Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте. Исследование электрической цепи с последовательным соединением RLC элементов

2.1.1. Включить ЭВМ и запустить предложенную преподавателем программу.

2.1.2. Смоделировать на наборном поле программы электрическую цепь. Параметры элементов установить по указанию преподавателя.

Примечание. - сопротивление не идеальной катушки индуктивности.

2.1.3. Запустить программу на выполнение в режиме расчёта динамических (установившихся) процессов в цепях переменного тока.

2.1.4. Снять и записать в протокол значение тока, потенциалы всех неявных узлов цепи, мощностей, вырабатываемых и рассеиваемых на всех элементах цепи.

2.2. Исследование электрической цепи с параллельным соединением RLC элементов

2.2.1. Смоделировать на наборном поле программы электрическую цепь.

2.2.2. Запустить программу на выполнение в режиме расчёта динамических (установившихся) процессов в цепях переменного тока.

2.2.3. Снять и записать в протокол значения токов, протекающих по всем элементам цепи и мощностей, рассеиваемых на всех элементах цепи.

2.3. Исследование смешанного соединения R, L, C элементов

2.3.1. Смоделировать электрическую цепь.

2.3.2. Запустить программу на выполнение в режиме расчёта динамических (установившихся) процессов в цепях переменного тока.

2.3.3. Снять и записать в протокол значения токов, протекающих по всем элементам цепи, напряжений на всех узлах цепи и мощностей, вырабатываемых и рассеиваемых на всех элементах цепи.

2.3.4. Повторить испытания по п. 2.3.3 для второй схемы.

Обработка данных

3.1. По данным пп. 2.1.3, 2.2.3 и 2.3.3 построить топографические диаграммы напряжений, векторные диаграммы токов. Выделить активную и реактивную составляющие напряжения на индуктивности.

3.2. Показать справедливость применения законов Ома и Кирхгофа для расчёта цепей переменного тока.

3.3. Построить треугольники токов, напряжений и мощностей для последовательного и параллельного соединений.

3.4. Сделать выводы по работе.

Вопросы для самопроверки

1. Дать определение последовательного, параллельного и смешанного соединений цепи.

2. Дать определение основных характеристик переменного тока.

3. Записать математическую модель R, L, C – элементов в цепях переменного тока.

4. Дать определение векторной и топографической векторной диаграмм.

5. Как рассчитывается баланс мощностей в цепях переменного тока.

6. Что такое треугольники токов, напряжений и мощностей, как и для чего они строятся.

Лабораторная работа 3

Исследование индуктивно связанных цепей

Цель работы:

виртуально: исследование цепей с согласным и встречным соединением индуктивностей, исследование передачи мощности в индуктивно связанных цепях;

аналитически: построение векторных и топографических диаграмм, анализ исследуемых цепей.

Основы теории

При изучении теории обратить внимание на следующее.

Переменный синусоидальный ток может быть описан гармонической функцией или вектором, вращающимся на комплексной плоскости .

Для всех линейных элементов цепи (в том числе для элементов со взаимной индуктивностью) справедлив закон Ома в комплексной форма записи: , , , . Множители при токе называются, соответственно, активным, индуктивным и ёмкостным сопротивлениями, записанными в комплексном виде. В общем виде комплексное сопротивление записывается единой буквой Z : , , , . В цепях с последовательным соединением элементов сопротивления складываются в комплексном виде. Величины, обратные комплексным сопротивлениям, называются соответствующими комплексными проводимостями. В цепях с параллельным соединениям элементов складываются проводимости.

Для цепей переменного тока справедливы законы Кирхгофа в комплексной форме записи , . Сущностное отличие законов Кирхгофа для цепей постоянного тока от законов Кирхгофа для цепей постоянного тока заключается в том, что для цепей постоянного тока справедливо арифметическое сложение величин, а для цепей переменного тока – геометрическое (векторное) сложение величин.

