávisí od všetkých predchádzajúcich hodov. S rovnakým úspechom môžeme hodiť dve rôzne mince súčasne.

Ďalšie príklady:

1. Kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že sa to objaví v oboch prípadoch?
2. Mincou sa hádže krát. Aká je pravdepodobnosť, že dostaneš najprv hlavy a potom dvakrát chvosty?
3. Hráč hodí dvoma kockami. Aká je pravdepodobnosť, že súčet čísel na nich bude rovnaký?

Odpovede:

1. Udalosti sú nezávislé, čo znamená, že pravidlo násobenia funguje: .
2. Pravdepodobnosť orla je rovnaká. Pravdepodobnosť chvostov tiež. Vynásobíme:
3. 12 možno získať len vtedy, ak vypadnú dve -ki: .

Nekompatibilné udalosti a pravidlo sčítania

Nekompatibilné udalosti sú udalosti, ktoré sa s plnou pravdepodobnosťou navzájom dopĺňajú. Ako už názov napovedá, nemôžu sa stať súčasne. Napríklad, ak si hodíme mincou, môžu vypadnúť buď hlavy alebo chvosty.

Príklad.

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, jednoduché, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej?

Riešenie .

Pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky je rovnaká. Červená -.

Priaznivé udalosti všetkých: zelená + červená. Pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej je teda rovnaká.

Rovnaká pravdepodobnosť môže byť vyjadrená v nasledujúcom tvare: .

Toto je pravidlo pridávania: pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí sa sčítavajú.

Zmiešané úlohy

Príklad.

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že výsledok hodov bude iný?

Riešenie .

To znamená, že ak sa hlavy zdvihnú ako prvé, chvosty by mali byť druhé a naopak. Ukazuje sa, že tu existujú dva páry nezávislých udalostí a tieto páry sú navzájom nekompatibilné. Ako sa nenechať zmiasť, kde množiť a kde pridávať.

Pre takéto situácie platí jednoduché pravidlo. Pokúste sa opísať, čo by sa malo stať, spojením udalostí s odbormi „AND“ alebo „ALEBO“. Napríklad v tomto prípade:

Must roll (hlavy a chvosty) alebo (chvosty a hlavy).

Kde je spojenie „a“, dôjde k násobeniu a kde „alebo“ je sčítanie:

Vyskúšajte sami:

1. Aká je pravdepodobnosť, že pri dvoch hodoch mincou bude v oboch prípadoch tá istá strana?
2. Kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že súčet klesne o body?

Riešenia:

1. (hlavy hore a hlavy hore) alebo (chvosty hore a chvosty hore): .
2. Aké sú možnosti? a. potom:
   Valcované (a) alebo (a) alebo (a): .

Ďalší príklad:

Raz si hodíme mincou. Aká je pravdepodobnosť, že sa aspoň raz zdvihnú hlavy?

Riešenie:

Ach, ako sa mi nechce triediť možnosti ... Hlava-chvosty-chvosty, Orlie-hlavy-chvosty, ... Ale nemusíte! Hovorme o plnej pravdepodobnosti. Spomenul si? Aká je pravdepodobnosť, že orol nikdy neklesne? Je to jednoduché: chvosty lietajú neustále, to znamená.

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. STRUČNE O HLAVNOM

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí.

Nezávislé udalosti

Dve udalosti sú nezávislé, ak výskyt jednej nemení pravdepodobnosť výskytu druhej.

Úplná pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť všetkých možných udalostí je ().

Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, je mínus pravdepodobnosť, že udalosť nastane.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností každej z udalostí

Nekompatibilné udalosti

Nekompatibilné udalosti sú také udalosti, ktoré sa v dôsledku experimentu nemôžu vyskytnúť súčasne. Množstvo nekompatibilných udalostí tvorí ucelenú skupinu udalostí.

Pravdepodobnosť nekompatibilných udalostí sa sčítava.

Po opísaní toho, čo by sa malo stať, pomocou zväzkov "AND" alebo "ALEBO", namiesto "AND" dáme znamienko násobenia a namiesto "OR" - sčítanie.

OSTATNÉ 2/3 ČLÁNKOV SÚ K DISPOZÍCII LEN PRE MLADŠÍCH ŠTUDENTOV!

Staňte sa študentom YouClever,

Pripravte sa na OGE alebo USE v matematike za cenu „šálky kávy za mesiac“,

A tiež získate neobmedzený prístup k učebnici „YouClever“, školiacemu programu „100gia“ (kniha riešení), neobmedzené skúšobné USE a OGE, 6000 úloh s analýzou riešení a ďalšie služby YouClever a 100gia.

