दिलेल्या क्रमांक आणि कसे सादर करावे. संगणकात संख्या प्रतिनिधित्व

सहसा, मशीनमध्ये प्रवेश केल्यावर सामान्यतः नकारात्मक दशांश संख्या आपोआप उलट किंवा अतिरिक्त बायनरी कोडमध्ये रुपांतरीत होतात आणि या फॉर्ममध्ये ऑपरेशनमध्ये हलविले जातात आणि हलविले जातात. कार पासून अशा संख्या deriving करताना, नकारात्मक दशांश संख्यांचा उलट रूपांतरण.बर्याच संगणकांमध्ये, घटनेचा ऑपरेशन वापरला जात नाही. त्याऐवजी, व्यस्त किंवा अतिरिक्त कोडचा समावेश कमी केला जातो आणि घटविला जातो. हे आपल्याला एएलयूच्या डिझाइनमध्ये लक्षणीय साधे करण्यासाठी परवानगी देते.

4.2. पूर्णांकांवर अंकगणित ऑपरेशन्स

समीकरणावरील अंकगणित ऑपरेशन करण्याच्या प्रश्नांचा थोडक्यात विचार करूया. संख्या ए आणि बी जोडताना, चार मुख्य प्रकरणे आहेत:

1. ए आणि बी सकारात्मक आहेत. संकेतावर, चिन्हाचा अंक समाविष्ट करून सर्व अंक जोडले जातात. सकारात्मक शब्दाचे चिन्ह अंक शून्य असल्यामुळे, समीकरणाचे अंक शून्य देखील आहे. उदाहरणार्थ: 0 0000011 (ए = 3) + 0 0000111 (बी = 7) = 0 0001010 (10) 10

योग्य परिणाम प्राप्त झाले

2.    ए पॉजिटिव्ह आहे, बी ए पेक्षा मोठे परिमाण आणि नकारात्मक आहे. उदाहरणार्थ: 3 + (- 10) = - 7  0 0000011 (डायरेक्ट कोड) + 1 1110101 (व्यस्त नंबर कोड

10) = 1 1111000 (संख्या -7 चे व्यस्त कोड) योग्य परिणाम व्यस्त कोडमध्ये प्राप्त झाला. थेट कोडमध्ये अनुवाद करताना, परिणामाच्या डिजिटल भागाच्या बिट्स उलटे असतात: 1 0000111 = -7 10.

3.   ए सकारात्मक आहे, बी ए पेक्षा कमी परिमाणाने नकारात्मक आणि निरपेक्ष आहे. उदाहरणार्थ: 10 + (- 3) = 7  0 0001010 (प्रत्यक्ष कोड) + 1 1111100 (व्यस्त नंबर कोड

3) = 1 0000110 संगणक सुरुवातीस चुकीचा परिणाम (7 ऐवजी 6) सुधारित करतो. युनिटची रक्कम चिन्हाच्या बिंदूपासून खालच्या क्रमांकापर्यंत खाली हस्तांतरित करते आणि योग्य परिणाम 7 देते.

4.   ए आणि बी नकारात्मक आहेत. उदाहरणार्थ: (-3) + (- 7) = - 10  1 1111100 (परतावा कोड -3) + 1 1111000 (क्रमांक 7 चा परतावा कोड) = 1 1110100. परिणाम सुरुवातीस चुकीचा आहे (उलटाऐवजी नंबर 1111 चा परतावा कोड कोड क्रमांक -10 10) संगणकास युनिट स्थानांतरित करून साइन बिट पासून कमी ऑर्डर रक्कममध्ये स्थानांतरित करते. परिणामी थेट कोडमध्ये अनुवाद करताना, संख्येच्या डिजिटल भागाची बिट्स उलटे केली जातात: 1 0001010 = -10 10.

पूर्णांक जोडणे वापरून व्यवस्थापित केले जाऊ शकते अतिरिक्त कोड. वर चर्चा केलेल्या प्रकरणे देखील येथे आहेत:

1.   ए आणि बी सकारात्मक आहेत. रिव्हर्स कोडसाठी विचारात घेतलेल्या प्रकरण 1 मधील फरक नाही.

2.   ए सकारात्मक आहे, बी ए पेक्षा मोठे परिमाण आहे आणि उदा. 3+ (- 10) = - 7  0 0000011 (डायरेक्ट कोड) + 1 1110110 (संख्या -10 ची अतिरिक्त कोड) = 1 1111001 (संख्याचा अतिरिक्त कोड - 7) अचूक निकाल अतिरिक्त कोडमध्ये प्राप्त केला जातो. थेट कोडमध्ये अनुवाद करताना, परिणामाच्या डिजिटल भागाच्या बिट्स उलटे होतात आणि एक युनिट लोअर ऑर्डरमध्ये जोडली जाते: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -7 10.

3.   ए सकारात्मक आहे, बी ए पेक्षा कमी परिमाणाने नकारात्मक आणि निरपेक्ष आहे. उदाहरणार्थ: 10 + (- 3) = 7  0 0001010 (प्रत्यक्ष कोड) + 1 1111101 (संख्या -3 अतिरिक्त कोड) = 0 0000111. योग्य परिणाम प्राप्त झाला. साइन बिट कॉम्प्यूटरमधून हस्तांतरण एकक.

4.   ए आणि बी नकारात्मक आहेत. उदाहरणार्थ: (-3) + (- 7) = - 10  1 1111101 (अतिरिक्त कोड -3) + 1 1111001 (क्रमांक -7 अतिरिक्त कोड) = 1 1110110 अचूक कोड अतिरिक्त कोडमध्ये प्राप्त झाला. हस्तांतरण एकक  साइन इन संगणकाच्या निर्धारापासून दूर फेकणे.

कोडिंग स्वाक्षरी पूर्णांक दर्शविलेल्या फॉर्मची तुलना दर्शविते:

संगणकास एक नकारात्मक क्रमांक बदलून कमी कोडमध्ये बदल करण्यास कमी वेळ दिला जातो कारण त्यानंतरच्या कोडमध्ये बदल करणे आवश्यक आहे कारण नंतरचे दोन चरण आहेत - व्यस्त कोड तयार करणे आणि त्यातील सर्वात कमी श्रेणीत जोडणे;

अतिरिक्त कोडच्या संख्येसाठी अतिरिक्त अंमलबजावणीचा वेळ त्यांच्या उलट कोडसाठी कमी आहे ,    कारण याव्यतिरिक्त परिणामाच्या बिंदूपासून खालच्या अंकापर्यंत युनिटचे कोणतेही हस्तांतरण नाही.

जोडताना, एखादी परिस्थिती उद्भवू शकते जेव्हा ऑपरेशनच्या परिणामाच्या वरच्या बिट्स तिच्यासाठी वाटलेल्या मेमरी एरियामध्ये फिट होत नाहीत. ही परिस्थिती म्हणतात संख्या स्वरूप संख्या अंक ग्रिड ओव्हरफ्लो.  ओव्हरफ्लो ओळखण्यासाठी आणि संगणकातील त्रुटीबद्दल सूचित करण्यासाठी विशेष साधने वापरली जातात.

