Riešenie exponenciálnych rovníc. Príklady

V kurze matematiky 7. ročníka sa stretávame prvýkrát rovnice s dvoma premennými, ale skúmajú sa len v kontexte sústav rovníc s dvoma neznámymi. Preto celý rad problémov, v ktorých sa zavádzajú určité podmienky na koeficienty rovnice, ktoré ich obmedzujú, vypadáva z dohľadu. Okrem toho sa ignorujú aj metódy na riešenie problémov ako „Vyriešte rovnicu v prirodzených alebo celých číslach“, hoci v Materiály jednotnej štátnej skúšky A pri prijímacích skúškach sa s problémami tohto druhu stretávame čoraz častejšie.

Ktorá rovnica sa bude nazývať rovnica s dvoma premennými?

Takže napríklad rovnice 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 alebo xy = 12 sú rovnice v dvoch premenných.

Zoberme si rovnicu 2x – y = 1. Platí, keď x = 2 a y = 3, takže táto dvojica premenných hodnôt je riešením danej rovnice.

Riešením akejkoľvek rovnice s dvoma premennými je teda množina usporiadaných párov (x; y), hodnôt premenných, ktoré menia túto rovnicu na skutočnú číselnú rovnosť.

Rovnica s dvoma neznámymi môže:

A) mať jedno riešenie. Napríklad rovnica x 2 + 5y 2 = 0 má jedinečné riešenie (0; 0);

b) mať viacero riešení. Napríklad (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 má 4 riešenia: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nemať riešenia. Napríklad rovnica x 2 + y 2 + 1 = 0 nemá riešenia;

G) má nekonečne veľa riešení. Napríklad x + y = 3. Riešeniami tejto rovnice budú čísla, ktorých súčet sa rovná 3. Množinu riešení tejto rovnice môžeme zapísať v tvare (k; 3 – k), kde k je ľubovoľné reálne číslo.

Hlavnými metódami riešenia rovníc s dvoma premennými sú metódy založené na faktoringových výrazoch, izolácii úplného štvorca, využívajúce vlastnosti kvadratickej rovnice, obmedzené výrazy a metódy odhadu. Rovnica sa zvyčajne transformuje do tvaru, z ktorého možno získať systém na hľadanie neznámych.

Faktorizácia

Príklad 1

Riešte rovnicu: xy – 2 = 2x – y.

Riešenie.

Na účely faktorizácie zoskupujeme výrazy:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Z každej zátvorky vyberieme spoločný faktor:

y(x + 1) – 2 (x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Máme:

y = 2, x – ľubovoľné reálne číslo alebo x = -1, y – ľubovoľné reálne číslo.

teda odpoveďou sú všetky dvojice v tvare (x; 2), x € R a (-1; y), y € R.

Rovná sa nule nie je záporné čísla

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Riešenie.

Zoskupenie:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Teraz je možné každú zátvorku zložiť pomocou vzorca na druhú druhú.

(3x – 2) 2 + (2 roky – 3) 2 = 0.

Súčet dvoch nezáporných výrazov je nula, len ak 3x – 2 = 0 a 2y – 3 = 0.

To znamená x = 2/3 a y = 3/2.

Odpoveď: (2/3; 3/2).

Metóda odhadu

Príklad 3

Vyriešte rovnicu: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Riešenie.

V každej zátvorke vyberieme celý štvorec:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Odhadnime význam výrazov v zátvorkách.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 a (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, potom je ľavá strana rovnice vždy aspoň 2. Rovnosť je možná, ak:

(x + 1) 2 + 1 = 1 a (y – 2) 2 + 2 = 2, čo znamená x = -1, y = 2.

Odpoveď: (-1; 2).

Zoznámime sa s ďalšou metódou riešenia rovníc s dvoma premennými druhého stupňa. Táto metóda pozostáva zo spracovania rovnice ako štvorec vzhľadom na nejakú premennú.

Príklad 4.

Vyriešte rovnicu: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Riešenie.

Riešime rovnicu ako kvadratickú rovnicu pre x. Poďme nájsť diskriminant:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Rovnica bude mať riešenie len vtedy, keď D = 0, teda ak y = 4. Hodnotu y dosadíme do pôvodnej rovnice a zistíme, že x = 3.

Odpoveď: (3; 4).

Často v rovniciach s dvoma neznámymi označujú obmedzenia premenných.

Príklad 5.

Riešte rovnicu celými číslami: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Riešenie.

Prepíšme rovnicu v tvare x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Pravá strana výslednej rovnice pri delení 5 dáva zvyšok 2. Preto x 2 nie je deliteľné 5. Ale druhá mocnina a číslo nedeliteľné 5 dáva zvyšok 1 alebo 4. Rovnosť teda nie je možná a neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 6.

Vyriešte rovnicu: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Riešenie.

Zvýraznime celé štvorce v každej zátvorke:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ľavá strana rovnice je vždy väčšia alebo rovná 3. Rovnosť je možná za predpokladu, že |x| – 2 = 0 a y + 3 = 0. Teda x = ± 2, y = -3.

Odpoveď: (2; -3) a (-2; -3).