Učenie o zákonoch, na ktoré sa vzťahuje tzv. náhodné udalosti. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910 ... Slovník cudzích slov ruského jazyka

teória pravdepodobnosti-- [L.G. Sumenko. Anglický ruský slovník informačných technológií. M.: GP TsNIIS, 2003.] Témy informačných technológií vo všeobecnosti EN teória pravdepodobnosti teória pravdepodobnosti výpočet pravdepodobnosti ... Technická príručka prekladateľa

Teória pravdepodobnosti- existuje časť matematiky, ktorá študuje vzťahy medzi pravdepodobnosťami (pozri Pravdepodobnosť a štatistika) rôznych udalostí. Uvádzame najdôležitejšie vety súvisiace s touto vedou. Pravdepodobnosť výskytu jednej z niekoľkých nekompatibilných udalostí sa rovná ... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI- matematický veda, ktorá umožňuje podľa pravdepodobnosti niektorých náhodných udalostí (pozri) nájsť pravdepodobnosti náhodných udalostí spojených s k. l. spôsobom s prvým. Moderný televízor na základe axiomatiky (pozri Axiomatická metóda) A. N. Kolmogorova. Na…… Ruská sociologická encyklopédia

Teória pravdepodobnosti- odvetvie matematiky, v ktorom sa podľa daných pravdepodobností niektorých náhodných udalostí zisťujú pravdepodobnosti iných udalostí, súvisiacich nejakým spôsobom s prvou. Teória pravdepodobnosti tiež študuje náhodné premenné a náhodné procesy. Jedna z hlavných…… Pojmy moderných prírodných vied. Slovník základných pojmov

teória pravdepodobnosti- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teória pravdepodobnosti vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teória pravdepodobnosti, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Teória pravdepodobnosti- ... Wikipedia

Teória pravdepodobnosti- matematická disciplína, ktorá študuje vzorce náhodných javov ... Začiatky moderných prírodných vied

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI- (teória pravdepodobnosti) pozri Pravdepodobnosť ... Veľký výkladový sociologický slovník

Teória pravdepodobnosti a jej aplikácie- („Teória pravdepodobnosti a jej aplikácie“), vedecký časopis Katedry matematiky Akadémie vied ZSSR. Publikuje pôvodné články a krátke oznámenia o teórii pravdepodobnosti, všeobecných otázkach matematickej štatistiky a ich aplikáciách v prírodných vedách a ... ... Veľká sovietska encyklopédia

knihy

• Teória pravdepodobnosti. , Venttsel E.S. Kniha je učebnica určená pre ľudí, ktorí poznajú matematiku v rozsahu bežného stredoškolského kurzu a zaujímajú sa o technické aplikácie teórie pravdepodobnosti v ... Kúpiť za 2056 UAH (iba Ukrajina)
• Teória pravdepodobnosti. , Wentzel E.S. Kniha je učebnicou určenou pre ľudí znalých matematiky v rozsahu bežného stredoškolského kurzu a zaujímajúcich sa o technické aplikácie teórie pravdepodobnosti v ...

"Náhodnosť nie je náhodná"... Znie to, ako povedal filozof, ale v skutočnosti je štúdium nehôd osudom veľkej vedy matematiky. V matematike je náhoda teóriou pravdepodobnosti. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj hlavné definície tejto vedy.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uveďme malý príklad: ak hodíte mincu, môže vám padať hlava alebo chvost. Pokiaľ je minca vo vzduchu, obe tieto možnosti sú možné. To znamená, že pravdepodobnosť možných následkov koreluje 1:1. Ak je jedna vytiahnutá z balíčka s 36 kartami, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Napriek tomu, ak opakujete určitú činnosť mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na jeho základe predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme zhrnuli všetko vyššie uvedené, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v numerickom zmysle.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát objavili pokusy predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bolo to odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvé práce v tejto oblasti ako matematickej disciplíne sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlho študovali hazardné hry a videli určité vzorce, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Rovnakú techniku ​​vynašiel Christian Huygens, aj keď nepoznal výsledky výskumu Pascala a Fermata. Zaviedol pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sú považované za prvé v histórii disciplíny.

Nemenej dôležité sú diela Jacoba Bernoulliho, Laplaceove a Poissonove teorémy. Z teórie pravdepodobnosti urobili skôr matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali dnešnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómam. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jedným z matematických odvetví.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Vývoj

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „event“. Udalosti sú troch typov:

• Spoľahlivý. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
• nemožné. Udalosti, ktoré sa v žiadnom scenári nestanú (minca zostane visieť vo vzduchu).
• Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jej tvar, počiatočná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými latinskými písmenami, s výnimkou R, ktoré má inú úlohu. Napríklad:

• A = "študenti prišli na prednášku."
• Ā = „študenti neprišli na prednášku“.