बर्याच संगणकांमध्ये गुणाकार  जोड आणि शिफ्ट अनुक्रम म्हणून उत्पादित. त्यासाठी, एएलयू आहे नोंदणी करा, ज्याला संचयक जोडणारा म्हणतात, ऑपरेशनच्या सुरूवातीस शून्य संख्या असते. ऑपरेशन करण्याच्या प्रक्रियेत, तो वैकल्पिकरित्या त्यात ठेवला जातो. बहुगुणित  आणि मध्यवर्ती अतिरिक्त परिणाम, आणि ऑपरेशन पूर्ण झाल्यावर - अंतिम परिणाम.

या ऑपरेशनमध्ये सहभागी होणारी आणखी एक एएलयू रजिस्टर प्रथम गुणक आहे. नंतर, आपण जोडणी करता तेव्हा, शून्यतेपर्यंत येईपर्यंत ती संख्या कमी होते.

संगणकासाठी विभाग एक कठीण ऑपरेशन आहे. सहसा ते डिव्हिडंडमध्ये अतिरिक्त विभक्त कोडमध्ये वारंवार जोडून लागू केले जाते.

4.3. संगणकात वास्तविक संख्या प्रतिनिधित्व

गणितीय गणनेमधील वास्तविक संख्यांची प्रणाली सतत आणि अनंत असल्याचे मानली जाते, म्हणजे. संख्येची श्रेणी आणि अचूकता मर्यादित नाही. तथापि, संगणकांमध्ये, संख्या रेजिस्टर्समध्ये आणि मर्यादित संख्येसह मेमरी सेल्समध्ये संग्रहित केली जाते. परिणामी, मशीनमध्ये दर्शविलेल्या वास्तविक संख्यांची प्रणाली स्वतंत्र (बंद होणे) आणि मर्यादित असते. सामान्य कॉमाऐवजी प्रोग्राम्समध्ये वास्तविक संख्या लिहिताना, एक कालावधी ठेवणे प्रथा आहे.

पीसीमध्ये, दोनपैकी एक फॉर्ममध्ये संख्या सादर केल्या जाऊ शकतात:

1) निश्चित बिंदूसह - नैसर्गिक स्वरूपात (0.00345 एक अचूक अपूर्णांक आहे, 1.23456 अनुचित अपूर्णांक आहे)

2) एका फ्लोटिंग बिंदूसह (कॉमा) (555.55 = 55555 10 -2 = 0.55555 10 3)

वास्तविक संख्या प्रदर्शित करण्यासाठी, एकतर खूप लहान किंवा खूप मोठी असू शकते, संख्या प्रणालीच्या आधारासह रेकॉर्डिंग नंबरचे स्वरूप वापरा. कोणताही आकडा ए घातांक स्वरुपात दर्शविला जाऊ शकतो:

जेथे एम हे संख्येचे मंत्र आहे, q ही संख्या प्रणालीचा आधार आहे. n ही संख्या क्रम आहे.

संगणकाचे विज्ञान मूलभूत मानले जाते आणि आधुनिक पीसी हार्डवेअरचे वर्णन केले जाते. माहितीविज्ञान क्षेत्रात मूलभूत संकल्पनांची परिभाषा तयार केली आहे आणि त्यांची सामग्री उघड केली आहे. आधुनिक पीसी हार्डवेअरचे वर्गीकरण दिले जाते आणि त्यांची मुख्य वैशिष्ट्ये दिली जातात. सर्व मुख्य तरतूदी उदाहरणे देऊन स्पष्ट केल्या आहेत ज्यात विशिष्ट समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी योग्य सॉफ्टवेअरचा वापर केला जातो.

पुस्तकः

या पृष्ठावरील विभागः

बायनरी नंबर सिस्टममध्ये संगणकावर अंकीय डेटा संसाधित केला जातो. संगणकाच्या मेमरीमध्ये क्रमांक बायनरी कोडमध्ये संग्रहित केले जातात, म्हणजे झीरो आणि अनुक्रमांच्या क्रमाने आणि निश्चित किंवा फ्लोटिंग बिंदूसह स्वरुपात दर्शविले जाऊ शकते.

इंटेझर्स निश्चित-बिंदू स्वरूपनात संग्रहित केले जातात. संचयित करण्यासाठी या नंबरचे स्वरूपन संपूर्ण गैर-ऋणात्मक संख्याआवंटित मेमरी रजिस्टर, यात आठ मेमरी सेल्स (8 बिट्स) असतात. मेमरी सेलचा प्रत्येक अंक नेहमीच संख्येच्या समान अंकांशी जुळतो आणि स्वल्प-क्रम संख्या आणि बिट ग्रिडच्या बाहेर कॉमा उजवीकडे स्थित असतो. उदाहरणार्थ, 11001101 2 क्रमांक मेमरी रजिस्टरमध्ये खालीलप्रमाणे साठवले जाईल:

नॉननेगेटिव्ह इंटिजरची जास्तीत जास्त किंमत जी स्थिर-बिंदू स्वरूपात नोंदणीमध्ये संग्रहित केली जाऊ शकते ती सूत्रानुसार निर्धारित केली जाऊ शकते: 2 एन -1 कुठे एन -संख्येच्या अंकांची संख्या. कमाल संख्या 2 8 - 1 = 255 10 = 11111111 2 आणि किमान 0 10 = 00000000 2 प्रमाणे असेल. अशा प्रकारे, नॉन-रेग्युलर इंटिजर बदलण्याचे श्रेय 0 ते 255 10 पर्यंत असेल.

बायनरी अंक प्रणालीमधील दशांश प्रणालीच्या विरूद्ध, जेव्हा बायनरी संख्या संगणकीकृत केली जाते, तेथे चिन्हांचे चिन्ह दर्शविणारे कोणतेही चिन्ह नाहीत: सकारात्मक (+) किंवा नकारात्मक (-); म्हणूनच, प्रतिनिधित्व करणे चिन्हांकित पूर्णांकबायनरी सिस्टिम नंबरचे प्रतिनिधीत्व करण्यासाठी दोन स्वरूपांचा वापर करतो: स्वाक्षरी केलेल्या मूल्याचे स्वरूप आणि अतिरिक्त कोडचे स्वरूप. प्रथम प्रकरणात, दोन मेमरी रेजिस्टर्स (16 बिट्स) आवंटित केलेल्या अंकीयसाठी संचयित केले जातात, अग्रगण्य अंक (डावीकडील) संख्याच्या चिन्हाखाली वापरल्या जात आहेत: जर संख्या सकारात्मक असेल तर 0 निनावी असल्यास, चिन्हाच्या चिन्हात लिहिले आहे. , मेमरी रेजिस्टर्समध्ये 536 10 = 0000001000011000 2 दर्शविला जाईल:

आणि ऋणात्मक संख्या -536 10 = 1000001000011000 फॉर्ममध्ये आहे:

चिन्हांसह संख्येच्या मूल्याच्या स्वरूपात जास्तीत जास्त सकारात्मक क्रमांक किंवा किमान नकारात्मक (चिन्हाखालील एक अंकी प्रतिनिधित्व दर्शविणे) हे समतुल्य आहे 2 एन -1  - 1 = 2 16-1 - 1 = 2 15 - 1 = 32767 10 = 111111111111111 2 आणि संख्येची श्रेणी -32767 10 ते 32767 च्या दरम्यान असेल.