Príklad 7.

Pre každý pár záporných celých čísel (x;y), ktoré spĺňajú rovnicu
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, vypočítajte súčet (x + y). V odpovedi uveďte najmenšiu sumu.

Riešenie.

Vyberme celé štvorce:

(x2 – 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Keďže x a y sú celé čísla, ich druhé mocniny sú tiež celé čísla. Ak spočítame 1 + 36, dostaneme súčet druhých mocnín dvoch celých čísel rovný 37. Preto:

(x – y) 2 = 36 a (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 a (y + 2) 2 = 36.

Vyriešením týchto systémov a berúc do úvahy, že x a y sú záporné, nájdeme riešenia: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpoveď: -17.

Nezúfajte, ak máte problém vyriešiť rovnice s dvoma neznámymi. S trochou cviku zvládnete akúkoľvek rovnicu.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť rovnice v dvoch premenných?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

čo je rovnica?

Rovnica je jedným zo základných pojmov celej matematiky. Aj školské, aj vysokoškolské. Má zmysel prísť na to, nie? Navyše ide o veľmi jednoduchý koncept. Presvedčte sa sami nižšie. :) Aká je teda rovnica?

Skutočnosť, že toto slovo má rovnaký koreň ako slová „rovný“, „rovnosť“, myslím, nevyvoláva žiadne námietky u nikoho. Rovnica sú dva matematické výrazy spojené znakom rovnosti „=“. Ale... nie hocijaké. A tie, v ktorých (aspoň jeden) obsahuje neznáme množstvo . Alebo inak premenlivé množstvo . Alebo skrátka „variabilné“. Môže existovať jedna alebo viac premenných. V školskej matematike rovnice s jeden premenlivý. Čo sa zvyčajne označuje písmenomX . Alebo iné posledné písmená latinskej abecedy -r , z , t a tak ďalej.

Zatiaľ budeme brať do úvahy aj rovnice s jednou premennou. S dvoma alebo viacerými premennými - v špeciálnej lekcii.

Čo znamená vyriešiť rovnicu?

Pokračuj. Premenná vo výrazoch zahrnutých v rovnici môže mať akúkoľvek platnú hodnotu. Preto je to variabilné. :) Pre niektoré hodnoty premennej sa získa správna rovnosť, ale pre iné nie. Vyriešte rovnicu- to znamená nájsť všetky takéto hodnoty premennej pri ich dosadení originálny vychádza rovnica skutočná rovnosť . Alebo, viac vedecky, identity. Napríklad 5=5, 0=0, -10=-10. A tak ďalej. :) Alebo dokážte, že takéto premenné hodnoty neexistujú.

Osobitne sa zameriavam na slovo „originál“. Prečo bude jasné nižšie.

Práve tieto hodnoty premennej, po nahradení ktorých sa rovnica zmení na identitu, sa nazývajú veľmi krásne - korene rovnice. Ak sa preukáže, že takéto hodnoty neexistujú, potom v tomto prípade hovoria, že rovnica nemá korene.

Prečo sú potrebné rovnice?

Prečo potrebujeme rovnice? Po prvé, rovnice sú veľmi výkonným a najuniverzálnejším nástrojom riešenie problémov . Veľmi odlišné. :) V škole sa spravidla pracuje s slovné úlohy. Sú to úlohy na pohyb, na prácu, na percentá a mnohé, mnohé iné. Použitie rovníc sa však neobmedzuje len na školské problémy o bazénoch, potrubiach, vlakoch a stoličkách. :)

Bez schopnosti skladať a riešiť rovnice nie je možné vyriešiť žiadny vážny vedecký problém – fyzikálny, inžiniersky či ekonomický. Napríklad vypočítajte, kam dopadne raketa. Alebo odpovedzte na otázku, či nejaká dôležitá konštrukcia (napríklad výťah alebo most) vydrží alebo nevydrží zaťaženie. Alebo predpovedajte počasie, rast (alebo pokles) cien alebo príjmov...

Vo všeobecnosti je rovnica kľúčovou postavou pri riešení širokej škály výpočtových problémov.

Aké sú rovnice?

V matematike existuje nespočetné množstvo rovníc. Väčšina odlišné typy. Všetky rovnice však možno rozdeliť iba do 4 tried:

1) lineárne,

2) štvorec,

3) Zlomkové (alebo zlomkovo-racionálne),

4) Ostatné.

Rôzne typy rovníc si vyžadujú rôzne prístupy k ich riešeniu: lineárne rovnice sa riešia jedným spôsobom, kvadratické rovnice iným, zlomkové rovnice tretím, trigonometrické, logaritmické, exponenciálne a iné sa tiež riešia vlastnými metódami.

Existuje, samozrejme, viac iných rovníc. Sú to iracionálne, trigonometrické, exponenciálne, logaritmické a mnohé ďalšie rovnice. A dokonca aj diferenciálne rovnice (pre žiakov), kde neznáma nie je číslo, ale funkciu. Alebo dokonca celú rodinu funkcií. :) V príslušných lekciách budeme podrobne analyzovať všetky tieto typy rovníc. A tu máme základné techniky, ktoré sú použiteľné na riešenie úplne akékoľvek(áno, akékoľvek!) rovnice. Tieto techniky sú tzv ekvivalentné transformácie rovníc . Sú len dvaja. A nedá sa ich obísť. Poďme sa teda zoznámiť!