V praktických úlohách sa udalosti zvyčajne zaznamenávajú slovom.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnaká možnosť. To znamená, že ak si hodíte mincou, sú možné všetky varianty počiatočného pádu, kým nepadne. Ale udalosti tiež nie sú rovnako pravdepodobné. Stáva sa to vtedy, keď niekto zámerne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, pri ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti sú tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti nevylučujú vzájomný výskyt. Napríklad:

• A = "študent prišiel na prednášku."
• B = "študent prišiel na prednášku."

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a vzhľad jednej z nich neovplyvňuje vzhľad druhej. Nezlučiteľné udalosti sú definované skutočnosťou, že výskyt jedného vylučuje výskyt druhého. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata „chvostov“ znemožňuje výskyt „hláv“ v tom istom experimente.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné násobiť a pridávať, v disciplíne sú zavedené logické spojky „AND“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A, alebo B, alebo obe môžu nastať súčasne. V prípade, že sú nekompatibilné, posledná možnosť nie je možná, buď A alebo B vypadne.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžete uviesť niekoľko príkladov, aby ste si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov nižšie.

Cvičenie 1: Firma sa uchádza o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

• A = "firma dostane prvú zmluvu."
• A 1 = "firma nedostane prvú zmluvu."
• B = "firma dostane druhú zmluvu."
• B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
• C = "firma dostane tretiu zmluvu."
• C 1 = "firma nedostane tretiu zmluvu."

Pokúsme sa vyjadriť nasledujúce situácie pomocou akcií na udalostiach:

• K = "firma dostane všetky zmluvy."

V matematickej forme bude rovnica vyzerať takto: K = ABC.

• M = "firma nedostane ani jednu zákazku."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Úlohu komplikujeme: H = "firma dostane jednu zákazku." Keďže nie je známe, akú zákazku firma dostane (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné zaznamenať celý rozsah možných udalostí:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je séria udalostí, kde firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Iné možné udalosti sa tiež zaznamenávajú zodpovedajúcou metódou. Symbol υ v disciplíne označuje zväzok „ALEBO“. Ak vyššie uvedený príklad preložíme do ľudskej reči, tak firma dostane buď tretiu zákazku, alebo druhú, alebo prvú. Podobne môžete napísať ďalšie podmienky v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vyššie uvedené vzorce a príklady riešenia problémov vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno, že v tejto matematickej disciplíne je pravdepodobnosť udalosti ústredným pojmom. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

• klasický;
• štatistické;
• geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobností. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. ročník) väčšinou používajú klasickú definíciu, ktorá znie takto:

• Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P (A) \u003d m / n.

A vlastne aj udalosť. Ak sa vyskytne opak A, možno ho zapísať ako Ā alebo A 1 .

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A \u003d „vytiahnite kartu srdcovej farby“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho bude pravdepodobnosť, že sa z balíčka vytiahne karta v tvare srdca, 0,25.

do vyššej matematiky

Teraz je už trochu známe, čo je to teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia úloh, s ktorými sa stretávame v školských osnovách. Teóriu pravdepodobnosti však nájdeme aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a zložitými vzorcami.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Vzorce a príklady (vyššia matematika) je lepšie začať učiť od malého - od štatistickej (alebo frekvenčnej) definície pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým prístupom, ale mierne ho rozširuje. Ak bolo v prvom prípade potrebné určiť, s akou mierou pravdepodobnosti nastane udalosť, potom je potrebné pri tejto metóde uviesť, ako často sa bude vyskytovať. Tu sa zavádza nový pojem „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť ako W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na prognózovanie počíta klasický vzorec, potom sa podľa výsledkov experimentu vypočítava štatistický. Vezmite si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistiť frekvenčnú pravdepodobnosť kvalitného produktu?

A = "vzhľad kvalitného produktu."

Wn(A)=97/100=0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 kontrolovaných produktov sa 3 ukázali ako nekvalitné. Odpočítame 3 od 100, dostaneme 97, to je množstvo kvalitného produktu.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jeho základným princípom je, že ak určitá voľba A môže byť uskutočnená m rôznymi spôsobmi a voľba B n rôznymi spôsobmi, potom voľba A a B môže byť uskutočnená násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 trasy. Koľko spôsobov sa dá dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4 = 20, to znamená, že existuje dvadsať rôznych spôsobov, ako sa dostať z bodu A do bodu C.

