Свойства вычитания натуральных чисел. Вычитание натуральных чисел: свойства, примеры

Понятие вычитания лучше всего рассмотреть на примере. Вы решили попить чай с конфетами. В вазе лежало 10 конфет. Вы съели 3 конфеты. Сколько конфет осталось в вазе? Если мы от 10 вычтем 3 то, в вазе останется 7 конфет. Запишем задачу математически:

Подробно разберем запись:
10 – это число от которого мы отнимаем или которое уменьшаем, поэтому его называют уменьшаемым .
3 – это число, которое мы вычитаем. Поэтому его называют вычитаемым .
7 – это число результат вычитания или еще его называют разностью . Разность показывает на сколько первое число (10) больше второго числа (3) или насколько второе число (3) меньше первого числа (10).

Если вы сомневаетесь правильно ли нашли разность, нужно сделать проверку . К разности прибавить второе число: 7+3=10

При вычитании л уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого.

Делаем вывод из сказанного. Вычитание – это действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находится второе слагаемое.

В буквенном виде это выражение будет выглядеть так:

a — b = c

a – уменьшаемое,
b – вычитаемое,
c – разность.

Свойства вычитания суммы из числа.

13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6

Пример можно решить двумя способами. Первый способ, найти сумму чисел (3+4), а потом вычесть от общего числа (13). Второй способ, от общего числа (13) вычесть первое слагаемое(3), а потом из полученной разности отнять второе слагаемое(4).

В буквенном виде свойство вычитания суммы из числа будет выглядеть так:
a — (b + c) = a — b — c

Свойство вычитания числа из суммы.

(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

Чтобы вычесть из суммы число, можно это число вычесть из одного слагаемого, а потом к полученному результату разности прибавить второе слагаемое. При условии слагаемое будет больше вычитаемого числа.

В буквенном виде свойство вычитания числа из суммы будет выглядеть так:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(a + b) — c= a + (b — с) , при условии b > c

(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) — c=(a — c) + b , при условии a > c

Свойство вычитания с нулем.

10 — 0 = 10
a — 0 = a

Если из числа вычесть нуль то, будет тоже самое число.

10 — 10 = 0
a — a = 0

Если из числа вычесть тоже самое число то, будет нуль.

Вопросы по теме:
В примере 35 — 22 = 13 назовите уменьшаемое, вычитаемое и разность.
Ответ: 35 – уменьшаемое, 22 – вычитаемое, 13 – разность.

Если числа одинаковые, чему равна их разность?
Ответ: нуль.

Сделайте проверку вычитания 24 — 16 = 8?
Ответ: 16 + 8 = 24

Таблица вычитания натуральных чисел от 1 до 10.

Примеры на задачи по теме «Вычитание натуральных чисел».
Пример №1:
Вставьте пропущенное число: а)20 — … = 20 б) 14 — … + 5 = 14
Ответ: а) 0 б) 5

Пример №2:
Можно ли выполнить вычитание: а) 0 — 3 б) 56 — 12 в) 3 — 0 г) 576 — 576 д) 8732 — 8734
Ответ: а) нет б) 56 — 12 = 44 в) 3 — 0 = 3 г) 576 — 576 = 0 д) нет

Пример №3:
Прочитайте выражение: 20 — 8
Ответ: “От двадцати отнять восемь” или “из двадцати вычесть восемь”. Правильно произносить слова

Итак, в общем случае вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством . Запишем это утверждение с помощью букв. Если a и b неравные натуральные числа, то a−b≠b−a . Например, 45−21≠21−45 .

Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.

Следующее свойство связано с вычитанием из натурального числа суммы двух чисел. Давайте рассмотрим пример, который даст нам понимание этого свойства.

Представим, что у нас в руках находится 7 монет. Мы сначала решаем сохранить 2 монеты, но, подумав, что этого будет мало, решаем сохранить еще одну монету. На основании смысла сложения натуральных чисел можно утверждать, что в этом случае мы приняли решение сохранить количество монет, которое определяется суммой 2+1 . Итак, берем две монеты, добавляем к ним еще одну монету и помещаем их в копилку. При этом количество монет, оставшихся у нас в руках, определяется разностью 7−(2+1) .