Ako riešiť rovnice? Identické (ekvivalentné) transformácie rovníc.

Riešenie akýkoľvek rovnica spočíva v postupnej transformácii výrazov v nej zahrnutých. Ale nie hocijaké premeny, ale také že podstata celej rovnice sa nezmenila. Napriek tomu, že po každej transformácii sa rovnica zmení a v konečnom dôsledku bude úplne iná ako tá pôvodná. Takéto transformácie v matematike sú tzv ekvivalent alebo identické . Spomedzi celej škály identických transformácií rovníc vyniká jedna dve základné. Budeme o nich hovoriť. Áno, áno, iba dve! A každý z nich si zaslúži osobitnú pozornosť. Aplikácia týchto dvoch identických transformácií v jednom alebo druhom poradí zaručuje úspech pri riešení 99% všetkých rovníc.

Takže, poďme sa zoznámiť!

Prvá transformácia identity:

Na obe strany rovnice môžete pridať (alebo odčítať) akékoľvek (ale identické!) číslo alebo výraz (vrátane tých s premennou).

Podstata rovnice zostane rovnaká. Túto transformáciu aplikujete všade, naivne si myslíte, že prenášate niektoré pojmy z jednej časti rovnice do druhej a meníte znamienko. :)

Napríklad táto skvelá rovnica:

Tu nie je o čom premýšľať: posuňte mínus tri doprava a zmeňte mínus na plus:

Čo sa však v skutočnosti deje? Ale v skutočnosti ty pridajte tri na obe strany rovnice! Páči sa ti to:

Podstata celej rovnice sa pri pripočítaní troch na obe strany nemení. Na ľavej strane zostáva čisté X (čo sa v skutočnosti snažíme dosiahnuť) a napravo - čokoľvek sa stane.

Prenos pojmov z jednej časti do druhej je skrátená verzia prvá transformácia identity. Jediná chyba, ktorú tu môžete urobiť, je, že zabudnete zmeniť znamenie pri prenose. Napríklad táto rovnica:

Nie je to zložitá záležitosť. Pracujeme priamo podľa kúzla: s X vľavo, bez X vpravo. Aký výraz s X je vpravo? Čo? 2x? Omyl! Na pravej strane máme -2x (mínus dve x)! Preto sa tento termín presunie na ľavú stranu s plusom :

Polovica bitky je hotová, X sú nazbierané na ľavej strane. Zostáva len presunúť jednotku doprava. Opäť otázka - s akým znamením? Naľavo pred jednotkou nie je nič napísané, čo znamená, že to má predchádzať plus. Preto sa 1 posunie doprava s mínusom:

To je skoro všetko. Na ľavej strane uvádzame podobné a na pravej strane ich počítame. A dostaneme:

Teraz poďme analyzovať naše machinácie s prevodom podmienok. Čo sme urobili, keď sme sa posunuli -2x doľava? Áno! my pridané do oboch častí našej rovnice zla je výraz 2x. Povedal som vám, že máme právo pridať (odčítať) akékoľvek číslo a dokonca aj výraz s X! Pokiaľ ide o to isté. :) A kedy si posunul tú 1 doprava? Úplnú pravdu! my odpočítané od oboch strán rovnice jeden. To je všetko.) To je celý zmysel prvej ekvivalentnej transformácie.

Alebo tento príklad pre stredoškolákov:

Rovnica je logaritmická. No a čo? Koho to zaujíma? Každopádne, prvým krokom je urobiť základnú transformáciu identity – člen s premennou (teda -log 3 x) posunieme doľava a číselný výraz log 3 4 posunieme doprava. So zmenou znamenia, samozrejme:

To je všetko. Každý, kto pozná logaritmy, dokončí rovnicu v hlave a dostane:

Čo? Chcete sínusy? Prosím, tu sú sínusy:

Opäť vykonáme prvú transformáciu identity – prenesieme hriech x doľava (s mínusom) a posuňte -1/4 doprava (s plusom):

Získali sme najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu so sínusom, ktorú tiež nie je ťažké vyriešiť pre znalých.

Pozrite sa, aká univerzálna je prvá ekvivalentná transformácia! Nachádza sa všade a všade a neexistuje spôsob, ako ho obísť. Preto to musíte vedieť robiť automaticky. Hlavná vec je nezabudnúť na zmenu znamenia pri prenose! Pokračujeme v oboznamovaní sa s identickými transformáciami rovníc.)

Druhá transformácia identity:

Obe strany rovnice možno vynásobiť (vydeliť) rovnakým nenulovým číslom alebo výrazom.

Túto identickú transformáciu neustále používame aj vtedy, keď nám niektoré koeficienty v rovnici prekážajú a chceme sa ich zbaviť. Bezpečné pre samotnú rovnicu. :) Napríklad táto zlá rovnica:

To je tu každému jasné x = 3. Ako si uhádol? Vyzdvihli ste to? Alebo si ukázal prstom na oblohu a hádal si?

