Obrázok štvorstena v lietadle. Objem tetrahedronu

|
štvorsten, vzorec štvorstena
Tetrahedron(Starogrécky τετρά -εδρον - štvorsten, zo starovekej gréčtiny. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες - „štvorka“ + stará gréčtina. ἕδρα - „sedadlo, základňa“) je najjednoduchší mnohosten, ktorého tváre sú štyri trojuholníky. Štvorsten má 4 tváre, 4 vrcholy a 6 hrán. Tetrahedron, v ktorom sú všetky tváre rovnostrannými trojuholníkmi, sa nazýva pravidelný. Pravidelný štvorsten je jedným z piatich pravidelných mnohostenov.

• 1 Vlastnosti štvorstena
• 2 Druhy tetrahedra
• 3 Objem štvorstena
• 4 štvorsteny v mikrosvete
• 5 štvorstenov v prírode
• 6 štvorstenov v technike
• 7 Poznámky
• 8 Pozri tiež

Vlastnosti štvorstena

• Rovnobežné roviny prechádzajúce pármi krížiacich sa hrán štvorstena definujú rovnobežnosten popísaný okolo štvorstena.
• Rovina prechádzajúca stredmi dvoch pretínajúcich sa okrajov štvorstena ju rozdeľuje na dve časti rovnakého objemu .: 216-217

Druhy štvorstenov

Okrem pravidelného štvorstena sa rozlišujú nasledujúce špeciálne druhy štvorstena.

• Rovnostranný štvorsten so všetkými tvárami rovnakými trojuholníkmi.
• Ortocentrický štvorsten, v ktorom sa všetky výšky klesajúce z vrcholov na protiľahlé tváre pretínajú v jednom bode.
• Obdĺžnikový štvorsten, v ktorom sú všetky hrany susediace s jedným z vrcholov navzájom kolmé.
• Kostrový štvorsten je štvorsten, ktorý spĺňa niektorú z nasledujúcich podmienok:
  • všetkých hrán sa dotýka guľa,
  • súčty dĺžok prechodových hrán sú rovnaké,
  • súčty dihedrálnych uhlov na protiľahlých hranách sú rovnaké,
  • kruhy vpísané do tvárí sa dotýkajú v pároch,
  • sú popísané všetky štvoruholníky získané pri vývoji štvorstena
  • kolmice zdvihnuté k tváram zo stredov kruhov, ktoré sú do nich vpísané, sa pretínajú v jednom bode.
• Úmerný štvorsten s rovnakými výškami.
• Incentrický štvorsten, v ktorom sa segmenty spájajúce vrcholy štvorstena so stredmi kruhov vpísaných do protiľahlých plôch pretínajú v jednom bode.

Objem tetrahedronu

Objem štvorstena (s prihliadnutím na znamienko), ktorého vrcholy sú umiestnené v bodoch, sa rovná:

Alebo kde je plocha akejkoľvek tváre a aká je výška spustená na túto tvár.

Prostredníctvom dĺžok hrán je objem štvorstena vyjadrený pomocou Cayley-Mengerovho determinantu:

Tetrahedróny v mikrosvete

• Pravidelný štvorsten sa vytvára počas sp3 hybridizácie atómových orbitálov (ich osi sú nasmerované na vrcholy pravidelného štvorstena a jadro centrálneho atómu sa nachádza v strede opísanej sféry pravidelného štvorstena), preto je mnoho molekúl v ktorom prebieha takáto hybridizácia centrálneho atómu, má tvar tohto mnohostena
• Molekula metánu CH4
• Amónny ión NH4 +
• Sulfátový ión SO42-, fosfátový ión PO43-, chloristanový ión ClO4- a mnoho ďalších iónov
• Diamant C je štvorsten s hranou rovnou 2,5220 angströmov
• Fluorit CaF2, štvorsten s hranou rovnou 3 8626 angströmov
• Sfalerit, ZnS, štvorsten s hranou rovnou 3,823 angströmov
• Komplexné ióny-, 2-, 2-, 2+
• Silikáty, ktorých štruktúra je založená na silikón-kyslíkovom štvorstene 4-

Tetrahedróny v prírode

Niektoré druhy ovocia, ktoré sú štyri na jednej strane, sa nachádzajú na vrcholoch štvorstena, ktorý je blízko správnemu. Tento dizajn je spôsobený skutočnosťou, že stredy štyroch rovnakých guličiek, ktoré sa navzájom dotýkajú, sú na vrcholoch pravidelného štvorstena. Plody podobné guličkám preto tvoria podobné vzájomné usporiadanie. Týmto spôsobom je možné napríklad polohovať vlašské orechy.

Tetrahedróny v technológii

• Štvorsten tvorí pevnú, staticky definovateľnú štruktúru. Tetrahedron vyrobený z tyčí sa často používa ako základ pre priestorové nosné konštrukcie rozpätí budov, podláh, nosníkov, väzníkov, mostov atď. Tyče zažívajú iba pozdĺžne zaťaženie.
• Obdĺžnikový štvorsten sa používa v optike. Ak sú tváre s pravým uhlom pokryté reflexnou zlúčeninou alebo je celý štvorsten vyrobený z materiálu so silným lomom svetla, takže dochádza k účinku celkového vnútorného odrazu, potom svetlo smeruje k tvári opačnej k vrcholu s pravými uhlami sa odrazí rovnakým smerom, z ktorého pochádza ... Táto vlastnosť sa používa na vytváranie rohových reflektorov, reflektorov.
• Kvartérny spúšťací graf je štvorsten.