Два участка электрической цепи называются индуктивно – связанными, если имеют общее магнитное поле. То есть каждый из участков цепи находится в магнитном поле, созданном током, протекающим по другому участку. В теории электрических цепей параметром, характеризующим способность элемента создавать магнитное поле, является индуктивность указанного элемента L . Соответственно, параметром взаимной связи элементов является взаимная индуктивность M , определяемая через коэффициент связи двух индуктивных элементов k: .

Мгновенное значение мощности в цепях синусоидального тока рассчитывают аналогично расчёту мгновенного значения мощности в цепях постоянного тока .

В комплексном виде скалярная мощность определяется по формуле , где - сопряжённое значение тока, Р – активная мощность, Q – реактивная мощность.

Для наглядного изображения полученных величин тока и напряжения используют векторные и топографические векторные диаграммы на комплексной плоскости. Векторная диаграмма строится из начала координат и показывает только величину и фазу исследуемой величины. Топографическая векторная диаграмма это векторная диаграмма цепи, построенная с учётом топологии цепи. Каждому узлу цепи соответствует своя точка на топографической векторной диаграмме.

Виртуальные исследования

Рассмотрим параллельное соединение разнородных элементов
R, L, C.

Рис.2.20. Схема параллельного соединения элементов R, L, C

Пусть на вход цепи подано напряжение u = U m sin(wt+j u), тогда по первому закону Кирхгофа:

Комплексное изображение входного напряжения:

Для определения комплекса общего тока найдем его составляющие:

тогда комплекс общего тока:

. 54(2.44)

Построим векторную диаграмму для параллельного соединения (рис.2.21).

Пусть φ u < 0, φ u - φ I = j > 0, j - опережающий, характер нагрузки активно-индуктивный.

Выражение в круглых скобках (2.44) имеет размерность 1/Ом или См (симменс) и носит название комплексной проводимости цепи:

где y – модуль комплексной проводимости, а j – угол сдвига фаз между током и напряжением.

Рис.2.21. Векторная диаграмма для параллельного соединения разнородных элементов

Комплексная амплитуда общего тока:

Её модуль:

Мгновенное значение общего тока:

i = I m sin(wt + φ u – j).

Проводимости

Под комплексной проводимостью любой цепи понимается величина обратная ее полному комплексному сопротивлению:

где g – активная проводимость данной цепи;

b – результирующая реактивная проводимость.

где b L и b C – индуктивная и емкостная проводимости соответственно.

Понятие проводимости приобретает особый смысл в том случае, если ветвь содержит активные и реактивные элементы. На ветви, изображенной на рис.2.22, определим ее активную и реактивную проводимости:

Рис.2.22. Участок цепи с активно-индуктивным сопротивлением

Из векторной диаграммы (рис.2.21) можно выделить треугольник токов:

Рис.2.23. Векторный треугольник токов

Разделив стороны векторного треугольника токов на вектор напряжения, получим скалярный треугольник проводимостей.

Рис.2.24. Скалярный треугольник проводимостей

Резонанс токов

Резонансный режим, возникающий при параллельном соединении R, L, C, называется резонансом токов. В отличие от рассмотренного ранее режима резонанса напряжений, данный режим не столь однозначен.

Рис.2.25. Цепь с параллельным соединением
разнородных приемников

В цепи (рис.2.25) режим резонанса токов возникает при условии равенства нулю результирующей реактивной проводимости этой цепи:

b = b 1 + b 2 = 0. 60(2.50)

Реактивные проводимости ветвей:

Подставим выражения b 1 и b 2 в (2.50):

и после преобразования получим резонансную частоту :

Структура полученного уравнения показывает, что существует четыре варианта частоты :

1. Если R 1 = R 2 ¹ r, то = w 0

2. Если R 1 = R 2 = r, то = w 0 – с физической точки зрения это означает, что входное сопротивление данного контура равно ее волновому, которое не зависит от частоты, значит, резонанс будет иметь место при любой частоте. Для доказательства этого положения определим входное сопротивление цепи:

3. Если под корнем получилось отрицательное число, значит, резонансной частоты не существует для данных параметров R 1 , R 2 , r, L, C.