Aby ste neselektovali a nehádali (sme predsa matematici, nie veštci :)), musíte pochopiť, že ste jednoducho rozdelil obe strany rovnice pre štvorku. Čo nás trápi.

Páči sa ti to:

Táto deliaca palica znamená, že sú delené štyrmi. obe časti naša rovnica. Celá ľavá strana a celá pravá strana:

Vľavo sú štvorky bezpečne zmenšené a x zostáva v nádhernej izolácii. A vpravo, pri delení 12 4, je výsledok prirodzene tri. :)

Alebo táto rovnica:

Čo robiť s jednou sedminou? Pohnúť sa vpravo? Nie, nemôžeš! Jedna sedmina je spojená s x násobením. Koeficient, rozumiete. :) Koeficient nemôžete oddeliť a presunúť ho oddelene od X. Iba celý výraz (1/7)x. Ale nie je to potrebné. :) Opäť si pripomeňme násobenie/delenie. Čo nám v tom bráni? Zlomok je 1/7, však? Tak sa toho zbavme. Ako? A akou činnosťou prídeme o zlomok? Náš zlomok zmizne, keď násobeniečíslom rovným jeho menovateľovi! Vynásobme teda obe strany našej rovnice 7:

Naľavo sa zmenšia sedmičky a zostane len osamelé X a napravo, ak si pamätáte násobilku, dostanete 21:

Teraz príklad pre stredoškolákov:

Aby sme sa dostali k x a tým vyriešili našu zlú goniometrickú rovnicu, musíme najprv získať čistý kosínus naľavo, bez akýchkoľvek koeficientov. Ale dvojka sa postaví do cesty. :) Celú ľavú stranu teda vydelíme 2:

Ale potom bude treba deliť aj pravú stranu dvomi: to už vyžaduje MATEMATIKA. Rozdeliť:

Dostali sme tabuľkovú hodnotu kosínusu vpravo. A teraz je rovnica pre sladkú dušu vyriešená.)

Je všetko jasné s násobením/delením? Skvelé! Ale… pozor! Táto transformácia, napriek svojej jednoduchosti, obsahuje zdroj veľmi nepríjemných chýb! Volá sa strata koreňov A získanie cudzích koreňov .

Už som povedal vyššie, že obe strany rovnice možno vynásobiť (vydeliť) ľubovoľným číslom resp výraz s x. Ale s jedným dôležitým upozornením: výraz, ktorým násobíme (delíme), musí byť odlišný od nuly . Práve tento bod, ktorý mnohí na začiatku jednoducho ignorujú, vedie k takýmto nešťastným omylom. V skutočnosti je význam tohto obmedzenia jasný: násobenie nulou je hlúpe a delenie vo všeobecnosti nie je povolené. Poďme zistiť, čo je čo? Začnime rozdelením a strata koreňov .

Povedzme, že máme túto rovnicu:

Tu vás naozaj svrbí vziať a rozdeliť obe strany rovnice spoločnou zátvorkou (x-1):

Povedzme, že úloha Jednotnej štátnej skúšky hovorí nájsť súčet koreňov tejto rovnice. Čo napíšeme ako odpoveď? Tri? Ak sa rozhodnete, že je to trojka, tak vy boli prepadnutí. Nazýva sa to „strata koreňov“. :) Čo sa deje?

Otvorme zátvorky v pôvodnej rovnici a zhromaždíme všetko vľavo:

Dostali sme klasickú kvadratickú rovnicu. Riešime cez diskriminant (alebo cez Vietovu vetu) a dostaneme dva korene:

Preto je súčet koreňov 1+3 = 4. Štyri, nie tri! Kde „zmizol“ náš koreň?

x = 1

S prvým riešením? A ten náš zmizol práve vtedy, keď sme obe časti delili zátvorkami (x-1). Prečo sa to stalo? A to všetko preto, že pri x = 1 je práve táto zátvorka (x-1) vynulovaná. A máme právo deliť len podľa nenulový výraz! Ako by sa dalo predísť strate tohto koreňa? A strata koreňov všeobecne? Aby sme to urobili, najprv pred delením nejakým výrazom s x vždy pridáme podmienku, že tento výraz je iný ako nula. A nájdeme nuly tohto výrazu. Takto (ako príklad použijeme našu rovnicu):

A po druhé, aby niektoré korene nezmizli počas procesu delenia, musíme samostatne skontrolovať ako kandidátov na korene Všetky nuly nášho výrazu (ten, ktorým delíme). Ako? Stačí ich vložiť pôvodná rovnica a počítať. V našom prípade skontrolujeme jeden:

Všetko je spravodlivé. Takže, jeden je koreň!