Poznámky

1. Staroveký grécko-ruský slovník Dvoretského „τετρά-εδρον“
2. Selivanov D.F.,. Geometrické telo // Encyklopedický slovník Brockhaus a Efron: 86 zväzkov (82 zväzkov a 4 ďalšie zväzky). - SPb., 1890-1907.
3. Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektorová algebra v príkladoch a problémoch. - M.: Vysoká škola, 1985.- 232 s.
4. V. E. MATIZEN Jednotná a rámová štvorstena „Kvant“ č. 7, 1983
5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Trigger

pozri tiež

• Simplex - n -rozmerný štvorsten

tetrahedron, tetraedron, tetrahedron, tetraedron side view, tetraeded side side, tetrahedron side view, tetrahedron hezh yu ve, tetrahedron hezh yu ve, tetrahedron hezh yu ve, tetrahedron, dүrs, tetrahedron paper tetrahedron, tetrahedron images, tetrahedron images, definícia tetraédra, definícia tetraédra, definícia tetraédra, tetraedrónové vzorce, tetraedrónové vzorce, štvorstenové vzorce, štvorstenový vzor, ​​štvorstenová kresba, štvorstenová kresba, štvorsten

Informácie o tetrahedroni

Sekcie: Matematika

Plán prípravy a priebehu hodiny:

I. Prípravná fáza:

1. Opakovanie známych vlastností trojuholníkovej pyramídy.
2. Vytváranie hypotéz o možných, nie skôr uvažovaných vlastnostiach štvorstenu.
3. Vytvorenie skupín na uskutočnenie výskumu týchto hypotéz.
4. Rozdelenie úloh pre každú skupinu (s prihliadnutím na túžbu).
5. Rozdelenie zodpovednosti za úlohu.

II. Hlavná etapa:

1. Riešenie hypotézy.
2. Konzultácia s učiteľom.
3. Registrácia práce.

III. Konečná fáza:

1. Prezentácia a obhajoba hypotézy.

Ciele lekcie:

• zovšeobecniť a systematizovať znalosti a zručnosti študentov; naštudujte si ďalší teoretický materiál na zadanú tému; naučiť sa uplatňovať znalosti pri riešení neštandardných problémov, vidieť v nich jednoduché súčasti;
• formovať zručnosti študentov pracujúcich s ďalšou literatúrou, zlepšiť schopnosť analyzovať, zovšeobecňovať, nájsť to hlavné, čo čítate, dokázať nové veci; rozvíjať komunikačné schopnosti študentov;
• podporovať grafickú kultúru.

Prípravná fáza (1 lekcia):

1. Správa pre študentov „Tajomstvo veľkých pyramíd“.
2. Úvodná reč učiteľa o rozmanitosti typov pyramíd.
3. Diskusia k otázkam:

• Aké sú kritériá pre kombináciu nepravidelných trojuholníkových pyramíd
• Čo rozumieme ortocentrom trojuholníka a čo možno nazvať ortocentrom štvorstenu
• Má obdĺžnikový štvorsten ortocentrum?
• Ktorý štvorsten sa nazýva izohedrálny Aké vlastnosti môže mať?

1. V dôsledku zváženia rôznych tetraédrov, diskusie o ich vlastnostiach sa objasňujú koncepty a objavuje sa určitá štruktúra:

1. Zvážte vlastnosti pravidelného štvorstena. (Príloha)

Vlastnosti 1-4 sa dokazujú ústne pomocou Slide1.

Vlastnosť 1: Všetky hrany sú rovnaké.

Vlastnosť 2: Všetky rovinné uhly sú 60 °.

Vlastnosť 3: Súčty rovinných uhlov v akýchkoľvek troch vrcholoch štvorstena sú 180 °.

Vlastnosť 4: Ak je tetrahedron pravidelný, potom ktorýkoľvek z jeho vrcholov je premietaný do ortocentra opačnej tváre.

Vzhľadom na:

ABCD je pravidelný štvorsten

AH - výška

Dokážte:

H - ortocentrum

Dôkaz:

1) bod H sa môže zhodovať s ktorýmkoľvek z bodov A, B, C. Nechajte H? B, H? C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Uvažujte o ABH, BCH, ADH

AD - celkom => ABH, BCH, ADH => BH = CH = DH

AB = AC = AD т.H - je ortocentrum ABC

Q.E.D.

1. V lekcii 1 sú vlastnosti 5-9 formulované ako hypotézy, ktoré vyžadujú dôkaz.

Každá skupina dostane svoju domácu úlohu:

Dokážte jednu z vlastností.

Pripravte si zdôvodnenie s prezentáciou.

II. Hlavná fáza (do týždňa):

1. Riešenie hypotézy.
2. Konzultácia s učiteľom.
3. Registrácia práce.

III. Záverečná fáza (1-2 lekcie):

Prezentácia a obhajoba hypotézy pomocou prezentácií.

Pri príprave materiálu na záverečnú hodinu študenti dospejú k záveru o zvláštnosti bodu priesečníka výšok, súhlasíme s tým, že ho budeme nazývať „úžasným“ bodom.

Vlastnosť 5: Stredy vymedzených a vpísaných sfér sa zhodujú.

Vzhľadom na:

DABC - pravidelný štvorsten

О 1 - stred opísanej gule

О - stred zapísanej gule

N - bod dotyku zapísanej gule s tvárou ABC

Dokážte: О 1 = О

Dôkaz:

Nech OA = OB = OD = OC sú polomery kruhu

Vynechajme ОN + (ABC)

AON = CON - obdĺžnikový, pozdĺž nohy a prepony => AN = CN

Vynechať OM + (BCD)

COM DOM - obdĺžnikový, pozdĺž nohy a prepony => CM = DM

Od položky 1 CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON, OM sú polomery vpísanej kružnice.

Veta je dokázaná.

U pravidelného štvorstena je možnosť jeho relatívnej polohy s guľou - dotýkanie sa určitej gule všetkými jej okrajmi. Táto sféra sa niekedy označuje ako „čiastočne zapísaná“.

Vlastnosť 6: Segmenty čiar spájajúce stredy protiľahlých hrán a kolmé na tieto hrany sú polomermi napísanej gule.

Vzhľadom na:

ABCD je pravidelný štvorsten;

AL = BL, AK = CK, AS = DS,

BP = CP, BM = DM, CN = DN.

Dokážte:

LO = OK = OS = OM = ON = OP

Dôkaz.