बर्याचदा बायनरी कोड स्वरुपात बायनरी सिस्टीममध्ये स्वाक्षरी केलेल्या पूर्णांक दर्शविण्यासाठी वापरला जातो, जो एका संगणकामध्ये अंकगणित घटनेच्या ऑपरेशनला एक अतिरिक्त ऑपरेशनसह बदलण्याची अनुमती देते जे मायक्रोप्रोसेसरची संरचना सुलभ करते आणि तिचा वेग वाढवते.

या स्वरूपात नकारात्मक पूर्णांक प्रस्तुत करण्यासाठी, एक अतिरिक्त कोड वापरला जातो, ज्याचा ऋणात्मक संख्या शून्य वर जोडला जातो. संपूर्ण निगमाचे संपूर्ण कोड एका अतिरिक्त कोडमध्ये खालील ऑपरेशन्सद्वारे केले जातात:

1) डायरेक्ट कोडच्या संख्येचा मॉड्यूल लिहा एन (एन =16) बायनरी अंक;

2) संख्येचा व्यस्त कोड प्राप्त करा (संख्येच्या सर्व अंक उलटा, म्हणजे सर्व शून्य एकक आणि शून्यसह शून्य).

3) प्राप्त झालेल्या रिव्हर्स कोडवर निम्न क्रमाने युनिट जोडा.

उदाहरणार्थ, या स्वरूपातील संख्या -536 10 साठी, मॉड्यूल 0000001000011000 2 असेल, परतावा कोड 111111011111100111 असेल आणि अतिरिक्त कोड 111111011110101000 असेल. आम्ही कॅल्क्युलेटर वापरुन अतिरिक्त कोडचा प्राप्त मूल्य तपासू. हे करण्यासाठी, क्रमांक -536 10 च्या मॉड्यूलसचे मूल्य प्रविष्ट करा, म्हणजे नंबर 536 10 आणि वैकल्पिक बटण वापरून बिन  पूर्वीचे पर्याय स्थापित करण्यापूर्वी, बायनरी सिस्टीममध्ये दशांश संख्या प्रणालीमध्ये दर्शविलेले हा नंबर रूपांतरित करा 2 बाइट्स  बटण दाबून नाही  कॅल्क्युलेटर, आम्ही संख्येचा व्यस्त कोड प्राप्त करतो आणि परतावा कोडमध्ये एक बायनरी जोडतो - एक अतिरिक्त कोड. अंतिम परिणाम प्रोग्रामच्या कॅल्क्युलेटर विंडोमध्ये (Fig. 2.6) प्राप्त केला जाईल. आपण अगदी सोपे करू शकता: कॅलक्युलेटरवरील संख्या -536 10 डायल करून आणि बटण सक्रिय करणे बिनबायनरी नंबर सिस्टममध्ये या नंबरचा अतिरिक्त कोड मिळवा.

अंजीर 2.6. अतिरिक्त कोड मिळण्याचे परिणाम

हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की एक सकारात्मक संख्याचा अतिरिक्त कोड ही संख्या आहे.

16-बिट कॉम्प्यूटर नूतनीकरणाच्या व्यतिरिक्त स्वाक्षरी पूर्णांक संचयित करण्यासाठी, जेव्हा दोन मेमरी रेजिस्टर्स वापरतात (या नंबर स्वरुपास स्वाक्षरी केलेले लघु पूर्णांक स्वरूप देखील म्हटले जाते), मध्य आणि दीर्घ स्वाक्षरी पूर्णांक स्वरूप वापरली जातात. चार रेजिस्टर्स (4 x 8 = 32 बिट) सरासरी फॉर्मेटमध्ये संख्या दर्शविण्यासाठी वापरल्या जातात आणि आठ रेजिस्टर्स (8 x 8 = 64 बिट्स) दीर्घ संख्या स्वरुपात संख्या दर्शविण्यासाठी वापरले जातात. मध्यम आणि मोठ्या संख्येच्या स्वरूपनासाठी मूल्यांचे श्रेण्या अनुक्रमे समान असतील: - (2 31 - 1) ... + 2 31 - 1 आणि - (2 63 -1) ... + 2 63 - 1.

फिक्स्ड-पॉईंट स्वरूपातील संख्यांचे संगणकाचे प्रतिनिधित्व त्याचे फायदे आणि तोटे आहेत. अंकगणित ऑपरेशन्सच्या अंमलबजावणीसाठी संख्या आणि अल्गोरिदमच्या सादरीकरणांमध्ये फायद्यांचा समावेश असतो, तो परिणाम संख्यांच्या प्रस्तुतीची मर्यादित श्रेणी आहे, जी अनेक व्यावहारिक समस्यांचे निराकरण करण्यास पुरेसा नाही (गणितीय, आर्थिक, भौतिक इ.).

वास्तविक क्रमांक (मर्यादित आणि अनंत दशांश अपूर्णांक) एका फ्लोटिंग पॉईंट स्वरूपात संगणकात संसाधित आणि संग्रहित केले जातात. या स्वरूपनासह, रेकॉर्डमधील स्वल्पविरामांची स्थिती भिन्न असू शकते. कोणतीही वास्तविक संख्या केफ्लोटिंग-पॉइंट स्वरूपात खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते:

कुठे अ -मंटिसा क्रमांक; एच -आधार क्रमांक प्रणाली; पी -संख्या ऑर्डर.

दशांश संख्या प्रणालीसाठी अभिव्यक्ती (2.7) फॉर्म घेते:

बायनरीसाठी

ऑक्टल साठी

हेक्साडेसिमलसाठी -

संख्येचे प्रतिनिधित्व करण्याचे हे स्वरूप सामान्य देखील म्हटले जाते. क्रमातील बदलासह, संख्येतील बदलांमध्ये स्वल्पविराम, म्हणजे, ती डावीकडून किंवा उजवीकडे उडते. म्हणूनच, प्रतिनिधींची संख्या दर्शविण्याचा सामान्य फॉर्म म्हणजे फ्लोटिंग पॉइंट फॉर्म. 15.5 ची दशांश संख्या, उदाहरणार्थ, फ्लोटिंग-पॉइंट स्वरूपात खालील स्वरुपात दर्शविले जाऊ शकते: 0.155 · 10 2; 1.55 · 10 1; 15.5 · 10 0; 155.0 · 10 -1; 1550.0 · 10 -2, इत्यादी. संगणक प्रोग्राम लिहिताना आणि संगणकात प्रवेश करताना 15.5 फ्लोटिंग बिंदूचा दशांश नमुना वापरला जात नाही (संगणक इनपुट डिव्हाइसेस केवळ रेखीय डेटा रेकॉर्डिंग जाणतात). या आधारावर, दशांश संख्या दर्शविणारी अभिव्यक्ती (2.7) आणि त्यास संगणकात प्रविष्ट करा फॉर्ममध्ये रुपांतरीत केली जाते

कुठे आर -संख्या ऑर्डर

म्हणजे, संख्या 10 च्या आधारावर ते पत्र लिहून घेतात ई,कॉमाऐवजी - एक बिंदू, आणि गुणाकार चिन्ह ठेवले जात नाही. अशा प्रकारे, फ्लोटिंग बिंदू आणि रेखीय रेकॉर्ड (संगणक प्रतिनिधित्व) असलेल्या स्वरूपनात 15.5 संख्या फॉर्ममध्ये लिहिली जाईल: 0.155Е2; 1.55 ई 1; 15.5E0; 155.0 ई -1; 1550.0 ई -2, इ.