А теперь представим, что у нас есть 7 монет, и мы помещаем в копилку 2 монеты, а после этого - еще одну монету. Математически этот процесс описывается следующим числовым выражением: (7−2)−1 .

Если пересчитать монеты, которые остаются в руках, то и в первом и во втором случаях мы имеем 4 монеты. То есть, 7−(2+1)=4 и (7−2)−1=4 , следовательно, 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа. Вычесть из данного натурального числа данную сумму двух натуральных чисел - это все равно, что из данного натурального числа вычесть первое слагаемое данной суммы, после чего из полученной разности вычесть второе слагаемое .

Напомним, что мы придали смысл вычитанию натуральных чисел лишь для случая, когда уменьшаемое больше, чем вычитаемое, или равно ему. Поэтому мы можем вычесть из данного натурального числа данную сумму лишь тогда, когда эта сумма не больше, чем уменьшаемое натуральное число. Заметим, что при выполнении этого условия, каждое из слагаемых не превосходит натурального числа, из которого вычитается сумма.

С помощью букв свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа записывается в виде равенства a−(b+c)=(a−b)−c , где a , b и c – некоторые натуральные числа, причем выполняются условия a>b+c или a=b+c .

Рассмотренное свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел , позволяют выполнять вычитание суммы трех и большего количества чисел из данного натурального числа .

Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Переходим к следующему свойству, которое связано с вычитанием данного натурального числа из данной суммы двух натуральных чисел. Рассмотрим примеры, которые помогут нам «увидеть» это свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Пусть у нас в первом кармане находятся 3 конфеты, а во втором – 5 конфет, и пусть нам нужно отдать 2 конфеты. Мы это можем сделать разными способами. Разберем их по очереди.

Во-первых, мы можем сложить все конфеты в один карман, после чего оттуда достать 2 конфеты и отдать их. Опишем эти действия математически. После того, как мы сложим конфеты в один карман, их количество будет определяться суммой 3+5 . Теперь из общего количества конфет мы отдадим 2 конфеты, при этом оставшееся у нас количество конфет будет определяться следующей разностью (3+5)−2 .

Во-вторых, мы можем отдать 2 конфеты, достав их из первого кармана. В этом случае разность 3−2 определяет оставшееся количество конфет в первом кармане, а общее количество оставшихся у нас конфет будет определяться суммой (3−2)+5 .

В-третьих, мы можем отдать 2 конфеты из второго кармана. Тогда разность 5−2 будет соответствовать количеству оставшихся конфет во втором кармане, а общее оставшееся количество конфет определит сумма 3+(5−2) .

Ясно, что во всех случаях у нас останется одинаковое количество конфет. Следовательно, справедливы равенства (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) .

Если бы нам пришлось отдать не 2 , а 4 конфеты, то мы могли бы это сделать двумя способами. Во-первых, отдать 4 конфеты, предварительно сложив их все в один карман. В этом случае оставшееся количество конфет определяется выражением вида (3+5)−4 . Во-вторых, мы могли отдать 4 конфеты из второго кармана. В этом случае общее количество конфет дает следующая сумма 3+(5−4) . Понятно, что и в первом и во втором случае у нас останется одинаковое количество конфет, следовательно, справедливо равенство (3+5)−4=3+(5−4) .

Проанализировав результаты, полученные при решении предыдущих примеров, мы можем сформулировать свойство вычитания данного натурального числа из данной суммы двух чисел. Вычесть из данной суммы двух чисел данное натуральное число – это все равно, что вычесть данное число из одного из слагаемых, после чего сложить полученную разность и другое слагаемое . Следует оговориться, что вычитаемое число НЕ должно быть больше, чем слагаемое, из которого это число вычитается.