Tetrahedron ABCD - správne => AO = BO = CO = DO

Uvažujme trojuholníky AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO = BO =>? AOB - rovnoramenné =>
OL - medián, výška, úsečka
AO = CO =>? AOC– rovnoramenné =>
ОK - medián, výška, úsečka
CO = DO =>? CHSK - rovnoramenné =>
ZAPNUTÝ - medián, výška, osa AOB => AOC = COD =
BO = DO =>? BOD– rovnoramenné => BOD = BOC = AOD
OM - medián, výška, úsečka
AO = DO =>? AOD– rovnoramenné =>
OS - medián, výška, bisektor
BO = CO =>? BOC– rovnoramenné =>
OP - medián, výška, úsečka
AO = BO = CO = DO
AB = AC = AD = BC = BD = CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - výšky rovné polomerom OL, OK, ON, OM, OS, OP

rovnoramenné trojuholníky gule

Dôsledok:

Polovicu zapísanú guľu je možné nakresliť pravidelným štvorstenom.

Nehnuteľnosť 7: ak je štvorsten pravidelný, potom sú každé dva protiľahlé okraje štvorstena navzájom kolmé.

Vzhľadom na:

DABC - pravidelný štvorsten;

H - ortocentrum

Dokážte:

Dôkaz:

DABC - pravidelný štvorsten = =? ADB - rovnostranný

(ADB) (EDC) = ED

ED - výška ADB => ED + AB,

AB + CE, => AB + (EDC) => AB + CD.

Kolmosť ostatných hrán sa dokazuje podobne.

Vlastnosť 8: Šesť rovín symetrie sa pretína v jednom bode. V bode O sa pretínajú štyri rovné čiary vedené stredmi ohraničených okolo plôch kruhov kolmých na roviny tvárí a bod O je stred ohraničenej gule.

Vzhľadom na:

ABCD je pravidelný štvorsten

Dokážte:

O - stred opísanej gule;

V bode O sa pretína 6 rovín symetrie;

Dôkaz.

CG + BD, pretože BCD - rovnostranný => GO + BD (podľa vety o troch kolmiciach GO + BD)

BG = GD, pretože AG - medián ABD

ABD (ABD) =>? TELO - rovnoramenné => BO = ROBIŤ

ED + AB, pretože ABD - jednostranné => OE + AD (podľa troch kolmých viet)

BE = AE, pretože DE je medián? ABD

ABD (ABD) =>? AOB - rovnoramenné => BO = AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (podľa vety o troch

BF + AC, pretože ABC - rovnostranné kolmice)

AF = FC, pretože BF - medián? ABC

ABC (ABC) => AOC - rovnoramenné => AO = CO

(AOC)? (ABC) = AC

BO = AO => AO = BO = CO = DO - polomery gule,

AO = CO ohraničený okolo štvorstena ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR) (ABR) (BCT) (ACG) (ADH) (CED) (BDF)

Preto:

Bod O je stredom opísanej gule,

V bode O sa pretína 6 rovín symetrie.

Nehnuteľnosť 9: Tupý uhol medzi kolmicami prechádzajúcimi vrcholmi štvorstena k ortocentrám je 109 ° 28 "

Vzhľadom na:

ABCD je pravidelný štvorsten;

O je stred opísanej gule;

Dokážte:

Dôkaz:

1) AS - výška

ASB = 90 o OSB obdĺžnikový

2) (vlastnosťou pravidelného štvorstena)

3) AO = BO - polomery ohraničenej gule

4) 70 ° 32 "

6) AO = BO = CO = DO =>? AOD =? AOC =? AOD =? COD =? BOD =? BOC

Záver.

(Učiteľ a študenti zhrnú lekciu. Jeden zo študentov hovorí krátkou správou o štvorstenách ako štruktúrnej jednotke chemických prvkov.)

Študujú sa vlastnosti pravidelného štvorstena a jeho „úžasný“ bod.

Zistilo sa, že tvar iba takého štvorstena, ktorý má všetky vyššie uvedené vlastnosti, ako aj „ideálneho“ bodu, môže mať molekuly silikátov a uhľovodíkov. Alternatívne môžu byť molekuly zložené z niekoľkých pravidelných tetraédrov. V súčasnej dobe je štvorsten známy nielen ako predstaviteľ starovekej civilizácie, matematiky, ale aj ako základ štruktúry látok.

Silikáty sú látky podobné soli, ktoré obsahujú zlúčeniny kremíka a kyslíka. Ich názov pochádza z latinského slova „sylex“ - „flint“. Základom molekúl kremičitanu sú atómové radikály vo forme tetraédrov.

Silikáty sú piesok, íl, tehla, sklo, cement, smalt, mastenec, azbest, smaragd a topaz.

Silikáty tvoria viac ako 75% zemskej kôry (a spolu s kremeňom asi 87%) a viac ako 95% vyvrelých hornín.

Dôležitou vlastnosťou silikátov je schopnosť vzájomnej kombinácie (polymerizácie) dvoch alebo viacerých tetraédrov kremíka a kyslíka prostredníctvom spoločného atómu kyslíka.

Nasýtené uhľovodíky majú rovnakú formu molekúl, ale na rozdiel od kremičitanov pozostávajú z uhlíka a vodíka. Všeobecný vzorec molekúl

Medzi uhľovodíky patrí zemný plyn.

Je potrebné vziať do úvahy vlastnosti obdĺžnikových a izohedrálnych tetraedrov.

Literatúra.

• Potapov V.M., Tatarinchik S.N. „Organická chémia“, Moskva 1976
• V. P. Babarin „Tajomstvo veľkých pyramíd“, Petrohrad, 2000.
• Sharygin I. F. „Problémy v geometrii“, Moskva, 1984.
• Veľký encyklopedický slovník.
• „Školská príručka“, Moskva, 2001.