Vo všeobecnosti sa v budúcnosti vždy snažte vyhnúť divízií k výrazu s X. Strata koreňov je veľmi nebezpečná a nepríjemná vec! Použite akékoľvek iné metódy - otváranie zátvoriek a najmä faktorizácia. Faktoring je najjednoduchší a bezpečným spôsobom vyhnúť sa strate koreňov. Aby sme to urobili, zhromaždíme všetko vľavo, potom vyberieme spoločný faktor (o ktorý chceme „redukovať“) zo zátvoriek, rozpočítame ho do faktorov a potom každý výsledný faktor prirovnáme k nule. Napríklad naša rovnica by sa dala celkom neškodne vyriešiť nielen redukciou na kvadratickú, ale aj faktorizáciou. Presvedčte sa sami:

Posuňte celý výraz (x-1) doľava. So znamienkom mínus:

Vyberieme (x-1) zo zátvoriek ako spoločný faktor a rozdelíme ho na faktor:

Súčin je nula, keď aspoň jeden z faktorov je nula. Teraz prirovnáme (v našich mysliach!) každú zátvorku k nule a získame naše legálne dva korene:

A nestratil sa ani jeden koreň!

Pozrime sa teraz na opačnú situáciu - získanie cudzích koreňov. Táto situácia nastáva, keď násobenie obe strany rovnice k výrazu s x. Často sa vyskytuje pri riešení zlomkových racionálnych rovníc. Napríklad táto jednoduchá rovnica:

Je to známa vec – obe strany vynásobíme menovateľom, aby sme sa zbavili zlomku a dostali rovnicu pravítka:

Každý faktor prirovnáme k nule a dostaneme dva korene:

Všetko sa zdá byť v poriadku. Ale skúsme urobiť základnú kontrolu. A ak o x = 0 všetko pekne zrastie, dostaneme identitu 2=2, potom kedy x = 1 Výsledkom bude delenie nulou. Čo absolútne nemôžete urobiť. Jeden nie je vhodný ako koreň našej rovnice. V takýchto prípadoch sa hovorí x = 1- tzv cudzí koreň . Jeden je koreňom našej novej rovnice bez zlomku x(x-1) = 0, ale nie je koreň originálny zlomková rovnica. Ako sa tento cudzí koreň objavuje? Zobrazí sa, keď sa obe strany vynásobia menovateľom x-1. ktorý pri x = 1 ide len na nulu! A my máme právo násobiť len iným výrazom ako nula!

Ako byť? Nemnožiť sa vôbec? Potom nebudeme môcť vyriešiť vôbec nič. Mám to zakaždým skontrolovať? Môcť. Ale často je to náročné na prácu, ak je počiatočná rovnica príliš spletitá. V takýchto prípadoch prichádzajú na záchranu tri magické písmená - ODZ. O oblasť D vynechané Zúspechy. A aby ste vylúčili výskyt cudzích koreňov, pri násobení výrazom s X musíte vždy dodatočne zapísať ODZ. V našom prípade:

Teraz s týmto obmedzením môžete obe strany bezpečne vynásobiť menovateľom. Z takéhoto premnoženia vylúčime všetky škodlivé následky (t.j. cudzie korene) podľa DZ. A ten náš nemilosrdne vyhodíme.

Takže vzhľad cudzích koreňov nie je taký nebezpečný ako strata: ODZ je silná vec. A tvrdý. Vždy vyradí všetko nepotrebné. :) S ODZ budeme kamaráti a bližšie sa zoznámime v samostatnej lekcii.

To sú všetky rovnaké premeny.) Iba dve. Neskúsený študent však môže mať určité ťažkosti spojené s sekvencie ich aplikácie: v niektorých príkladoch začínajú násobením (alebo delením), v iných - prenosom. Napríklad táto lineárna rovnica:

Kde začať? Môžete začať s prevodom:

Alebo môžete najprv rozdeliť obe časti piatimi a potom preniesť. Potom budú čísla jednoduchšie a bude ľahšie počítať:

Ako vidíme, oba spôsoby sú možné. Pre niektorých študentov teda vyvstáva otázka: „Ktoré je správne? Odpoveď: "V každom ohľade správne!" Čo je pre vás výhodnejšie. :) Pokiaľ vaše činy neodporujú pravidlám matematiky. A postupnosť týchto akcií závisí výlučne od osobných preferencií a zvykov rozhodcu. Skúsenosti však takéto otázky samy zmiznú a nakoniec to nebude matematika, ktorá vám bude rozkazovať, ale vy budete rozkazovať matematike. :)

Na záver by som chcel povedať samostatne o tzv podmienene identické transformácie, platný na niektoré podmienky. Napríklad zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú mocninu. Alebo extrahovanie koreňa z oboch častí. Ak je exponent nepárny, potom neexistujú žiadne obmedzenia - konštruujte a extrahujte bez strachu. Ale ak je párny, potom bude takáto transformácia identická iba vtedy, ak obe strany rovnice sú nezáporné. O týchto nástrahách si podrobne povieme v téme o iracionálnych rovniciach.

Lineárne rovnice. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Lineárne rovnice.

Lineárne rovnice nie sú najťažšou témou školskej matematiky. Existuje však niekoľko trikov, ktoré dokážu zmiasť aj trénovaného študenta. Poďme na to?)