Запишем свойство вычитания натурального числа из суммы с помощью букв. Пусть a , b и c – некоторые натуральные числа. Тогда при условии, что a больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=(a−c)+b , а при выполнении условия, что b больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=a+(b−c) . Если и a и b больше или равно c , то справедливы оба последних равенства, и их можно записать следующим образом: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

По аналогии можно сформулировать свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел. В этом случае данное натуральное число можно вычесть из любого слагаемого (конечно, если оно больше или равно вычитаемому числу), и к полученной разности прибавить оставшиеся слагаемые.

Чтобы наглядно представить озвученное свойство, можно представить, что у нас много карманов, и в них находятся конфеты. Пусть нам нужно отдать 1 конфету. Понятно, что мы можем отдать 1 конфету из любого кармана. При этом не важно, из какого именно кармана мы ее отдадим, так как это не влияет на то количество конфет, которое у нас останется.

Приведем пример. Пусть a , b , c и d – некоторые натуральные числа. Если a>d или a=d , то разность (a+b+c)−d равна сумме (a−d)+b+c . Если b>d или b=d , то (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Если же c>d или c=d , то справедливо равенство (a+b+c)−d=a+b+(c−d) .

Следует отметить, что свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел не является новым свойством, так как оно следует из свойств сложения натуральных чисел и свойства вычитания числа из суммы двух чисел.

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Урок на тему: Урок на тему: "Правила вычитания натуральных чисел. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 5 класса
Интерактивное пособие "Правила и упражнения по математике" для 5-6 классов
Мультимедийное учебное пособие для 5-6 классов "Понятная математика"

Какие числа называются натуральными?

Запомните!
Число 0 и отрицательные числа -1, -2, -3, ... не являются натуральными числами.
Наименьшим натуральным числом является число 1. Каждое следующее число в ряду натуральных чисел больше предыдущего на единицу. Наибольшего натурального числа нет, поэтому говорят, что ряд натуральных чисел бесконечен.

Вычитание - это действие, обратное сложению. С помощью операции вычитания определяется одно из двух слагаемых, если известна их сумма.
С помощью этого арифметического действия можно определить, насколько одно число больше или меньше другого.

Рассмотрим пример: 5 - 4 = 1.
В этом примере:
5 - это уменьшаемое число;
4 - это вычитаемое число;
1 - это разность двух чисел.

Что такое вычитание можно пояснить, используя координатный луч.

Связь арифметических действий "сложение" и "вычитание"

Например, необходимо найти разность двух чисел: 78 - 18 = ?
78 - 18 = 60.
Результат решения примера проверяем операцией сложения: 60 + 18 = 78.

Правила вычитания натуральных чисел

Поясним третье правило на примере: 48 - (14 + 12) = 48 - 14 - 12 = 22.

4. Если из суммы чисел необходимо вычесть число, то сначала можно из первого слагаемого вычесть число, а затем к полученной разности прибавить второе слагаемое.

Поясним это правило на примере: (37 + 43) - 17 = 37 - 17 + 43 = 63.

Тема: «Вычитание натуральных чисел».

Тип урока : урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Цели урока :

1. закрепление свойства вычитания;

2. решение задач, в которых используется действие вычитания.

3. проверить знания учащихся по следующим темам:

А. решение задач, в которых используется действие вычитания.

Б. вычитание суммы из числа, и вычитание из суммы число.

4. развивать познавательные интересы учащихся, самостоятельность мышления, умение ориентироваться в тексте задачи, речь;

Задачи урока:

1. Образовательные:

Обобщить знания по теме "Вычитание натуральных чисел";

Закрепить умение применять свойства вычитания в процессе выполнения заданий;

Контроль уровня знаний, умений и навыков обучающихся по теме «Вычитание натуральных чисел».

2. Развивающие:

Работать над развитием понятийного аппарата;

Развивать познавательную активность;

Развивать культуру учебной деятельности;

Развивать осмысленное отношение к своей деятельности;

Развивать умение выделять главное;

Способствовать развитию интереса к предмету, организованности, ответственности;

Развивать самостоятельность мышления, видеть общую закономерность и делать обобщенные выводы.

3.Воспитательные:

Воспитывать ответственное отношение к учению;

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;

Воспитывать аккуратность;

Воспитывать культуру общения.