Tetrahedron v preklade z gréčtiny znamená „štvorsten“. Tento geometrický tvar má štyri tváre, štyri vrcholy a šesť hrán. Tváre sú trojuholníky. V skutočnosti je štvorsten prvou zmienkou o mnohostenách, ktoré sa objavili dávno pred existenciou Platóna.

Dnes budeme hovoriť o prvkoch a vlastnostiach štvorstena a tiež sa naučíme vzorce na nájdenie plochy, objemu a ďalších parametrov týchto prvkov.

Prvky štvorstena

Segment uvoľnený z akéhokoľvek vrcholu štvorstena a spadnutý do priesečníka stredov opačnej tváre sa nazýva stred.

Výška mnohouholníka je normálna priamka z opačného vrcholu.

Bimedian je segment spájajúci stredy krížiacich sa rebier.

Vlastnosti štvorstena

1) Rovnobežné roviny, ktoré prechádzajú dvoma pretínajúcimi sa hranami, tvoria opísaný rovnobežnosten.

2) Charakteristickou črtou štvorstena je to, že sa mediány a bimediány figúry stretávajú v jednom bode. Je dôležité, aby tento rozdelil mediány v pomere 3: 1 a bimediány na polovicu.

3) Rovina rozdeľuje štvorsten na dve časti rovnakého objemu, ak prechádza stredom dvoch pretínajúcich sa hrán.

Druhy štvorstena

Druhová rozmanitosť postavy je dostatočne široká. Tetrahedron môže byť:

• správne, to znamená rovnostranný trojuholník na základni;
• ekvidistantné, v ktorom sú všetky tváre rovnako dlhé;
• ortocentrické, keď výšky majú spoločný priesečník;
• obdĺžnikové, ak sú ploché uhly vo vrchole normálne;
• proporcionálne, všetky výšky bi sú rovnaké;
• drôtový model, ak existuje guľa, ktorá sa dotýka okrajov;
• incentrické, to znamená, že segmenty spadnuté z vrcholu do stredu vpísaného kruhu opačnej tváre majú spoločný priesečník; tento bod sa nazýva ťažisko štvorstena.

Pozrime sa podrobne na pravidelný štvorsten, ktorého vlastnosti sa prakticky nelíšia.

Na základe názvu môžete pochopiť, že sa tomu tak hovorí, pretože tváre sú pravidelné trojuholníky. Všetky hrany tohto obrázku sú zhodné v dĺžke a okraje sú zhodné v tejto oblasti. Pravidelný štvorsten je jedným z piatich podobných mnohostenov.

Tetrahedronové vzorce

Výška štvorstena je rovná súčinu koreňa 2/3 a dĺžky okraja.

Objem štvorstena je rovnaký ako objem pyramídy: druhá odmocnina z 2 delená 12 a vynásobená dĺžkou okraja v kocke.

Ostatné vzorce na výpočet plochy a polomerov kruhov sú uvedené vyššie.

Všetky jeho tváre sú rovnaké trojuholníky. Rozvinutý izohedrálny štvorsten je trojuholník rozdelený tromi stredovými čiarami na štyri rovnaké trojuholníky. V rovnostrannom štvorstene ležia základy výšok, stredy výšok a priesečníky výšok tvárí na povrchu jednej gule (guľa s 12 bodmi) (analógia Eulerovho kruhu pre trojuholník) .

Vlastnosti izohedrálneho štvorstena:

• Všetky jeho tváre sú si rovné (zhodné).
• Prekrížené hrany sú v pároch rovnaké.
• Trojuholníkové uhly sú rovnaké.
• Opačné dihedrálne uhly sú rovnaké.
• Dva rovinné rohy spočívajúce na jednom okraji sú rovnaké.
• Súčet plochých uhlov v každom vrchole je 180 °.
• Rozložte štvorsten - trojuholník alebo rovnobežník.
• Popisovaný rovnobežnosten je obdĺžnikový.
• Tetrahedron má tri osi symetrie.
• Bežné kolmice krížiacich sa rebier sú kolmé na pár.
• Stredné čiary sú v pároch kolmé.
• Obvody tvárí sú rovnaké.
• Oblasti tvárí sú rovnaké.
• Výšky štvorstena sú rovnaké.
• Segmenty čiar spájajúce vrcholy s ťažiskami protiľahlých plôch sú rovnaké.
• Polomery kruhov popísaných okolo okrajov sú rovnaké.
• Ťažisko štvorstena sa zhoduje so stredom opísanej gule.
• Ťažisko sa zhoduje so stredom zapísanej gule.
• Stred opísanej gule sa zhoduje so stredom zapísanej gule.
• Vpísaná guľa sa dotýka tvárí v stredoch kruhov ohraničených okolo týchto tvárí.
• Súčet normálov vonkajšej jednotky (jednotkových vektorov kolmých na plochy) je nula.
• Súčet všetkých dihedrálnych uhlov je nula.

Ortocentrický štvorsten

Všetky výšky spadnuté z vrcholov na protiľahlé tváre sa pretínajú v jednom bode.

Ortocentrické vlastnosti štvorstena:

• Výšky tetraédra sa pretínajú v jednom bode.
• Základom výšok štvorstena sú ortocentrá tváre.
• Každé dva protiľahlé okraje štvorstena sú kolmé.
• Súčty štvorcov protiľahlých hrán štvorstena sú rovnaké.
• Segmenty spájajúce stredy opačných okrajov štvorstena sú rovnaké.
• Produkty kosínusov opačných dihedrálnych uhlov sú rovnaké.
• Súčet druhých mocnín oblastí plôch je štyrikrát menší ako súčet druhých mocnín súčinov protiľahlých hrán.
• Mať ortocentrický štvorsten kruh 9 bodov (Eulerov kruh) každej tváre patrí do jednej sféry (guľa s 24 bodmi).
• Mať ortocentrický štvorstenťažiská a priesečníky výšok tvárí, ako aj body rozdeľujúce segmenty každej výšky štvorstena od vrcholu k priesečníku výšok v pomere 2: 1, ležia na rovnaká sféra (sféra 12 bodov).