संख्या प्रणालीकडे दुर्लक्ष करून, कोणत्याही फ्लोटिंग पॉइंट फॉर्मची संख्या अनंत संख्येद्वारे दर्शविली जाऊ शकते. रेकॉर्डिंगचा हा फॉर्म सामान्य नसलेला आहे. फ्लोटिंग-पॉईंट नंबरचे अनन्य रूपाने प्रतिनिधित्व करण्यासाठी, सामान्य स्वरूपाचा लिखित स्वरुपन वापरा, ज्यामध्ये संख्यातील मंत्रिस्तरीय अटी पूर्ण करणे आवश्यक आहे.

कुठे | ए -  मंथिसा क्रमांकाचे पूर्ण मूल्य.

स्थिती (2.9) म्हणजे मंतासाचा नियमित भाग असणे आवश्यक आहे आणि दशांश बिंदू नंतर शून्य-शून्य क्रमांक असणे आवश्यक आहे किंवा दुसऱ्या शब्दात, जर मंटिसमधील दशांश बिंदू गैर-शून्य असेल तर त्यास सामान्यीकृत असे म्हटले जाते. अशा प्रकारे, फ्लोटिंग बिंदूच्या रूपात सामान्यीकृत स्वरूपात 15.5 (सामान्यीकृत मंदीस) क्रमांक 15.5 असे दिसेल: 0.155 · 10 2, म्हणजे सामान्यीकृत मंदीसा अ  = 0.155 आणि ऑर्डर आर  = 2, किंवा 0.155E2 क्रमांकाची संगणकीय प्रतिक्षेत.

एका फ्लोटिंग कॉमाच्या स्वरूपात संख्या निश्चित स्वरुपात असतात आणि संगणकाच्या मेमरीमध्ये चार (32 बिट्स) किंवा आठ बाइट्स (64 बिट्स) व्यापतात. जर संगणकाच्या मेमरीमध्ये 32 अंकांचा क्रमांक असेल तर हा सामान्य अंक आहे, जर तो 64 अंक असेल तर हा एक दुहेरी परिशुद्धता क्रमांक असेल. फ्लोटिंग पॉईंट नंबर लिहिताना, मित्सिसा चिन्ह, ऑर्डर चिन्हा, मंथिसा चिन्ह आणि ऑर्डर संग्रहित करण्यासाठी बिट्स वाटप केले जातात. संख्येच्या क्रमाने नियुक्त केलेल्या अंकांची संख्या, संख्यातील फरकांची श्रेणी निर्धारित करते आणि मंटिसा साठविण्यासाठी बाजूला सेट केलेल्या अंकांची संख्या निर्धारित करते, ज्या संख्येस संख्या सेट केली जाते.

फ्लोटिंग पॉईंट स्वरूपात दर्शविलेल्या अंकांवरील अंकगणित ऑपरेशन्स (जोड आणि घट) क्रिया करताना, खालील प्रक्रिया (अल्गोरिदम) लागू केली गेली आहे:

1) अंकगणित ऑपरेशन्स केल्या गेलेल्या संख्येचे ऑर्डर गठित केले जातात (पूर्ण मूल्यातील लहान क्रमांकाचे क्रम मोठ्या संख्येच्या क्रमाने वाढते, त्याच वेळेस मंत्रिसि कमी होते);

2) अंकगणित ऑपरेशन्स संख्यांच्या मंत्रिसिपीवर केले जातात;

3) प्राप्त परिणाम सामान्य आहे.

आपण उपरोक्त उदाहरणे समजावून सांगूया.

आम्ही फ्लोटिंग-पॉइंट फॉरमॅटमध्ये 0.5, 10 2 आणि 0.8 · 10 3 दोन संख्यांचा समावेश करतो.

निर्णय

चला ऑर्डरचे संरेखन आणि मंटिसचा समावेश 0.05 · 10 3 + 0.8 · 10 3 = 0.85 · 10 3. मिळालेली मंजिसिया 0.85 सामान्य आहे, कारण ती स्थिती (2.9) पूर्ण करते.

फ्लोटिंग कॉमाच्या स्वरूपात दोन अंकांची संख्या 0,1 · 2 2 आणि 0,1 · 2 3 जोडा.

निर्णय

चला ऑर्डरचे संरेखन आणि मंटिसचा समावेश करू: 0.01 · 2 3 + 0.1 · 2 3 = 0.11 · 2 3. परिणामी 0.11 मंतासा सामान्य आहे, कारण ती स्थिती (2.9) पूर्ण करते.

गणिताच्या गणनेमधील प्रत्यक्ष संख्या संख्या दर्शविण्याच्या श्रेणी आणि अचूकतेवर कोणतेही निर्बंध नाहीत. तथापि, संगणकांमध्ये, संख्या रेजिस्टर्समध्ये आणि मर्यादित संख्येसह मेमरी सेल्समध्ये संग्रहित केली जाते. म्हणून अचूकता  प्रतिनिधीत्व   वास्तविक संख्याकारमध्ये दर्शविण्यायोग्य मर्यादित आहे आणि श्रेणी मर्यादित आहे.

सामान्य कॉमाऐवजी प्रोग्राम्समध्ये वास्तविक संख्या लिहिताना, एक कालावधी ठेवणे प्रथा आहे. संख्या प्रणालीच्या आधारावर कोणत्याही वास्तविक क्रमांकास लेखन संख्या स्वरुपात दर्शविले जाऊ शकते.

उदाहरण 4.4.  संख्या प्रणालीच्या आधारावर रेकॉर्डिंग नंबरच्या स्वरूपात दशांश संख्या 1.756 खालीलप्रमाणे दर्शविली जाऊ शकते:

1.756 . 10 0 = 0.1756 . 10 1 = 0.01756 . 10 2 = ...

17.56 . 10 -1 = 175.6 . 10 -2 = 1756.0 . 10 -3 = ... .

फ्लोटिंग बिंदू प्रतिनिधित्व संख्येचे प्रतिनिधित्व म्हटले जाते एन   बेस सह संख्या प्रणाली मध्ये क्यू   च्या स्वरूपात :

एन = एम *. क्यू पी ,

कुठे मी - अंकांचे सर्व अंक (मंटिसा) असलेले गुणक, पी   ऑर्डर म्हणतात एक पूर्णांक आहे.