Urobme si úlohu ťažšou. Koľko spôsobov je možné hrať karty v solitaire? V balíčku 36 kariet je to východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte „odčítať“ jednu kartu od počiatočného bodu a vynásobiť ju.

To znamená, že 36x35x34x33x32…x2x1= výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho možno jednoducho označiť ako 36!. Podpíšte "!" vedľa čísla znamená, že celý rad čísel je medzi sebou vynásobený.

V kombinatorike existujú také pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná sada prvkov sady sa nazýva rozloženie. Umiestnenia sa môžu opakovať, čo znamená, že jeden prvok možno použiť viackrát. A to bez opakovania, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa podieľajú na umiestnení. Vzorec pre umiestnenie bez opakovaní bude vyzerať takto:

A n m = n!/(n-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to vyzerá takto: P n = n!

Kombinácie n prvkov podľa m sú také zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, ktoré prvky to boli a aký je ich celkový počet. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoulliho vzorec

V teórii pravdepodobnosti, ako aj v každej disciplíne, existujú práce vynikajúcich výskumníkov vo svojom odbore, ktorí ju posunuli na novú úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že výskyt A v experimente nezávisí od objavenia sa alebo nevyskytnutia sa rovnakej udalosti v predchádzajúcich alebo nasledujúcich testoch.

Bernoulliho rovnica:

Pn(m) = Cnm xpm xqn-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) sa pri každom pokuse nemení. Pravdepodobnosť, že situácia nastane presne m-krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vzorca, ktorý je uvedený vyššie. V súlade s tým vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p toľkokrát, nemusí nastať. Jednotka je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že udalosť nenastane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov (prvá úroveň) budú uvedené nižšie.

Úloha 2: Návštevník predajne uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vošlo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník nakúpi?

Riešenie: Keďže nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetci šiesti, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = "návštevník uskutoční nákup."

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (pretože v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa zmení z 0 (žiadny zákazník nenakúpi) na 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a p. Vzhľadom na p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! /m!(n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C=1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa pokúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet nepravdepodobných náhodných situácií.

Základný vzorec:

Pn(m)=Am/m! x e (-λ).

V tomto prípade λ = n x p. Tu je taký jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov budú uvedené nižšie.

Úloha 3 Odpoveď: Továreň vyrobila 100 000 dielov. Vzhľad chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov tohto druhu sa nelíšia od iných úloh disciplíny, potrebné údaje dosadíme do vyššie uvedeného vzorca:

A = "náhodne vybraný diel bude chybný."

p = 0,0001 (podľa podmienky priradenia).

n = 100 000 (počet častí).

m = 5 (chybné časti). Nahradíme údaje vo vzorci a dostaneme:

R 100 000 (5) = 10 5 / 5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, ktoré sú napísané vyššie, má Poissonova rovnica neznáme e. V podstate ju možno nájsť podľa vzorca:

e-λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

De Moivre-Laplaceova veta

Ak je počet pokusov v Bernoulliho schéme dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A vo všetkých schémach rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A môže byť určitý počet opakovaní v sérii pokusov. nájdené podľa Laplaceovho vzorca:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ (X m).

Xm = m-np/√npq.

Pre lepšie zapamätanie si Laplaceovho vzorca (teória pravdepodobnosti), príklady úloh, ktoré vám pomôžu nižšie.

Najprv nájdeme X m , dosadíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a dostaneme 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ (0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje vo vzorci:

P 800 (267) \u003d 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Pravdepodobnosť, že letáčik zasiahne presne 267-krát, je teda 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia úloh, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ňou mohli byť spojené. Hlavný vzorec je nasledujúci:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P(A|B) - podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

Р (В|А) - podmienená pravdepodobnosť udalosti В.

Takže záverečnou časťou krátkeho kurzu "Teória pravdepodobnosti" je Bayesov vzorec, príklady riešenia problémov sú uvedené nižšie.

Úloha 5: Do skladu boli privezené telefóny od troch firiem. Zároveň je časť telefónov, ktoré sa vyrábajú v prvom závode, 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvom závode je 2%, v druhom - 4% a v treťom - 1%. Je potrebné nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A = "náhodne prevzatý telefón."

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objavia úvodné B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P (B 1) \u003d 25 % / 100 % \u003d 0,25; P (B2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - takže sme našli pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti požadovanej udalosti, to znamená pravdepodobnosť chybných produktov vo firmách:

P (A / B 1) \u003d 2 % / 100 % \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Teraz dosadíme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po tom všetkom, čo bolo napísané, bude logické položiť si otázku, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. Pre jednoduchého človeka je ťažké odpovedať, je lepšie sa opýtať niekoho, kto s jej pomocou strelil jackpot viac ako raz.