Obdĺžnikový štvorsten

Všetky hrany susediace s jedným z vrcholov sú navzájom kolmé. Obdĺžnikový štvorsten sa získa odrezaním štvorstena v rovine z obdĺžnikového rovnobežnostenu.

Kostrový štvorsten

Je to štvorsten, ktorý spĺňa niektorú z nasledujúcich podmienok:

• všetkých hrán sa dotýka guľa,
• súčty dĺžok prechodových hrán sú rovnaké,
• súčty dihedrálnych uhlov na protiľahlých hranách sú rovnaké,
• kruhy vpísané do tvárí sa dotýkajú v pároch,
• sú popísané všetky štvoruholníky získané pri rozkladaní štvorstena
• kolmice zdvihnuté k tváram zo stredov kruhov, ktoré sú do nich vpísané, sa pretínajú v jednom bode.

Úmerný štvorsten

Vlastnosti primeraného štvorstena:

• Výšky sú rovnaké. Dvojmože štvorstenu sú spoločné kolmice na dva pretínajúce sa hrany štvorstena (hrany, ktoré nemajú spoločné vrcholy).
• Projekcia štvorstena na rovinu kolmú na akúkoľvek bimediáni, je tu kosoštvorec. Bimediáništvorsten sa nazýva segmenty spájajúce stredy jeho krížených hrán (ktoré nemajú spoločné vrcholy).
• Tváre opísaného rovnobežnostenu sú rovnako veľké.
• Nasledujúce pomery sú splnené: $4a\; ^\; 2\; (a\_1)\; ^\; 2-\; (b\; ^\; 2\; +\; (b\_1)\; ^\; 2-c\; ^\; 2-\; (c\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; =\; 4b\; ^\; 2\; (b\_1)\; ^\; 2-\; (c\; ^\; 2\; +\; (c\_1)\; ^\; 2-a\; ^\; 2-\; (a\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; =\; 4c\; ^\; 2\; (c\_1)\; ^\; 2-\; (a\; ^\; 2\; +\; (a\_1)\; ^\; 2-b\; ^\; 2-\; (b\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2$, kde $a$ a $a\_1$, $b$ a $b\_1$, $c$ a $c\_1$- dĺžka protiľahlých rebier.
• Pre každý pár protiľahlých okrajov štvorstena sú roviny nakreslené jedným z nich a stredom druhého kolmé.
• Do opísaného rovnobežnostena zodpovedajúceho štvorstena je možné vpísať guľu.

Incentrický štvorsten

V tomto type sa segmenty spájajúce vrcholy štvorstena so stredmi kruhov vpísaných do protiľahlých plôch pretínajú v jednom bode. Incentrické vlastnosti štvorstena:

• Segmenty spájajúce ťažiská plôch štvorstena s protiľahlými vrcholmi (mediány štvorstena) sa vždy pretínajú v jednom bode. Tento bod je ťažiskom štvorstena.
• Komentovať... Ak v poslednom stave nahradíme ťažiská tvárí ortocentrami tvárí, zmení sa to na novú definíciu ortocentrický štvorsten... Ak ich nahradíme stredmi kruhov vpísanými do tvárí, niekedy sa im hovorí incentery, dostaneme definíciu novej triedy tetraédrov - incentrický.
• Segmenty spájajúce vrcholy štvorstena so stredmi kruhov vpísaných do protiľahlých plôch sa v jednom bode pretínajú.
• Bisektory rohov dvoch tvárí, ťahané k spoločnému okraju týchto tvárí, majú spoločnú základňu.
• Súčasti dĺžok protiľahlých hrán sú rovnaké.
• Trojuholník tvorený druhými bodmi priesečníka troch hrán vyčnievajúcich z jedného vrcholu s ktoroukoľvek guľou prechádzajúcou tromi koncami týchto hrán je rovnostranný.

Pravidelný štvorsten

Je to izohedrálny štvorsten, všetky jeho tváre sú pravidelnými trojuholníkmi. Je to jedno z piatich Platónových tiel.

Vlastnosti pravidelného štvorstena:

• všetky hrany štvorstena sú navzájom rovnaké,
• všetky tváre štvorstena sú si navzájom podobné,
• obvody a plochy všetkých tvárí sú si navzájom podobné.
• Pravidelný štvorsten je súčasne ortocentrické, rámové, ekvidistantné, incentrické a proporcionálne.
• Tetrahedron je správny, ak patrí k akýmkoľvek dvom z nasledujúcich typov tetraedrov: ortocentrické, rámové, incentrické, proporcionálne, rovnaké.
• Ak je to tak, štvorsten je správny rovnocenný a patrí k jednému z nasledujúcich typov tetraédrov: ortocentrické, rámové, incentrické, proporcionálne.
• Osemsten je možné zapísať do pravidelného štvorstena, navyše štyri (z ôsmich) plôch osemstena budú zarovnané so štyrmi plochami štvorstena, všetkých šesť vrcholov osemstena bude zarovnaných so stredmi šiestich okrajov štvorsten.
• Pravidelný štvorsten pozostáva z jedného vpísaného osemstena (v strede) a štyroch štvorstenov (pozdĺž vrcholov) a okraje týchto štvorstena a osemstena sú polovičné ako okraje pravidelného štvorstena.
• Pravidelný štvorsten je možné zapísať do kocky dvoma spôsobmi, navyše štyri vrcholy štvorstena budú zarovnané so štyrmi vrcholmi kocky.
• Do icosahedronu je možné zapísať pravidelný štvorsten, navyše štyri vrcholy štvorstena budú zarovnané so štyrmi vrcholmi icosahedronu.
• Prekrížené okraje pravidelného štvorstena sú navzájom kolmé.

Objem tetrahedronu

• Objem štvorstena (s prihliadnutím na znamienko), ktorého vrcholy sú umiestnené v bodoch $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_1\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_2\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_3\; (x\_3,\; y\_3,\; z\_3),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_4\; (x\_4,\; y\_4,\; z\_4),$ rovná sa

\ begin (vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \ end (vmatrix) = \ frac16 \ begin ( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \ end (vmatrix), alebo

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (3)\; \backslash \; S\; H,$

kde $S$ Je oblasť akejkoľvek tváre a $H$ Je výška znížená na tento okraj.