4. Если под корнем положительное число, то получаем - единственную резонансную частоту.

Лабораторная работа № 1
RLC элементы 1. Введение Лабораторная работа посвящена изучению пассивных элементов радиоэлектроники и схем их включения. В методическом пособии приводятся основные параметры и стандартные схемы включения пассивных элементов, таких как резистор (R), конденсатор (C), катушка индуктивности (L) и трансформатор. В задачу студента входит изучение основных параметров пассивных элементов и схем их включения. Оборудование. Осциллограф, RLC-метр, генератор сигналов. 2. Резистор Резистор – пассивный элемент электрической цепи, в идеале характеризуемый только сопротивлением электрическому току, т. е. для идеального резистора в любой момент времени должен выполняться закон Ома, а именно, мгновенное значение напряжение на резисторе пропорционально току проходящего через него: . (1.1) В действительности же резисторы в той или иной степени обладают также паразитной емкостью, паразитной индуктивностью и нелинейностью вольтамперной характеристики. Обозначение резисторов на схемах. В России условные графи-
ческие обозначения резисторов на схемах должны соответствовать ГОСТ 2.728 - 74. В приложении в табл. 1.1 приведены примеры обозначений резисторов различной мощности. Рис. 1.1. Обозначения принятые: а) в России и Европе; б) в США На рис. 1.1 показаны различия в обозначениях принятых в России и Европе от обозначений принятых в США. Рис. 1.2. Последовательное соединение резисторов Цепи, состоящие из резисторов. При последовательном соединении резисторов (рис. 1.2) их сопротивления складываются. . (1.2) Рис. 1.3. Параллельное соединение При параллельном соединении резисторов (рис. 1.3) складываются величины, обратно пропорциональные сопротивлению, т. е. . (1.3) Зависимость сопротивления от температуры. Сопротивление металлических и проволочных резисторов немного зависит от температуры. При этом зависимость от температуры практически линейная . (1.4) Коэффициент a называют температурным коэффициентом сопротивления (ТКС). Типовое значение для МЛТ a = ± 1,2× 10- 5. Такая зависимость сопротивления от температуры позволяет использовать резисторы в качестве датчиков температуры. Шум резисторов. Даже идеальный резистор при температуре выше абсолютного нуля является источником шума. При частоте, существенно меньшей чем (где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура резистора, h – постоянная Планка (для комнатной температуры Гц)) спектр теплового шума равномерный («белый шум»), спектральная плотность шума . Видно, что чем больше сопротивление, тем больше эффективное напряжение шума, которое пропорционально квадратному корню из температуры. 3. Конденсатор Рис. 1.4. Основа конструкции конденсатора Конденсатор – устройство, предназначенное для получения необходимого значения емкости в цепях различных электронных устройств. Конденсатор является пассивным элементом электрической цепи. Обычно состоит из двух электродов в форме пластин называемых «обкладками» (рис. 1.4), разделенных диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок. Обозначения конденсаторов на схеме. В России условные графические обозначения конденсаторов на схемах должны соответствовать ГОСТ 2.728 - 74 либо международному стандарту IEEE 315 - 1975. В приложении в табл. 1.2 приведены примеры обозначений конденсаторов. На электрических принципиальных схемах номинальная емкость конденсаторов обычно указывается в микрофарадах (1 мкФ = 106 пФ) и пикофарадах, но нередко и в нанофарадах. При емкости не более 0,01 мкФ, емкость конденсатора указывают в пикофарадах, при этом допустимо не указывать единицу измерения, т. е. постфикс «пФ» опускают. Для