प्रथम महत्त्वपूर्ण अंकापूर्वी मंतासामध्ये "फ्लोटिंग" पॉइंट असेल तर, मंटिससाठी राखीव निश्चित अंकांची संख्या, संख्येच्या महत्त्वपूर्ण अंकांची संख्या रेकॉर्ड केली जाऊ शकते, म्हणजे कारमधील नंबरचे प्रतिनिधीत्व करण्यासाठी जास्तीत जास्त अचूकता.

जर मंटिसमध्ये पॉइंट (कॉमा) नंतरचा पहिला अंक शून्य असेल तर हा नंबर कॉल केला जातो सामान्य .

मंटिसा आणि ऑर्डर क्यू -अनुक्रमांक सामान्यत: बेससह सिस्टममध्ये रेकॉर्ड केला जातो क्यू , आणि आधार स्वतः दशांश प्रणालीमध्ये आहे.

उदाहरण 4.5.  दशांश सिस्टीममधील संख्येच्या सामान्यीकृत प्रतिमेचे उदाहरण देऊ या.

2178.01 =0.217801 * 10 4

0.0045 =0.45 * 10 -2

बायनरी उदाहरणे

10110.01 = 0.1011001 * 2 101 (ऑर्डर 101 2 = 5 10)

आधुनिक संगणक अनेक आंतरराष्ट्रीय मानक स्टोरेज स्वरूपनांना फ्लोटिंग-पॉइंट वास्तविक संख्येस समर्थन देतात जे अचूकतेमध्ये भिन्न असतात परंतु त्या सर्वांचे समान संरचना असते. वास्तविक क्रमांक तीन भागांत संग्रहित केला जातो: मंटिसाचे चिन्ह, शिफ्ट केलेले आदेश आणि मंटिसा चिन्ह:

ऑफसेट ऑर्डर एन-सामान्यीकृत संख्येची गणना खालीलप्रमाणे केली आहे: ऑर्डरच्या कार्यासाठी तो हायलाइट केलेला असेल तर के  बिट्स, नंतर अतिरिक्त कोडमध्ये सादर केलेल्या ऑर्डरचे खरे मूल्य, (2 के -1 -1) च्या समान ऑफसेट जोडा.

अशा प्रकारे, श्रेणीस -128 पासून +127 पर्यंत श्रेणीमध्ये मूल्य घेते त्यास 0 ते 255 च्या श्रेणीतील ऑफसेट ऑर्डरमध्ये रूपांतरित केले जाते. ऑफसेट ऑर्डर एका सिनigned नंबर म्हणून संग्रहित केली जाते जे ऑर्डरची तुलना, जोड आणि घट कमी करते आणि तुलना ऑपरेशन सुलभ करते. सामान्यीकृत संख्या स्वतः.

ऑर्डरसाठी वाटप केलेल्या संख्येची संख्या लहान नॉन-शून्य क्रमांकावरील श्रेणीला दिलेल्या स्वरूपासाठी कारमध्ये दर्शविल्या जाणाऱ्या सर्वात मोठ्या संख्येस प्रभावित करते. स्पष्टपणे, मंटिसाला दिलेले अधिक अंक, संख्या दर्शविण्याच्या अचूकतेपेक्षा जास्त. सामान्यीकृत वास्तविक संख्यांमध्ये मँन्टासाचा उच्च भाग नेहमीच 1 असतो, हे उच्च बिंदू स्मृतीमध्ये साठवले जात नाही.

सर्वात जास्त असलेली कोणतीही बायनरी पूर्णांक मी  डिस्चार्जस विकृतीशिवाय वास्तविक स्वरुपात रुपांतरीत केले जाऊ शकतात.

तक्ता 4.3. वास्तविक संख्या दर्शविण्यासाठी मानक स्वरूप

उदाहरण 4.6.एका स्वरूपात सामान्यीकृत संख्यांचे प्रतिनिधित्व.

आम्ही 37.16 10 क्रमांकाची संचयित कशी होईल याचे उदाहरण देतो. बायनरी नंबरवर रुपांतरित करताना, अचूक अनुवाद 100101, (00101000111101011100) अयशस्वी होते - ब्रॅकेटमध्ये संलग्न असलेली आंशिक भाग कालावधीमध्ये पुनरावृत्ती होते.

आम्ही संख्या सामान्यीकृत स्वरूपात अनुवादित करतो: 0.100101 (0010100011110101010000) * 2,110

32-बिट स्वरूपात वास्तविक संख्या कल्पना करा:

1. "+" क्रमांकाचे चिन्ह, म्हणून, साईन बिटमध्ये (31) आम्ही 0 प्रविष्ट करतो;

2. ऑर्डर सेट करण्यासाठी, 8 बिट्स आवंटित केले जातात, अतिरिक्त कोडमध्ये दर्शविलेल्या ऑर्डरच्या खरे मूल्यावर, आम्ही ऑफसेट (2 7 -1) = 127 जोडतो. ऑर्डर सकारात्मक असल्याने, थेट ऑर्डर कोड अतिरिक्त एकासह जुळतो, आम्ही शिफ्ट केलेल्या ऑर्डरची गणना करतो: 00000110 + 01111111 = 10000101

आम्ही परिणामी शिफ्ट ऑर्डर प्रविष्ट.

3. आम्ही मंथिसा आणतो, मन्तीसाच्या उच्च क्रमाने काढताना (हे नेहमीच 1 सारखेच असते);

या उदाहरणात, आम्ही फक्त 24 अंक स्थानांतरीत करण्यास सक्षम होते, बाकीची संख्या संख्या दर्शविण्यामध्ये अचूकतेच्या तोटासह गमावली.

इंटेगर्स हे सर्वात साधे अंकीय डेटा आहे ज्याद्वारे संगणक कार्यरत आहे. पूर्णांकांकरिता, दोन प्रस्तुतीकरण आहेत: अनशोधित (केवळ नॉन-नॅशनल इंटिजरसाठी) आणि स्वाक्षरीकृत. हे स्पष्ट आहे की ऋण संख्या केवळ प्रतीकात्मक स्वरुपात दर्शविली जाऊ शकते. कॉम्प्यूटरमध्ये इंटेगर्स साठवले जातात निश्चित बिंदू स्वरूप.

• निरक्षर पूर्णांक प्रकारांमध्ये पूर्णांकांचे प्रतिनिधित्व.

  एका निरुपयोगी निक्षेपासाठी, सेलच्या सर्व बिट्स नंबरचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी नियुक्त केले जातात. उदाहरणार्थ, बाइट (8 बिट्स) मध्ये, 0 ते 255 मधील अप्रमाणित संख्या दर्शविल्या जाऊ शकतात. म्हणूनच, जर ज्ञात असेल की अंकीय मूल्य नॉन-नेगेटिव्ह असेल तर ते अप्रमाणित म्हणून विचारात घेणे चांगले आहे.