• Objem tetrahedronu z hľadiska dĺžok hrán je vyjadrený pomocou Cayley-Mengerovho determinantu:

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_ (12) ^ 2 & d_ (13) ^ 2 & d_ (14) ^ 2 \\ 1 & d_ (12) ^ 2 & 0 & d_ ( 23) ^ 2 & d_ (24) ^ 2 \\ 1 & d_ (13) ^ 2 & d_ (23) ^ 2 & 0 & d_ (34) ^ 2 \\ 1 & d_ (14) ^ 2 & d_ ( 24) ^ 2 a d_ (34) ^ 2 & 0

\ end (vmatrix).

• Tento vzorec má plochý analóg pre oblasť trojuholníka vo forme variantu Heronovho vzorca prostredníctvom podobného determinantu.
• Objem štvorstenu v dĺžkach dvoch protiľahlých hrán a a b ako križovanie vzdialených čiar h od seba a zvierajú navzájom uhol $\backslash \; phi$, sa nachádza podľa vzorca:

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (6)\; ab\; h\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi.$

kde $$D\; =\; \backslash \; begin\; (matica\; matice)$$

1 & \ cos \ gamma & \ cos \ beta \\ \ cos \ gamma & 1 & \ cos \ alpha \\ \ cos \ beta & \ cos \ alpha & 1 \ end (vmatrix).

• Analógom roviny posledného vzorca je vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska dĺžok jeho dvoch strán a a b vychádzajúce z jedného vrcholu a zvierajúce navzájom uhol $\backslash \; gama$:

kde $D\; =\; \backslash \; begin\; (matica\; matice)$

1 & \ cos \ gamma \\ \ cos \ gamma & 1 \\ \ end (matica).

Tetrahedróny v mikrosvete

• Pravidelný štvorsten sa vytvára počas sp 3 -hybridizácie atómových orbitálov (ich osi sú nasmerované na vrcholy pravidelného štvorstena a jadro centrálneho atómu sa nachádza v strede opísanej sféry pravidelného štvorstena), preto mnoho molekúl, v ktorých prebieha takáto hybridizácia centrálneho atómu, má tvar tohto mnohostena
• Molekula metánu CH 4
• Sulfátový ión SO 4 2-, fosfátový ión PO 4 3-, chloristanový ión ClO 4-a mnoho ďalších iónov
• Diamant C je štvorsten s hranou rovnou 2,5220 angströmov
• Fluorit CaF 2, štvorsten s hranou rovnou 3, 8626 angströmov
• Sfalerit, ZnS, štvorsten s hranou rovnou 3,823 angströmov
• Komplexné ióny-, 2-, 2-, 2+
• Silikáty, ktorých štruktúra je založená na silikón-kyslíkovom štvorstene 4-

Tetrahedróny v prírode

Niektoré druhy ovocia, ktoré sú štyri na jednej strane, sa nachádzajú na vrcholoch štvorstena, ktorý je blízko správnemu. Tento dizajn je spôsobený skutočnosťou, že stredy štyroch rovnakých guličiek, ktoré sa navzájom dotýkajú, sú na vrcholoch pravidelného štvorstena. Plody podobné guličkám preto tvoria podobné vzájomné usporiadanie. Týmto spôsobom je možné napríklad polohovať vlašské orechy.

Tetrahedróny v technológii

pozri tiež

• Simplex - n -rozmerný štvorsten

Napíšte recenziu na článok „Tetrahedron“

Poznámky

Literatúra

• Matizen V.E., Dubrovský. Z geometrie štvorstena „Kvant“, č. 9, 1988, S. 66.
• Zaslavsky A.A. // Matematické vzdelávanie, ser. 3 (2004), č. 8, s. 78-92.