электролитических конденсаторов, а так же для высоковольтных конденсаторов на схемах, после обозначения номинала емкости, указывают их максимальное рабочее напряжение в вольтах (В) или киловольтах (кВ), например, так: «10 мкФ 10 В». Для переменных конденсаторов указывают диапазон изменения емкости, например, так: «10 - 180». Свойства и характеристики конденсатора. Конденсатор в цепи постоянного тока не проводит ток, так как его обкладки разделены диэлектриком. В цепи же переменного тока он проводит колебания переменного тока посредством циклической перезарядки конденсатора. Реактивное сопротивление конденсатора: . (1.5) Из формулы (1.5) видно, что зависимость реактивного сопротивления конденсатора обратно пропорциональна частоте, т. е. при ω = 0 реактивное сопротивление конденсатора равно бесконечности. Конденсатор может накапливать электрическую энергию. Энергия заряженного конденсатора , (1.6) где U – напряжение, до которого заряжен конденсатор. Емкость С является основной характеристикой конденсатора. Так, по определению емкости, заряд на обкладке пропорционален напряжению между обкладками: . (1.7) Типичные значения емкости конденсаторов составляют от единиц пикофарад до сотен микрофарад. Однако существуют конденсаторы с емкостью до десятков фарад. Емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин, выражается формулой (1.8) в системе СИ , (1.8)
где S – площадь пластин, d – расстояние между пластинами, – диэлектрическая проницаемость диэлектрика расположенного между пластинами, – диэлектрическая постоянная равная 8,85 × 10–12 Ф·м–1 (эта формула справедлива, когда d много меньше линейных размеров пластин). Рис. 1.5. Параллельное соединение конденсаторов Для получения больших емкостей конденсаторы соединяют параллельно (рис. 1.5). При этом напряжение между обкладками всех конденсаторов одинаково. При параллельном соединении емкостей полная емкость равна сумме всех емкостей: . (1.9) Рис. 1.6. Последовательное соединение конденсаторов При последовательном соединении конденсаторов (рис. 1.6) заряды всех конденсаторов одинаковы. Общая емкость батареи при последовательном соединении конденсаторов равна: . (1.10) Эта емкость всегда меньше минимальной емкости конденсатора, входящего в батарею. Однако при последовательном соединении уменьшается возможность пробоя конденсаторов, так как на каждый конденсатор приходится лишь часть разницы потенциалов источника напряжения. Номинальное напряжение. Другой важной характеристикой конденсатора является номинальное напряжение – это напряжение, при котором он может работать с сохранением параметров в допустимых пределах. Номинальное напряжение, обычно, указывается на корпусе конденсатора и зависит от конструкции конденсатора и свойств применяемых материалов. При эксплуатации напряжение на конденсаторе не должно превышать номинального. Полярность. Многие конденсаторы с оксидным диэлектриком (электролитические) работают только при корректной полярности напряжения из-за химических особенностей взаимодействия электролита с диэлектриком. При обратной полярности напряжения электролитические конденсаторы обычно выходят из строя из-за химического разрушения диэлектрика с последующим увеличением тока, вскипанием электролита внутри и, как следствие, с вероятностью взрыва корпуса. Рис. 1.7. Эквивалентная схема
конденсатора с учетом