  स्वाक्षरी पूर्णांक प्रकारांमध्ये पूर्णांकांचे प्रतिनिधित्व.  स्वाक्षरी केलेल्या निदर्शनासाठी, सर्वात महत्त्वपूर्ण (डावी) बिट संख्याच्या चिन्हावर दिलेला आहे, उर्वरित अंक स्वत: च्या संख्येस. जर संख्या सकारात्मक असेल तर, शून्य असल्यास चिन्ह बिंदूमध्ये ठेवला आहे - 1. उदाहरणार्थ, बाइटमध्ये, आपण -128 ते 127 पर्यंत स्वाक्षरी केलेल्या क्रमांकांचे प्रतिनिधीत्व करू शकता.

  डायरेक्ट कोड क्रमांक.  नेहमीच्या फॉर्म "चिन्ह" - "मूल्य" मधील संख्येचे प्रतिनिधित्व, ज्यामध्ये सेलचा उच्च-मागणी कक्ष साइनवर नियुक्त केला जातो आणि उर्वरित - बायनरी सिस्टीममध्ये नंबर लिहिण्यासाठी, त्याला म्हणतात थेट कोड बायनरी क्रमांक. उदाहरणार्थ, 8-बिट सेलसाठी बायनरी क्रमांक 1001 आणि -1001 चे प्रत्यक्ष कोड अनुक्रमे 00001001 आणि 10001001 आहे. कॉम्प्यूटरमधील सकारात्मक संख्या नेहमी थेट कोड वापरुन दर्शविल्या जातात. संख्येचा थेट कोड मशीनच्या सेलमध्ये नंबरच्या रेकॉर्डसह पूर्णपणे जुळतो. निगेटिव्ह सिग्नलचा डायरेक्ट कोड फक्त चिन्हाच्या सामुग्रीद्वारे संबंधित सकारात्मक क्रमांकाच्या थेट कोडपेक्षा वेगळा असतो. परंतु एका कॉन्ट्रॅक्टमध्ये रेग्युलर इंटीगर्स एका थेट कोडद्वारे दर्शविले जात नाहीत, तथाकथित अतिरिक्त कोड. अतिरिक्त कोड   सकारात्मक क्रमांक या संख्येच्या थेट कोडच्या बरोबरीचा आहे. नकारात्मक संख्या एमचा अतिरिक्त कोड 2 के - | एम | असतो, जेथे सेलमध्ये अंकांची संख्या आहे. आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, एका निरुपयोगी स्वरूपात नॉन-रेगेटिव्ह नंबरचे प्रतिनिधीत्व करीत असताना, सेलच्या सर्व अंकांची संख्या स्वतःस दिली जाते. उदाहरणार्थ, एका बिटामध्ये नसलेल्या प्रतिमेसह 243 = 11110011 क्रमांक लिहून असे दिसेल:

चिन्हासह पूर्णांक दर्शविते तेव्हा अग्रगण्य (डावी) अंक संख्या चिन्हावर नियुक्त केला जातो आणि वास्तविक संख्या एक अंक कमी राहते. म्हणून, जर उपरोक्त सेल स्थिती एका स्वाक्षरी केलेल्या पूर्णांक संख्या म्हणून मानली गेली तर, या सेलमधील संगणकासाठी नंबर -13 (243 + 13 = 256 = 28) रेकॉर्ड केला आहे. परंतु त्याच बिघाड संख्येस 16 बिट्सच्या सेलमध्ये लिहिल्यास, त्याप्रमाणे सेलची सामग्री खालीलप्रमाणे असेल:

संख्या प्रतिनिधित्व

गणित संख्या

संख्या गणितची सर्वात महत्वाची संकल्पना आहे, जी मानवी इतिहासाच्या दीर्घ कालावधीत विकसित आणि विकसित झाली आहे. आदिवासी काळापासून लोकांची संख्या वाढू लागली. सुरुवातीला, एक व्यक्ती फक्त सकारात्मक पूर्णांकांवर कार्यरत होता, ज्याला नैसर्गिक संख्या असे म्हटले जाते: 1, 2, 3, 4 ... ... बर्याच काळापासून असे मानले गेले की "मानवी मनाच्या पलीकडे तर्क करण्यापेक्षा कारण जास्त आहे" .

गणिती विज्ञानाच्या विकासामुळे निष्कर्ष आला की सर्वात मोठा क्रमांक नाही. गणितीय दृष्टीकोनातून, नैसर्गिक संख्यांची मालिका अनंत आहे, म्हणजे. अमर्याद गणितातील ऋणात्मक संख्येच्या संकल्पनेचा उदय झाल्याबरोबर (आर. डेस्कार्टेस, युरोपमधील इक्कीसवीस शतक; भारतात, बरेच आधी) असे दिसून आले की पूर्णांकांचा संच "डावी" आणि "उजवी" दोन्ही असीमित आहे. पूर्णांकांची गणितीय संच स्वतंत्र आणि अमर्यादित (अनंत) आहे.

वास्तविक (किंवा वास्तविक) संख्याची संकल्पना 18 व्या शतकात आयझॅक न्यूटनने गणितामध्ये मांडली. गणितीय दृष्टिकोनातून वास्तविक संख्यांचा संच अनंत आणि सतत असतो. यात बर्याच पूर्णांक आहेत आणि अन्य अविभाज्य नॉन-इंटिजर आहेत. संख्या अक्षावरील कोणत्याही दोन बिंदूंमध्ये वास्तविक संख्या असीम संच आहे. वास्तविक संख्येची संकल्पना सतत संख्यात्मक अक्षाच्या कल्पनाशी निगडीत असते जी कोणत्याही बिंदूवर वास्तविक संख्येशी जुळते.

पूर्णांक प्रस्तुत करणे

संगणकाच्या मेमरीमध्ये बायनरी नोटेशनमध्ये संख्या साठवल्या जातात  (पहा " संख्या प्रणाली"2). कॉम्प्यूटरमधील इंटिजरचे प्रतिनिधीत्व करण्यासाठी दोन फॉर्म आहेत: अनोझिड इंटेजर्स आणि स्वाक्षरी केलेल्या पूर्णांक.

अनिश्चित पूर्णांक - हे आहे श्रेणीतील बर्याच सकारात्मक संख्या  कुठे के- हे संख्येसाठी आवंटित केलेल्या मेमरी सेलची रुंदी आहे. उदाहरणार्थ, जर 16 बिट्स (2 बाइट्स) आकार असलेली मेमरी सेल एक पूर्णांकसाठी वाटप करण्यात आली असेल तर सर्वोच्च संख्या असेल:

दशांश संकेतामध्ये, हे अनुरुप आहे: 2 16 - 1 = 65 535

जर सेलचे सर्व अंक शून्य असतील तर ते शून्य असेल. अशा प्रकारे, 16-बिट सेलमध्ये 2 16 = 65 536 पूर्णांक असतात.