Úryvok z tetraédra

NS
8. septembra vošiel do stodoly k väzňom veľmi dôležitý dôstojník, súdiac podľa úcty, s akou sa k nemu dozorcovia správali. Tento dôstojník, pravdepodobne štábny dôstojník, so zoznamom v rukách, zavolal na všetkých Rusov a volal Pierra: celui qui n "avoue pas son nom [ten, kto nehovorí jeho meno]. A ľahostajne a lenivo sa pozeral na všetkých väzňom nariadil, aby ich strážnik dôstojník poriadne obliekol a vyčistil, než ich dovedie k maršalovi. O hodinu neskôr prišla skupina vojakov a Pierre a ďalších trinásť osôb boli vedení k Dievčenskému poľu. Deň bol jasný, slnečný po daždi a vzduch bol neobvykle čistý. v ten deň, keď bol Pierre vyvezený zo strážnice Zubovského šachty; v čistom vzduchu stúpal dym v stĺpoch. Požiar ohňa nebol nikde vidieť, ale dymové stĺpce stúpali zo všetkých strán a z celej Moskvy, všetko, čo Pierre videl, bol jeden požiar. zo všetkých strán bolo vidieť pustatiny s kachľami a komínmi a občas spálené múry kamenných domov. Pierre sa pozorne pozeral na ohne a nepoznal známe štvrte mesta. tvár. Blízko sa veselo leskla kupola kláštora New Devichy a zvony sa odtiaľ ozývali obzvlášť hlasno. Táto správa pripomenula Pierrovi, že je nedeľa a sviatok Narodenia Panny Márie. Zdá sa však, že tento sviatok nemá kto oslavovať: všade bola skaza požiaru a od ruského ľudu sa len príležitostne nachádzali otrhaní a vystrašení ľudia, ktorí sa schovávali pred zrakom Francúzov.
Ruské hniezdo bolo očividne spustošené a zničené; ale za zničením tohto ruského poriadku života Pierre nevedome cítil, že nad týmto zničeným hniezdom bol vytvorený jeho vlastný, úplne iný, ale pevný francúzsky poriadok. Cítil to z pohľadu na tie, veselo a veselo, v pravidelných radoch pochodujúcich vojakov, ktorí ho odprevádzali s inými zločincami; vycítil to z pohľadu na nejakého významného francúzskeho úradníka v parnom voze, ktorý šoféroval vojak, ktorý išiel oproti nemu. Cítil to veselými zvukmi plukovnej hudby vychádzajúcej z ľavej strany poľa, a najmä to cítil a porozumel tomu zo zoznamu, ktorý si prečítal francúzsky dôstojník, ktorý prišiel dnes ráno a zavolal väzňov, dnes ráno. . Pierra odviedli niektorí vojaci, odviedli ich na jedno miesto, na ďalšie s ďalšími desiatkami ľudí; zdalo sa, že na neho môžu zabudnúť, zmiešať ho s ostatnými. Ale nie: jeho odpovede poskytnuté počas výsluchu sa mu vrátili v podobe jeho mena: celui qui n "avoue pas son nom. A pod týmto menom, ktorého sa Pierre bál, bol teraz niekam vedený, s nepochybnou dôverou napísaný na tvárach, že všetci ostatní väzni a on boli tí, ktorí boli potrební, a že ich odviezli na správne miesto. “Pierre sa cítil ako bezvýznamný čip zachytený v kolesách jemu neznámeho stroja, ale správne fungujúceho .
Pierra a ďalších zločincov zaviedli na pravú stranu Dievčenského poľa, neďaleko kláštora, do veľkého bieleho domu s obrovskou záhradou. Bol to dom kniežaťa Shcherbatova, v ktorom Pierre často navštevoval majiteľa a v ktorom teraz, ako sa dozvedel z rozhovoru vojakov, bol maršál, vojvoda z Eckmühla.
Odviezli ich na verandu a jeden po druhom ich viedli do domu. Pierra priviedli na šieste miesto. Cez sklenenú galériu, vstupnú chodbu, známu pre Pierra, ho viedli do dlhej nízkej kancelárie, pri dverách ktorej stál pobočník.
Davout sedel na konci miestnosti nad stolom s okuliarmi na nose. Pierre sa k nemu priblížil. Davout, bez toho, aby zdvihol oči, sa zrejme vyrovnal s nejakým papierom, ktorý ležal pred ním. Bez toho, aby zdvihol oči, sa potichu spýtal:
- Čo to znamená? [Kto si?]
Pierre mlčal, pretože nedokázal dostať von slová. Pierre Davout nebol len francúzskym generálom; pretože Pierre Davout bol muž známy svojou krutosťou. Pri pohľade na chladnú tvár Davouta, ktorý ako prísny učiteľ súhlasil, že bude mať chvíľu trpezlivosť a čakať na odpoveď, Pierre cítil, že každá sekunda zdržania ho môže stáť život; ale nevedel, čo povedať. Neodvážil sa povedať, čo povedal pri prvom výsluchu; odhaliť jeho hodnosť a postavenie bolo nebezpečné aj zahanbené. Pierre mlčal. Kým sa však Pierre stihol o čomkoľvek rozhodnúť, Davout zdvihol hlavu, zdvihol okuliare na čelo, prižmúril oči a sústredene sa zahľadel na Pierra.
"Poznám tohto muža," povedal odmeraným chladným hlasom, očividne vypočítaný tak, aby vystrašil Pierra. Chlad, ktorý predtým pretekal Pierrovi po chrbte, mu chytil hlavu ako vo zveráku.
- Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu ... [Nemohli ste ma poznať, generál, nikdy som vás nevidel.]
- „Est un espion russe, [This is a Russian spy,]“ prerušil ho Davout a oslovil iného generála, ktorý bol v miestnosti a Pierre si to nevšimol. A Davout sa odvrátil. S nečakaným tlesknutím v hlase Pierre zrazu hovoril rýchlo.
"Nie, monseigneur," povedal a zrazu si spomenul, že Davout je vojvoda. - Non, Monseigneur, vous n "avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n" ai pas quitte Moscou. [Nie, Vaša Výsosť ... Nie, Vaša Výsosť, nemohli ste ma poznať. Som policajt a neopustil som Moskvu.]
- Votre nom? [Vaše meno?] Zopakoval Davout.
- Besouhof. [Bezukhov.]
- Qu "est ce qui me proudvera que vous ne mentez pas? [Kto mi dokáže, že neklamete?]
- Monseigneur! [Vaša výsosť!] - zakričal Pierre úpenlivo, neurazene.
Davout zdvihol oči a uprene sa zadíval na Pierra. Niekoľko sekúnd na seba pozerali a tento pohľad Pierra zachránil. V tomto pohľade, okrem všetkých podmienok vojny a súdu, boli medzi týmito dvoma ľuďmi nadviazané medziľudské vzťahy. Obaja v tej jednej minúte nejasne pocítili nespočetné množstvo vecí a uvedomili si, že obaja sú deťmi ľudstva, že sú bratia.
Na prvý pohľad bol Davre pre Davouta, ktorý zo svojho zoznamu, kde sa ľudským záležitostiam a životu hovorilo číslami, iba hlavou, iba okolnosťou; a nebyť zlého skutku na svedomí, Davout by ho zastrelil; ale teraz v ňom videl muža. Chvíľu premýšľal.
- Komentujte ma prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Ako mi dokážete pravdivosť svojich slov?] - povedal Davout chladne.
Pierre si spomenul na Rambala a pomenoval jeho pluk, priezvisko a ulicu, na ktorej bol dom.
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [You are not what you say.] - Davout povedal znova.
Chvejúci sa zlomený hlas Pierre začal dokazovať platnosť svojho svedectva.
Ale v tom čase vošiel pobočník a oznámil niečo Davoutovi.
Davout sa zrazu žiaril nad správami, ktoré priniesol pobočník, a začal sa zapínať. Na Pierra zrejme úplne zabudol.
Keď mu pobočník pripomenul väzňa, zamračene prikývol na Pierra a povedal mu, aby ho viedli. Kam ho však mali odviezť - Pierre nevedel: späť do stánku alebo na pripravené miesto popravy, ktoré mu, keď prešli Dievčenským poľom, ukázali jeho druhovia.
Otočil hlavu a videl, že sa pobočník opäť na niečo pýta.
- Oui, sans doute! [Áno, samozrejme!] - povedal Davout, ale že „áno“, Pierre nevedel.
Pierre si nepamätal, ako, ako dlho chodil a kam. V stave úplnej hlúposti a tuposti, pretože nič okolo seba nevidel, pohyboval nohami spolu s ostatnými, kým sa všetci nezastavili a on prestal. Jedna myšlienka na celý tento čas bola v Pierrovej hlave. Bola to myšlienka na to, kto ho nakoniec odsúdil na smrť. Neboli to ľudia, ktorí ho vypočúvali v komisii: ani jeden z nich nechcel a očividne to nedokázal. Nebol to Davout, kto sa na neho pozeral tak ľudsky. Ešte minúta a Davout by si uvedomil, že robia zle, ale túto minútu prerušil pomocník, ktorý vošiel. A tento pobočník očividne nechcel nič zlé, ale nemohol vstúpiť. Kto nakoniec popravil, zabil, vzal mu život - Pierre so všetkými spomienkami, ašpiráciami, nádejami, myšlienkami? Kto to urobil? A Pierre cítil, že to nebol nikto.
Bol to poriadok, súbor okolností.
Nejaký poriadok ho zabil - Pierre, pripravil ho o život, o všetko, zničil ho.