Lineárna rovnica je zvyčajne definovaná ako rovnica v tvare:

sekera + b = 0 Kde a a b- ľubovoľné čísla.

2x + 7 = 0. Tu a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tu a=0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 tu a=12, b = 1/2

Nič zložité, však? Najmä ak si nevšimnete slová: "kde a a b sú ľubovoľné čísla"... A ak si to všimnete a bezstarostne o tom premýšľate?) Koniec koncov, ak a=0, b = 0(sú možné nejaké čísla?), potom dostaneme vtipný výraz:

Ale to nie je všetko! Ak povedzme a=0, A b=5, Toto sa ukáže ako niečo úplne nezvyčajné:

Čo je otravné a podkopáva to dôveru v matematiku, áno...) Najmä počas skúšok. Ale z týchto zvláštnych výrazov musíte nájsť aj X! Ktorý vôbec neexistuje. A prekvapivo, toto X je veľmi ľahké nájsť. Naučíme sa to robiť. V tejto lekcii.

Ako rozpoznať lineárnu rovnicu podľa jej vzhľadu? Záleží na čom vzhľad.) Trik je v tom, že nielen rovnice tvaru sa nazývajú lineárne rovnice sekera + b = 0 , ale aj akékoľvek rovnice, ktoré je možné transformáciou a zjednodušením zredukovať do tejto podoby. A ktovie, či spadne alebo nie?)

V niektorých prípadoch možno jasne rozpoznať lineárnu rovnicu. Povedzme, že ak máme rovnicu, v ktorej sú len neznáme do prvého stupňa a čísla. A v rovnici nie je zlomky delené o neznámy , to je dôležité! A rozdelenie podľa číslo, alebo číselný zlomok - to je vítané! Napríklad:

Toto je lineárna rovnica. Sú tu zlomky, ale nie sú x v druhej mocnine, kocke atď., a nie sú x v menovateľoch, t.j. Nie delenie x. A tu je rovnica

nemožno nazvať lineárnym. Tu sú X všetky na prvom stupni, ale sú delenie výrazom s x. Po zjednodušeniach a transformáciách môžete získať lineárnu rovnicu, kvadratickú rovnicu alebo čokoľvek chcete.

Ukazuje sa, že je nemožné rozpoznať lineárnu rovnicu v nejakom komplikovanom príklade, kým ju takmer nevyriešite. Toto je znepokojujúce. Ale v zadaniach sa spravidla nepýtajú na formu rovnice, však? Zadania si pýtajú rovnice rozhodnúť. Toto ma robí šťastným.)

Riešenie lineárnych rovníc. Príklady.

Celé riešenie lineárnych rovníc pozostáva z identických transformácií rovníc. Mimochodom, tieto transformácie (dve z nich!) sú základom riešení všetky matematické rovnice. Inými slovami, riešenie akýkoľvek rovnica začína práve týmito transformáciami. V prípade lineárnych rovníc je to (riešenie) založené na týchto transformáciách a končí úplnou odpoveďou. Dáva zmysel sledovať odkaz, nie?) Okrem toho sú tam aj príklady riešenia lineárnych rovníc.

Najprv sa pozrime na najjednoduchší príklad. Bez akýchkoľvek nástrah. Predpokladajme, že musíme vyriešiť túto rovnicu.

x - 3 = 2 - 4x

Toto je lineárna rovnica. Všetky X sú v prvej mocnine, neexistuje žiadne delenie X. Ale v skutočnosti nám nezáleží na tom, o aký druh rovnice ide. Musíme to vyriešiť. Schéma je tu jednoduchá. Zbierajte všetko s X na ľavej strane rovnice, všetko bez X (čísel) na pravej strane.

Ak to chcete urobiť, musíte preniesť - 4x na ľavú stranu, samozrejme so zmenou znamienka a - 3 - doprava. Mimochodom, toto je prvá identická transformácia rovníc. Prekvapený? To znamená, že ste nesledovali odkaz, ale márne...) Dostávame:

x + 4x = 2 + 3

Tu sú podobné, uvažujeme:

Čo potrebujeme k úplnému šťastiu? Áno, takže vľavo je čisté X! Päť je v ceste. Zbavte sa piatich s pomocou druhá identická transformácia rovníc. Totiž obe strany rovnice vydelíme 5. Dostaneme hotovú odpoveď:

Samozrejme elementárny príklad. Toto je na zahriatie.) Nie je celkom jasné, prečo som si tu pamätal rovnaké premeny? OK. Vezmime býka za rohy.) Rozhodnime sa niečo pevnejšie.

Napríklad tu je rovnica:

kde začneme? S X - vľavo, bez X - vpravo? Môže to tak byť. Malé kroky po dlhej ceste. Alebo to môžete urobiť hneď, univerzálnym a výkonným spôsobom. Ak, samozrejme, máte vo svojom arzenáli identické transformácie rovníc.

Položím vám kľúčovú otázku: Čo sa vám na tejto rovnici najviac nepáči?