चिन्हांकित पूर्णांक  श्रेणीमध्ये सकारात्मक आणि नकारात्मक संख्यांचा संच आहे[–2  के –1 , 2  के  -1 - 1]. उदाहरणार्थ, जेव्हा के  = 16 पूर्णांकांची श्रेणी: [-32 768, 32 767]. मेमरी सेल्सचा उच्च बिंदू संख्या चिन्ह दर्शवितो: 0 हा एक सकारात्मक क्रमांक आहे, 1 एक नकारात्मक क्रमांक आहे. सर्वात मोठा क्रमांक 32,767 खालील नमुन्यात आहे:

उदाहरणार्थ, बायनरी नंबर सिस्टममध्ये हस्तांतरित केल्यानंतर आणि 16-बिट मेमरी सेलमध्ये लिहून ठेवल्यानंतर दशांश संख्या 255, खालील अंतर्गत प्रतिनिधित्व असेल:

अतिरिक्त कोडमध्ये नकारात्मक पूर्णांक दर्शविले जातात. अतिरिक्त कोड  सकारात्मक संख्या एन  - ते आहे त्याचे बायनरी प्रतिनिधित्व आहे, जे एन क्रमांक कोडसह जोडल्यास मूल्य देते 2  के. येथे के  - मेमरी सेलमधील अंकांची संख्या. उदाहरणार्थ, संख्या 255 साठीचा अतिरिक्त कोड खालील प्रमाणे आहे:

हे ऋणात्मक संख्या -255 चे प्रतिनिधित्व आहे. संख्या 255 आणि -255 कोड जोडा:

उच्च-मागणीतील एकक सेलच्या "बाहेर पडले", म्हणून सममूल्य शून्य असल्याचे दिसून आले. पण हे असावे: एन + (–एन) = 0. संगणक प्रोसेसर घटनेच्या ऑपरेशनला घटलेल्या संख्येच्या अतिरिक्त कोडसह जोड म्हणून कार्य करते. त्याच वेळी, सेल ओव्हरफ्लो (मर्यादा मूल्यांच्या पलिकडे जाऊन) प्रोग्राम अंमलबजावणीमध्ये व्यत्यय आणत नाही. हा परिस्थिति प्रोग्रामरला माहित असणे आवश्यक आहे!

संगणकात वास्तविक संख्या दर्शविण्याची स्वरूपन  म्हणतात फ्लोटिंग बिंदू स्वरूप. वास्तविक संख्या आर  एक मंतासाच्या स्वरूपात सादर मी संख्या प्रणालीवर आधारित एन  काही प्रमाणात पीज्याला ऑर्डर म्हणतात: आर= मी * एन पी.

फ्लोटिंग पॉइंट नंबरचे प्रतिनिधित्व अस्पष्ट आहे. उदाहरणार्थ, दशांश संख्या 25,324 साठी, पुढील समीकरण खरे आहेत:

25.324 = 2.5324 * 10 1 = 0.0025324 * 10 4 = 2532.4 * 10 -2 इ.

अस्पष्टता टाळण्यासाठी आम्ही संगणक वापरण्यास सहमत झालो फ्लोटिंग पॉइंट नंबरचे सामान्य प्रतिनिधित्व. मन्तिसा  सामान्य नमुन्यात या अटी पूर्ण करणे आवश्यक आहे: 0,1   एन मी < 1  एन. दुसऱ्या शब्दात, मंतासा एकापेक्षा कमी आहे आणि प्रथम महत्त्वपूर्ण आकृती शून्य नाही. काही बाबतीत, सामान्यीकरण स्थिती खालीलप्रमाणे घेतली जाते: 1   एन मी < 10  एन.

मध्ये संगणक मेमरी मंटिसा केवळ एक महत्त्वपूर्ण अंक असलेला पूर्णांक म्हणून प्रस्तुत केला आहे  (0 संपूर्ण आणि स्वल्पविरामाने संग्रहित नाहीत). म्हणून, वास्तविक संख्येचे अंतर्गत प्रतिनिधित्व पूर्णांकांच्या जोडीचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी कमी केले जाते: मंटिसा आणि ऑर्डर.

वेगवेगळ्या प्रकारचे संगणक वेगवेगळ्या फ्लोटिंग बिंदूची संख्या दर्शवितात. चार-बाइट मेमरी सेलमध्ये वास्तविक संख्येच्या अंतर्गत प्रतिमेचे एक प्रकार विचारात घ्या.

सेलमध्ये संख्येबद्दल खालील माहिती असली पाहिजे: संख्या, क्रम आणि मंटिसाचे महत्त्वपूर्ण अंक.

पहिल्या बाइटमधील सर्वात महत्त्वपूर्ण बिंदूमध्ये संख्येचे चिन्ह आहे: 0 म्हणजे प्लस, 1 - ऋण. पहिल्या बाइट उर्वरित 7 बिट्स असतात मशीन ऑर्डर. पुढच्या तीन बाइट्स मंटिसा (24 बिट्स) च्या महत्त्वपूर्ण अंक संग्रहित करतात.

7 बायनरी अंकांमधील 0000000 ते 1111111 पर्यंत बायनरी क्रमांकांवर श्रेणी ठेवली आहे. याचा अर्थ असा आहे की मशीन ऑर्डर 0 ते 127 (दशांश संख्या प्रणालीमध्ये) श्रेणीत बदलते. केवळ 128 मूल्ये. ऑर्डर निश्चितपणे सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही असू शकते. या 128 मूल्यांचे क्रमवारीनुसार क्रमाने सकारात्मक आणि नकारात्मक मूल्यांमध्ये विभागणे उचित आहे: -64 ते 63 पर्यंत.

मशीन ऑर्डर  गणितीच्या तुलनेत बदलले आणि केवळ सकारात्मक मूल्ये आहेत. ऑफसेटची निवड केली आहे जेणेकरुन ऑर्डरचा किमान गणितीय मूल्य शून्य असेल.

या प्रकरणात मशीन ऑर्डर (एमपी) आणि गणिती (पी) यांच्यातील संबंध सूत्रानुसार व्यक्त केले आहे: एमपी = पी +64.

परिणामी सूत्र दशांश मध्ये लिहिले आहे. बायनरी सिस्टिममध्ये सूत्र आहे: एमपी 2 = पी 2 + 100 0000 2.

वास्तविक संख्येचे अंतर्गत प्रतिनिधित्व रेकॉर्ड करण्यासाठी आपण हे करणे आवश्यक आहे:

1) दिलेल्या संख्येचे मॉड्यूल 24 महत्त्वपूर्ण अंकांसह बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये अनुवादित करा,

2) बायनरी नंबर सामान्य करणे,

3) बायनरी क्रमांक प्रणालीमध्ये मशीन ऑर्डर शोधा,

4) एका संख्येचे चिन्ह लक्षात घेऊन, त्याचे प्रतिनिधित्व चार-बाइट मशीन शब्दात लिहा.

एक उदाहरणफ्लोटिंग पॉईंट फॉर्ममध्ये नंबर 250.1875 ची अंतर्गत प्रतिनिधित्व लिहा.

  उपाय

1. 24 महत्त्वपूर्ण अंकांसह बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये अनुवादित करा:

250,1875 10 = 11111010,0011000000000000 2 .