Z domu kniežaťa Shcherbatova odviedli väzňov rovno dole na Devichye pól, naľavo od kláštora Devichy a viedli do záhrady, na ktorej stál stĺp. Za stĺpom s čerstvo vykopanou zeminou bola vykopaná veľká jama a veľký dav ľudí stál v polkruhu v blízkosti jamy a stĺpu. Dav tvoril malý počet Rusov a veľký počet napoleonských vojsk, ktorí boli mimo radu: Nemci, Taliani a Francúzi v odlišných uniformách. Napravo a naľavo od stĺpika boli fronty francúzskych vojsk v modrých uniformách s červenými náramenníkmi, v čižmách a shakos.
Zločinci boli zaradení do známeho poradia, ktoré bolo na zozname (Pierre bol šiesty), a postavení na miesto. Z oboch strán zrazu udrelo niekoľko bubnov a Pierre cítil, že týmto zvukom mu bola odtrhnutá časť duše. Stratil schopnosť myslieť a uvažovať. Mohol len vidieť a počuť. A mal len jednu túžbu - túžbu, aby sa stalo niečo hrozné, čo bolo potrebné urobiť čo najskôr. Pierre sa pozrel späť na svojich kamarátov a preskúmal ich.
Dvaja ľudia na okraji boli oholení a opatrní. Jeden je vysoký, tenký; druhý je čierny, chlpatý, svalnatý, so splošteným nosom. Tretím bol dvor, asi štyridsaťpäťročný, so šedivejúcimi vlasmi a plným, dobre živeným telom. Štvrtý bol muž, veľmi pekný, s hustou blond bradou a čiernymi očami. Piaty bol robotník v továrni, žltý, tenký, asi osemnásťročný, v župane.
Pierre počul, že Francúzi sa radia, ako strieľať - jeden alebo dvaja naraz? „Po dvoch,“ odpovedal chladne a pokojne vyšší dôstojník. V radoch vojakov nastal pohyb a bolo zrejmé, že sa všetci ponáhľajú - a neponáhľali sa, nie tak rýchlo, ako sa ponáhľajú urobiť niečo zrozumiteľné pre všetkých, ale rovnako uponáhľaní ako oni. ponáhľajte sa splniť potrebnú, ale nepríjemnú a nepochopiteľnú úlohu.
Francúzsky úradník v šatke prešiel po pravej strane radu zločincov a prečítal si vetu v ruštine a francúzštine.
Potom dva páry Francúzov pristúpili k zločincom a vzali na pokyn dôstojníka dvoch strážcov stojacich na okraji. Stráže, blížiace sa k stĺpiku, zastavili a kým boli vrecia privezené, mlčky sa rozhliadli okolo seba, pretože vyrazené zviera hľadelo na vhodného lovca. Jeden sa stále skrížil, druhý sa škriabal po chrbte a perami robil pohyb ako úsmev. Vojaci, ponáhľajúc sa rukami, im začali zaviazať oči, obliekli si vrece a priviazali ich o stĺp.
Dvanásť mužov pušiek s puškami vystúpilo spoza radov a zastavilo osem krokov od stĺpika. Pierre sa otočil, aby nevidel, čo sa stane. Zrazu sa ozvalo buchnutie a buchnutie, ktoré sa Pierrovi zdalo hlasnejšie ako tie najstrašnejšie rachoty hromu a rozhliadol sa. Bol dym a Francúzi s bledými tvárami a trasúcimi sa rukami robili niečo blízko jamy. Ďalší dvaja boli vedení. Rovnako tak, rovnakými očami, sa títo dvaja na každého darmo pozerali, márne, rovnakými očami, potichu, žiadajúc o ochranu a očividne nechápu a neveria, čo sa stane. Nemohli uveriť, pretože len oni vedeli, aký je ich život, a preto nechápali a neverili, aby to bolo možné vziať.
Pierre sa chcel nepozerať a znova sa odvrátil; ale opäť, ako keby mu do uší zasiahla strašná explózia, a spolu s týmito zvukmi videl dym, niekoho krv a bledé vystrašené tváre Francúzov, ktorí opäť robili niečo na stĺpiku a striasajúc sa navzájom chvejúc sa rukami. Silne dýchajúci Pierre sa rozhliadol okolo seba, akoby sa pýtal: Čo je to? Tá istá otázka bola vo všetkých pohľadoch, ktoré sa stretli s Pierrovým.