95 zo 100 ľudí odpovie: zlomky ! Odpoveď je správna. Tak sa ich zbavme. Preto okamžite začneme s druhá transformácia identity. Čím treba vynásobiť zlomok vľavo, aby sa menovateľ úplne zmenšil? Správne, o 3. A vpravo? 4. Ale matematika nám umožňuje vynásobiť obe strany rovnaké číslo. Ako sa dostaneme von? Vynásobme obe strany 12! Tie. na spoločného menovateľa. Potom sa zníži trojka aj štvorka. Nezabudnite, že každú časť je potrebné znásobiť úplne. Prvý krok vyzerá takto:

Rozšírenie zátvoriek:

Poznámka! Čitateľ (x+2) Dal som to do zátvoriek! Pri násobení zlomkov sa totiž násobí celý čitateľ! Teraz môžete znížiť zlomky:

Rozbaľte zostávajúce zátvorky:

Nie príklad, ale čisté potešenie!) Teraz si spomeňme na kúzlo zo základnej školy: s X - doľava, bez X - doprava! A použite túto transformáciu:

Tu sú niektoré podobné:

A obe časti vydeľte 25, t.j. znova použite druhú transformáciu:

To je všetko. odpoveď: X=0,16

Vezmite na vedomie: uviesť pôvodnú mätúcu rovnicu do príjemný výhľad, použili sme dve (iba dve!) transformácie identity– preklad zľava doprava so zmenou znamienka a násobením-delenie rovnice rovnakým číslom. Toto univerzálna metóda! Týmto spôsobom budeme pracovať s akýkoľvek rovnice! Úplne ktokoľvek. Preto únavne opakujem tieto identické premeny stále dookola.)

Ako vidíte, princíp riešenia lineárnych rovníc je jednoduchý. Zoberieme rovnicu a zjednodušíme ju pomocou identických transformácií, kým nedostaneme odpoveď. Hlavné problémy sú tu vo výpočtoch, nie v princípe riešenia.

Ale... V procese riešenia tých najelementárnejších lineárnych rovníc sú také prekvapenia, že vás môžu priviesť až do silnej strnulosti...) Našťastie, takéto prekvapenia môžu byť len dve. Nazvime ich špeciálne prípady.

Špeciálne prípady pri riešení lineárnych rovníc.

Prvé prekvapenie.

Predpokladajme, že narazíte na veľmi základnú rovnicu, niečo ako:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Mierne znudený to posúvame s X doľava, bez X - doprava... So zmenou znamienka je všetko dokonalé... Dostávame:

2x-5x+3x=5-2-3

Počítame, a... ups!!! Dostaneme:

Táto rovnosť sama osebe nie je sporná. Nula je naozaj nula. Ale X chýba! A v odpovedi musíme napísať, čo sa rovná x? Inak sa riešenie neráta, však...) Deadlock?

Pokojne! V takýchto pochybných prípadoch vás zachránia najvšeobecnejšie pravidlá. Ako riešiť rovnice? Čo znamená vyriešiť rovnicu? To znamená, nájdite všetky hodnoty x, ktoré nám po dosadení do pôvodnej rovnice dajú správnu rovnosť.

Ale máme skutočnú rovnosť už Stalo! 0=0, o koľko presnejšie?! Zostáva zistiť, pri akom x sa to stane. Do akých hodnôt X možno dosadiť originálny rovnica, ak sú tieto x budú stále znížené na nulu? Poď?)

Áno!!! X môžu byť nahradené akýkoľvek! Ktoré z nich chcete? Aspoň 5, aspoň 0,05, aspoň -220. Stále sa budú zmenšovať. Ak mi neveríte, môžete si to overiť.) Dosaďte ľubovoľné hodnoty X do originálny rovnica a výpočet. Po celú dobu budete dostávať čistú pravdu: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 a tak ďalej.

Tu je vaša odpoveď: x - ľubovoľné číslo.

Odpoveď môže byť napísaná rôznymi matematickými symbolmi, podstata sa nemení. Toto je úplne správna a úplná odpoveď.

Druhé prekvapenie.

Zoberme si rovnakú elementárnu lineárnu rovnicu a zmeňme v nej len jedno číslo. Takto sa rozhodneme:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po rovnakých identických transformáciách dostaneme niečo zaujímavé:

Páči sa ti to. Vyriešili sme lineárnu rovnicu a dostali sme zvláštnu rovnosť. Z matematického hľadiska máme falošná rovnosť. Jednoducho povedané, nie je to pravda. Rave. Ale napriek tomu je tento nezmysel veľmi dobrým dôvodom na správne riešenie rovnice.)

Opäť uvažujeme na základe všeobecné pravidlá. Čo nám dá x, keď dosadíme do pôvodnej rovnice pravda rovnosť? Áno, žiadne! Také X neexistujú. Bez ohľadu na to, čo vložíte, všetko sa zredukuje, zostanú len nezmysly.)

Tu je vaša odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Toto je tiež úplne úplná odpoveď. V matematike sa takéto odpovede často nachádzajú.

Páči sa ti to. Teraz vás, dúfam, zmiznutie X v procese riešenia akejkoľvek (nielen lineárnej) rovnice vôbec nebude zmiasť. Toto je už známa vec.)