2. सामान्यीकृत बायनरी फ्लोटिंग पॉइंट नंबरच्या रूपात लिहा:

0.111110100011000000000000 एच 10 2 1000.

येथे क्रमांक प्रणालीचा पाया मांतीसा आहे
  (2 10 = 10 2) आणि ऑर्डर (8 10 = 1000 2) बायनरी सिस्टिममध्ये लिहिल्या आहेत.

3. बायनरी क्रमांक प्रणालीमध्ये मशीन ऑर्डरची गणना करा:

एमपी 2 = 1000 + 100 0000 = 100 1000.

4. संख्येच्या चिन्हाचा विचार करून आम्ही चार-बाइट मेमरी सेलमध्ये नंबरचे प्रतिनिधित्व लिहितो

हेक्साडेसिमल फॉर्मः 48FA3000.

वास्तविक संख्यांची श्रेणी पूर्णांकांच्या श्रेणीपेक्षा खूपच मोठी आहे. सकारात्मक आणि ऋण संख्या शून्य बद्दल सममितीने मांडली जातात. परिणामी, कमाल आणि किमान संख्या मॉड्यूलसमध्ये एकमेकांच्या बरोबरीने असतात.

पूर्ण मूल्यामध्ये सर्वात लहान म्हणजे शून्य आहे. संपूर्ण मूल्य फ्लोटिंग पॉईंट फॉर्ममधील सर्वात मोठी संख्या सर्वात मोठी मंटिसा आणि सर्वात मोठी ऑर्डर असलेली संख्या आहे.

चार-बाइट मशीन शब्दांसाठी, अशी संख्या असेल:

0.111111111111111111111111 · 10 21111111.

दशांश संख्या प्रणालीवर हस्तांतरण केल्यानंतर आम्हाला मिळते:

MAX = (1 - 2 -24) · 2 63 10 1 9.

जर वास्तविक संख्यांसह गणना केल्यास, परिणाम स्वीकार्य श्रेणीबाहेर आहे, प्रोग्रामची अंमलबजावणी व्यत्यय आणली आहे.  हे घडते, उदाहरणार्थ, शून्यने विभाजीत केल्यास किंवा अगदी लहान संख्येने शून्य असेल.

वास्तविक संख्या ज्याची मंथिसाची बिट खोली मेमरी सेलमधील मंटिससाठी दिलेली संख्यांची संख्या ओलांडते त्या संगणकामध्ये अंदाजे ("पीक" मंटिसासह) दर्शविली जाते. उदाहरणार्थ, कॉम्प्यूटरमधील 0.1 मधील तर्कशुद्ध दशांश संख्या अंदाजे (गोलाकार) दर्शविली जाईल, कारण बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये तिच्या मंत्रिजासमध्ये असंख्य अंक आहेत. या समीपतेचे परिणाम हे वास्तविक संख्येसह मशीन गणनाची त्रुटी आहे.

वास्तविक संख्या संगणकासह गणना अंदाजे कार्य करते. अशा गणनेची त्रुटी म्हणतातमशीन गोलाकार त्रुटी.

खऱ्या संख्येचा संच, एका फ्लोटिंग बिंदूच्या स्वरूपात संगणकाच्या मेमरीमध्ये तंतोतंत प्रतिनिधीत्व करण्यायोग्य, मर्यादित आणि स्वतंत्र आहे. उपरोक्त नमूद केल्याप्रमाणे, मंतासाच्या मर्यादित संख्येच्या संख्येचा विवेक असा होतो.

संगणकाच्या मेमरीमध्ये प्रत्यक्षात दर्शविलेले वास्तविक संख्यांची संख्या, सूत्रानुसार गणना केली जाऊ शकते: एन = 2  टी · ( यू – एल  + 1) + 1. येथे टी - मंत्रालयाच्या बायनरी अंकांची संख्या; यू  - गणिती क्रमाने कमाल मूल्य; एल  - ऑर्डर किमान मूल्य. उपरोक्त सादरीकरण पर्यायासाठी ( टी = 24, यू = 63,
  एल  = -64) प्राप्त होते: एन = 2 146 683 548.

उदाहरण 1दोन-बाइट मेमरी सेलमध्ये पूर्णांक 1607 च्या "स्वाक्षरी केलेल्या" स्वरूपात अंतर्गत प्रतिनिधित्व मिळवा.

उपाय

1) नंबर बायनरी नंबर सिस्टमवर स्थानांतरित करा: 1607 10 = 11001000111 2.

2) डावीकडील 16 बिट्सपर्यंत शून्य अक्षरे लिहिणे, आम्हाला सेलमध्ये या संख्येचा अंतर्गत प्रतिनिधित्व मिळतो:

हा कोड लिहिण्याच्या संकुचित स्वरूपासाठी हेक्साडेसिमल फॉर्म कसा वापरला जातो हे दर्शविणे आवश्यक आहे, जे प्रत्येक चार बायनरी संख्यांचे एक हेक्साडेसिमल नंबरसह बदलल्यास प्राप्त होते: 0647 (पहा " संख्या प्रणाली” 2).

नकारात्मक पूर्णांक अंतर्गत अंतर्गत प्रतिनिधित्व मिळविण्याचे कार्य अधिक कठिण आहे (- एन) - अतिरिक्त कोड. आम्ही विद्यार्थ्यांना या प्रक्रियेच्या अल्गोरिदम दर्शविण्याची गरज आहे:

1) एक सकारात्मक क्रमांकाची अंतर्गत प्रतिनिधित्व प्राप्त करा एन;

2) 0 बरोबर 1 आणि 1 बरोबर 0 ने बदलून या संख्येचा उलट कोड प्राप्त करा;

3) परिणामी नंबर 1 मध्ये जोडा.

उदाहरण 2दोन-बाइट मेमरी सेलमध्ये संपूर्ण नकारात्मक संख्या -1607 अंतर्गत अंतर्गत प्रतिनिधित्व मिळवा.

उपाय

विद्यार्थ्यांना सर्वात कमी नकारात्मक संख्येचे अंतर्गत स्वरूप कसे दिसते ते दर्शविणे उपयुक्त आहे. दुहेरी-बाइट सेलमध्ये हे -32,768 आहे.

1) 32 768 = 2 15 पासून 32 3268 क्रमांकाची बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये भाषांतर करणे सोपे आहे. म्हणून, बायनरी प्रणालीमध्ये हे आहे:

2) आम्ही उलट कोड लिहितो:

3) या बायनरी क्रमांकावर एक जोडा, आम्हाला मिळेल

प्रथम बिट मधील एक ऋण चिन्ह दर्शवितात. याचा विचार करण्याची गरज नाही की परिणामी कोड शून्य शून्य आहे. हे अतिरिक्त कोडच्या स्वरूपात -32,768 आहे. इंटिजरची मशीन दर्शविण्यासाठी हे नियम आहेत.

हे उदाहरण दर्शविल्यास, विद्यार्थ्यांना स्वतंत्ररित्या हे सिद्ध करावे लागेल की अंकांची संख्या 32 767 + (-32 768) नुसार कोड -1 चा कोड असेल.