паразитных параметров Паразитные параметры. Реальные конденсаторы, помимо емкости, обладают также собственными сопротивлением и индуктивностью. С высокой степенью точности, эквивалентная схема реального конденсатора представлена на рис. 1.7. R – электрическое сопротивление изоляции конденсатора, определяемое соотношением , где U - напря­жение приложенное к конденсатору, - ток утечки. r – эквивалентное последовательное сопротивление (ЭПС) обусловлено главным образом электрическим сопротивлением материала обкладок и выводов конденсатора, а так же потерями в диэлектрике. В большинстве случаев этим параметром можно пренебречь, но иногда (например, в фильтрах импульсных блоков питания) достаточно малое его значение может быть жизненно важным для надежности устройства. L – эквивалентная последовательная индуктивность обусловлена в основном, собственной индуктивностью обкладок и выводов конденсатора. На низких частотах (до единиц килогерц) обычно не учитывается в силу малости вклада. Резонансная частота конденсатора. Вследствие того, что конденсаторы, используемые на практике, представляются в виде эквивалентной схемы (рис. 1.7), т. е., в виде последовательного колебательного контура, то практически у любого конденсатора есть своя резонансная частота, которая определяется выражением: . (1.11) При конденсатор в цепи переменного тока ведет себя как катушка индуктивности. Следовательно, конденсатор целесообразно использовать лишь на частотах , на которых его сопротивление носит емкостный характер. Обычно максимальная рабочая частота конденсатора примерно в 2 – 3 раза ниже резонансной. Рис. 1.8. Векторная диаграмма для тока в конденсаторе Тангенс угла потерь. В конденсаторе с идеальным диэлектриком, т. е. диэлектриком без потерь, вектор тока Ic опережает вектор напряжения на 90 °. В реальных диэлектриках угол между током, протекающим через емкость, и напряжением меньше 90° за счет потерь (т. е. , где – угол диэлектрических потерь), которые вызывают протекание активного тока Ir, совпадающего по фазе с напряжением. Векторная диаграмма для диэлектрика с потерями показана на рис. 1.8. Как видно из векторной диаграммы, тангенс угла равен отношению активного и реактивного токов: . (1.12) Иногда для характеристики устройства с диэлектриком определяют добротность – параметр обратный тангенсу угла диэлектрических потерь: . (1.13) У материалов, применяемых на повышенных частотах и при высоких напряжениях, tgδ лежит в пределах 10–3 – 10–4; для низкочастотных диэлектрических материалов – полярных диэлектриков значения tgδ обычно 10–1 – 10–2, для слабополярных – до 10–3. Для хорошо осушенных газов, не содержащих влаги, значения могут достигать 10–5 – 10–8. Температурный коэффициент емкости (ТКЕ) – коэффициент изменения емкости от температуры. Значение емкости от температуры представляется линейной формулой: , (1.14) где – изменение температуры, – ТКЕ. Однако ТКЕ определяется не для всех типов конденсаторов. Для характеристики конденсаторов с выраженной нелинейной зависимостью обычно указывают предельные величины отклонений от номинала в рабочем диапазоне температур. Применение конденсаторов. Конденсаторы находят применение практически во всех областях электроники. Конденсаторы (совместно с катушками индуктивности и/или резисторами) используются для построения различных цепей с частотно-зависимыми свойствами, в частности, фильтров, цепей обратной связи, колебательных контуров и т.п. При быстром разряде конденсатора можно получить импульс большой мощности, например, в фотовспышках, импульсных лазерах с оптической накачкой, генераторах и т. п. Необходимо помнить, что не все конденсаторы могут работать в импульсных режимах, происходит нагрев конденсатора и взрыв корпуса. Так как конденсатор способен длительное время сохранять заряд, то его можно использовать в качестве элемента памяти или устройства хранения электрической энергии. Как датчики малых перемещений: малое изменение расстояния между обкладками, заметно сказывается на емкости конденсатора.