Teraz, keď sme sa vysporiadali so všetkými nástrahami v lineárne rovnice, má zmysel ich riešiť.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich vyriešiť je absolútne nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimnite, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

1. Nemať korene;
2. Mať presne jeden koreň;
3. Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými rovnicami a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac.

Tento vzorec musíte poznať naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako z nejakého dôvodu mnohí ľudia veria. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapíšme si koeficienty pre prvú rovnicu a nájdime diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme podobným spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Zostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - koreň bude jedna.

Upozorňujeme, že koeficienty boli zapísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to únavné, ale nebudete si miešať šance a robiť hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak na to prídete, po chvíli už nebudete musieť zapisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po 50-70 vyriešených rovniciach - vo všeobecnosti nie až tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k samotnému riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov - dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú pri dosadzovaní záporných koeficientov do vzorca. Aj tu vám pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, zapíšte si každý krok - a veľmi skoro sa zbavíte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica sa mierne líši od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Je ľahké si všimnúť, že v týchto rovniciach chýba jeden z výrazov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nevyžadujú si ani výpočet diskriminantu. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnica ax 2 + bx + c = 0 sa nazýva neúplná kvadratická rovnica, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b = c = 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 = 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jeden koreň: x = 0.

Zoberme si zvyšné prípady. Nech b = 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + c = 0. Trochu ju transformujme:

Od aritmetiky Odmocnina existuje len od nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len pre (−c /a) ≥ 0. Záver:

1. Ak je v neúplnej kvadratickej rovnici tvaru ax 2 + c = 0 splnená nerovnosť (−c /a) ≥ 0, budú korene dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (−c /a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný – v neúplných kvadratických rovniciach neexistujú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c /a) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Postačuje rozpočítať polynóm:

Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nulový. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver sa pozrime na niektoré z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Riešenie rovníc so zlomkami Pozrime sa na príklady. Príklady sú jednoduché a názorné. S ich pomocou budete schopní porozumieť tým najzrozumiteľnejším spôsobom.
Napríklad musíte vyriešiť jednoduchú rovnicu x/b + c = d.

Rovnica tohto typu sa nazýva lineárna, pretože Menovateľ obsahuje iba čísla.

Riešenie sa uskutoční vynásobením oboch strán rovnice b, potom rovnica nadobudne tvar x = b*(d – c), t.j. menovateľ zlomku na ľavej strane ruší.

Napríklad, ako vyriešiť zlomkovú rovnicu:
x/5+4=9
Vynásobíme obe strany 5. Dostaneme:
x+20=45
x=45-20=25

Ďalší príklad, keď je v menovateli neznáma:

Rovnice tohto typu sa nazývajú zlomkovo-racionálne alebo jednoducho zlomkové.

Zlomkovú rovnicu by sme vyriešili tak, že by sme sa zbavili zlomkov, potom sa táto rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú rovnicu, ktorú je možné vyriešiť obvyklým spôsobom. Musíte len zvážiť nasledujúce body:

• hodnota premennej, ktorá zmení menovateľa na 0, nemôže byť koreň;
• Rovnicu nemôžete deliť ani násobiť výrazom =0.

Tu vstupuje do platnosti koncept oblasti prípustných hodnôt (ADV) - to sú hodnoty koreňov rovnice, pre ktoré má rovnica zmysel.

Pri riešení rovnice je teda potrebné nájsť korene a následne skontrolovať, či sú v súlade s ODZ. Z odpovede sú vylúčené tie korene, ktoré nezodpovedajú našej ODZ.

Napríklad musíte vyriešiť zlomkovú rovnicu:

Na základe vyššie uvedeného pravidla x nemôže byť = 0, t.j. ODZ v tomto prípade: x – akákoľvek hodnota iná ako nula.

Menovateľa sa zbavíme vynásobením všetkých členov rovnice x

A riešime obvyklú rovnicu

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Odpoveď: x = 1/3

Poďme vyriešiť zložitejšiu rovnicu:

Nachádza sa tu aj ODZ: x -2.

Pri riešení tejto rovnice nepohneme všetko na jednu stranu a zlomky privedieme na spoločného menovateľa. Okamžite vynásobíme obe strany rovnice výrazom, ktorý zruší všetkých menovateľov naraz.

Ak chcete zmenšiť menovateľov, musíte vynásobiť ľavú stranu x+2 a pravú stranu 2. To znamená, že obe strany rovnice musia byť vynásobené 2(x+2):

Toto je najbežnejšie násobenie zlomkov, o ktorom sme už hovorili vyššie.

Napíšeme rovnakú rovnicu, ale trochu inak

Ľavá strana sa zmenší o (x+2) a pravá o 2. Po zmenšení dostaneme obvyklú lineárnu rovnicu:

x = 4 – 2 = 2, čo zodpovedá našej ODZ

Odpoveď: x = 2.

Riešenie rovníc so zlomkami nie také ťažké, ako by sa mohlo zdať. V tomto článku sme to ukázali na príkladoch. Ak máte nejaké ťažkosti s ako riešiť rovnice so zlomkami, potom sa odhláste v komentároch.