Ход урока

I. Организационный момент.

Собрать тетради с домашним заданием . Записать в тетрадях число, классная работа, тему урока.

II. Актуализация опорных знаний.

Учащимся предлагается ответить на следующие вопросы.

а) Какое действие называется вычитанием? (действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое)

б) Как называются числа при вычитании? (уменьшаемое, вычитаемое и разность)

в) Какое число называется уменьшаемым? (число, из которого вычитают)

г) Какое число называется вычитаемым? (число, которое вычитают)

д) Какое число называется разностью? (результат вычитания)

е) Как узнать, насколько одно число больше другого? (нужно найти их разность)

ж) Сколько существует свойств вычитания? Сформулируйте их, приведите пример.

Рассмотреть пример: 64 – (5 + 4) =

Как можно получить результат?

К доске выходят двое учащихся и записывают 2 способа решения данного примера.

I способ: 64 – (5 + 4) = 64 – 9 = 55. II способ: (64–4) – 5 = 55

Учитель приводит высказывание Джордж а По́лиа : « Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! !»

Сегодня на уроке мы продолжим с вами изучение темы "Вычитание натуральных чисел" и разберем задачи, в которых используется действие вычитания.

I I I. Решение задач. Работа с учебником .

Все задачи данного урока можно разделить на 2 группы:

1) № 247, 263.

2) 249, 250, 286, 291.

Шестеро учащихся по очереди решают задачи у доски, остальные учащиеся решают данные задачи в тетрадях.

Задача № 247.

Точка C лежит на отрезке AB . Найдите длину отрезка AC , если AB =38 см, а CB =29 см.

Задача № 263.

Длина отрезка AB равна 37 см. Точки C и D лежат на отрезке AB , причем точка D лежит между точками C и B . Найдите длину отрезка CD , если

а) A С=12 см, BD =17 см; б) AD =26 см, CB =18 см.

Задача № 249.

Один станок-автомат изготовил 1235 деталей, а второй - 1645 деталей. На сколько деталей второй станок изготовил больше, чем первый.

Задача № 250.

С двух участков земли собрали 96 мешков картофеля. с первого участка собрали 54 мешка. На сколько мешков картофеля меньше собрали со второго участка, чем с первого?

Задача № 286.

От мотка лески отрезали 37 м. На сколько метров лески отрезали больше, чем ее осталось в мотке, если первоначально в мотке было 54 м лески?

Задача № 291.

Пассажирский поезд составлен из 12 вагонов по 58 мест в каждом. Сколько осталось свободных мест, если в поезде едут 667 пассажиров?

IV. Физкультминутка для пальцев рук, глаз и спины (Слайд 11 ).

V. Самостоятельная работа (15 минут). (Слайд 12)

Вариант I

свойства вычитания :

а) (6571 +3455) – 2571; в) 3457 – (2457 + 349);

б) (2397 +6831) – 6831; г) 9522 – (3989 + 4522).

2) Модель телебашни состоит из трёх блоков. Высота нижнего блока 1 м 35 см, среднего – на 45 см короче нижнего. Какова высота верхнего блока, если высота модели 4 м?

3) Выполните вычитание:

а) 8003565440 – 6989128416; б) 9000551000 – 8797496.

Вариант II

1) Выполните действия наиболее простым способом, используя свойства вычитания :

а) (6574 + 3359) – 2359; в) 5456 – (2456 + 728);

б) (1234 +2587) – 1234; г) 8289 – (2623 + 3289).

2) Доспехи средневекового рыцаря весят 27 кг 500 г, а меч на 18 кг 400 г легче. Сколько весит щит, если полное вооружение рыцаря весит 50 кг?

3) Выполните вычитание:

а) 8103096320 – 7387809278; б) 3400300200 – 5987574.

VI . Подведение итогов урока. Выставление оценок за работу на уроке.

1. Какую темы мы продолжили сегодня с вами изучать?

2. Какие свойства вычитания мы сегодня с вами повторяли?

3. Может ли быть вычитаемое больше уменьшаемого?

V II . Домашнее задание: п. 7, № 293, 294, 296. ( Слайд 13 )