Соберем установку (рис. 1) из трех последовательно соединенных потребителей: реостат имеет активное сопротивление R, катушка - индуктивное сопротивление , конденсатор - емкостное сопротивление Приборы измеряют действующие значения тока I и напряжения на отдельных элементах и источнике. RLC-параметры можно изменять; источник может быть синусоидальным (U = 127 В) или постоянным (U = 110 В).

Если включить цепь на постоянный ток, то ток сначала постепенно возрастает, а затем спадает до нуля: происходит заряд емкости током, проходящим через обмотку катушки индуктивности, которая по закону электромагнитной индукции (самоиндукции) сначала препятствует его возрастанию, а затем его уменьшению. Чем больше R, L и C, тем дольше будет длиться этот процесс; чем меньше R, тем более выражается колебательный характер этого процесса. Колебания возникают вследствие того, что ранее накопленная энергия магнитного поля катушки переходит в энергию электрического поля конденсатора и далее наоборот; колебания затухают благодаря тому, что часть их энергии необратимо поглощается активным сопротивлением R. Чем больше R, тем меньше колебания по амплитуде, но и тем дольше происходит заряд емкости (конденсатора).
Подключим цепь к синусоидальному току U = 127 В (рис. 1). Если f = 50 Гц, С = 32 мкФ, L = 0,32 Гн, R = 38 Ом, в стабильном режиме вынужденных колебаний приборы покажут: U = 127 В, U BC = 25 В, I = 2,5 А. Как видим, для действующих значений напряжений второй закон Кирхгофа не выполняется , поскольку эти напряжения векторные и имеют свои начальные фазы. Законы Кирхгофа справедливы для комплексной формы выражения напряжений (рис. 2):

где X = U L + U C - реактивное сопротивление электрической цепи.
Полное сопротивление в алгебраической, показательной и тригонометрической формах:

где .
Для и комплексное сопротивление составит:

Отсюда видно, что разность начальных фазовых углов напряжения и тока определяет аргумент комплексного полного сопротивления , т.е.
Векторные диаграммы токов и на комплексной плоскости в соответствии с уравнением Кирхгофа, учитывая сдвиг фазмежду напряжениями и током (рис.3).

Первая диаграмма (а) построена для цепи, в которой преобладает индуктивное сопротивление. Ток отстает от напряжения , и сдвиг фаз положительный; диаграмма (б) - для цепи, в которой преобладает емкостное сопротивление, ток опережает напряжение , и сдвиг фаз отрицательный. От треугольников напряжений, разделив каждую сторону треугольника на ток, переходим к подобному ему треугольнику сопротивлений.
Мгновенная мощность, в зависимости от знака , идентична мощности RL-цепи ( > 0) или RC-цепи ( < 0).
Активная мощность

определяется произведением действующих значений напряжения, тока и коэффициента мощности

где S = UI - полная мощность.
Величина является реактивной мощностью. Она положительна, когда > 0, и отрицательна, когда < 0. Абсолютное значение

Комплекс мощности

где - сопряженный комплекс тока. Треугольник напряжений подобен соответствующему треугольнику сопротивлений (рис. 4).

12. Параллельное соединение RLC

Сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов в отдельных параллельно соединённых проводниках:

Напряжение на участках цепи АВ и на концах всех параллельно соединённых проводников одно и то же:

Резисторы

При параллельном соединении резисторов складываются величины, обратно пропорциональные сопротивлению (то есть общая проводимость складывается из проводимостей каждого резистора )

Если цепь можно разбить на вложенные подблоки, последовательно или параллельно включённые между собой, то сначала считают сопротивление каждого подблока, потом заменяют каждый подблок его эквивалентным сопротивлением, таким образом находится общее (искомое) сопротивление.

Доказательство [показать]

Для двух параллельно соединённых резисторов их общее сопротивление равно: .

Если , то общее сопротивление равно:

При параллельном соединении резисторов их общее сопротивление будет меньше наименьшего из сопротивлений.

Катушка индуктивности [править | править вики-текст]

Электрический конденсатор [править | править вики-текст]

Мемристоры [править | править вики-текст]

Выключатели [править | править вики-текст]

Цепь замкнута, когда замкнут хотя бы один из выключателей.

Метод наложения

1.3.4. Метод наложения
В основе метода лежит принцип суперпозиции (наложения): ток в любой ветви сложной электрической цепи, содержащей несколько ЭДС, может быть найден как алгебраическая сумма токов в этой ветви от действия каждой ЭДС в отдельности.
Это весьма важное положение, справедливое только для линейных цепей, вытекает из уравнений Кирхгофа и утверждает независимость действия источников энергии. Основанный на нем метод сводит расчет цепи, содержащей несколько ЭДС, к последовательному расчету схем, каждая из которых содержит только один источник.
Например, токи в схеме на рис. 1.10, а находятся как алгебраические суммы частичных токов, определяемых из схем 1.10, б и в . Имеем.