स्थायी पीआई। संख्या पीआई क्या है और उसकी कहानी क्या है

परिदृश्य की लंबाई का अनुपात सभी सर्कल के लिए समान है। यह संबंध ग्रीक अक्षर ("पीआई" - ग्रीक शब्द के प्रारंभिक पत्र को नामित करने के लिए बनाया गया है जिसका मतलब "सर्कल") था।

रचना "सर्कल मापन" में आर्किमिडीज ने परिधि की परिधि के परिधि (संख्या) के अनुपात की गणना की और पाया कि यह 3 10/71 और 3 1/7 के बीच निष्कर्ष निकाला गया था।

लंबे समय तक, 22/7 को अनुमानित मूल्य के रूप में उपयोग किया गया था, हालांकि चीन में 355/113 \u003d 3,1415929 में वी शताब्दी में अनुमानित पाया गया था ..., जो यूरोप में केवल XVI शताब्दी में खुला था।

प्राचीन भारत में, \u003d 3,1622 के बराबर माना जाता है ....

फ्रांसीसी गणितज्ञ एफ। वियत की गणना 1579 में 9 संकेतों के साथ की जाती है।

15 9 6 में डच गणितज्ञ लुडोल्फ वैन ज़िलेन ने अपने दस साल के श्रम का परिणाम प्रकाशित किया - 32 अक्षरों के साथ गणना की गई संख्या।

लेकिन आर्चर द्वारा निर्दिष्ट विधियों द्वारा संख्याओं की संख्या के इन सभी स्पष्टीकरण किए गए थे: सर्कल को एक बहुभुज द्वारा पार्टियों की बढ़ती संख्या के साथ प्रतिस्थापित किया गया था। अंकित बहुभुज का परिधि परिधि की लंबाई से कम था, और वर्णित बहुभुज का परिधि अधिक है। लेकिन यह स्पष्ट नहीं रहा कि संख्या तर्कसंगत है, यानी दो पूर्णांक, या तर्कहीन का दृष्टिकोण।

केवल 1767 में जर्मन गणितज्ञ I.G. लैम्बर्ट ने साबित किया कि संख्या तर्कहीन है।

और 1882 में एक साल से अधिक के सौ साल बाद, एक और जर्मन गणितज्ञ - एफ। लिंडन ने अपनी उत्थान साबित की, जिसका मतलब था और परिसंचरण की मदद से बढ़ने में असमर्थता और वर्ग के वर्ग इस सर्कल के बराबर है।

घने कार्डबोर्ड पर व्यास परिधि बनाएं डी (\u003d 15 सेमी), मैंने परिणामी सर्कल को काट दिया और इसके चारों ओर एक पतले धागे के चारों ओर लपेटो। माप लंबाई एल (\u003d 46.5 सेमी) धागे का एक पूर्ण कारोबार, हम विभाजित करते हैं एल लंबाई व्यास के लिए डी वृत्त। परिणामी निजी संख्या का अनुमानित मूल्य होगा, यानी। = एल/ डी\u003d 46.5 सेमी / 15 सेमी \u003d 3.1. यह बल्कि असभ्य विधि सामान्य परिस्थितियों में 1 की शुद्धता के साथ संख्या का अनुमानित मूल्य देता है।

कार्डबोर्ड शीट पर, वे एक वर्ग खींचते हैं। हम इसमें एक सर्कल प्रदान करते हैं। मैंने चौकोर काट दिया। हम स्कूल के तराजू का उपयोग करके एक कार्डबोर्ड वर्ग के द्रव्यमान को परिभाषित करते हैं। वर्ग से सर्कल काट लें। इसका वजन। वर्ग के द्रव्यमान को जानना म (\u003d 10 ग्राम) और इसमें अंकित सर्कल एम क्र (\u003d 7.8 ग्राम) हम सूत्रों का उपयोग करते हैं

जहां पी मैं एच - कार्डबोर्ड की अनिवार्य घनत्व और मोटाई, एस - चित्रा क्षेत्र। समानता पर विचार करें:

स्वाभाविक रूप से, इस मामले में, अनुमानित मूल्य वजन की सटीकता पर निर्भर करता है। यदि वजन वाले कार्डबोर्ड आंकड़े काफी बड़े हैं, तो ऐसे लोगों को प्राप्त करने के लिए पारंपरिक तराजू पर भी संभव है जो 0.1 की सटीकता के साथ संख्या का अनुमान सुनिश्चित करेगा।

आयतों का सारांश, अर्धचालक में अंकित

चित्र 1

(A; 0), (b; 0) में चलो। हम एबी सेमी-फ्रेंडली व्यास के रूप में वर्णित करते हैं। हम एबी के खंड को एन के बराबर भागों को अंक 1, एक्स 2, ..., एक्स एन -1 के बराबर भागों को विभाजित करते हैं और अर्धचालक के साथ चौराहे के लंबवत बहाल करते हैं। इस तरह के प्रत्येक लंबवत की लंबाई फ़ंक्शन f (x) \u003d का मान है। चित्रा 1 से यह स्पष्ट है कि क्षेत्र के अर्धचालक की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

हमारे मामले में बी \u003d 1, ए \u003d -1 । फिर \u003d 2 एस।

अधिक विभाजन अंक सेगमेंट एबी पर होंगे, मूल्य अधिक सटीक होंगे। एकान्त कंप्यूटिंग ऑपरेशन को सुविधाजनक बनाने के लिए उस कंप्यूटर की मदद करेगा जिसके लिए प्रोग्राम 1, आधार पर संकलित किया गया है।

कार्यक्रम 1।

रेम "गणना पीआई"
रेम "आयताकार विधि"
इनपुट "आयतों की संख्या दर्ज करें", एन
DX \u003d 1 / n
I \u003d 0 से n - 1 के लिए
एफ \u003d एसक्यूआर (1 - एक्स ^ 2)
x \u003d x + dx
ए \u003d ए + एफ
अगला मैं।
पी \u003d 4 * डीएक्स * ए
प्रिंट "पीआई मान बराबर है", पी
समाप्त।

कार्यक्रम डायल और विभिन्न पैरामीटर मानों पर चल रहा था। एन । प्राप्त संख्या तालिका में दर्ज की जाती है:

यह वास्तव में सांख्यिकीय परीक्षणों का एक तरीका है। उन्होंने मोनाको की रियासत में मोंटे कार्लो से अपना विदेशी नाम प्राप्त किया, जो अपने जुआ घरों के लिए प्रसिद्ध था। तथ्य यह है कि विधि को यादृच्छिक संख्याओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, और एक रूले यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने वाले सबसे सरल उपकरणों में से एक के रूप में कार्य कर सकता है। हालांकि, आप यादृच्छिक संख्याएं और सहायता के साथ प्राप्त कर सकते हैं ... बारिश।

अनुभव के लिए, कार्डबोर्ड का एक टुकड़ा तैयार करें, हम उस पर एक वर्ग खींचते हैं और आप एक सर्कल के एक चौथाई हिस्से में प्रवेश करेंगे। यदि इस तरह की ड्राइंग बारिश के नीचे कुछ समय के लिए पकड़ती है, तो बूंदों के निशान इसकी सतह पर रहेगा। वर्ग के अंदर और सर्कल के एक चौथाई के भीतर निशान की संख्या की गणना करें। जाहिर है, उनका दृष्टिकोण लगभग इन आंकड़ों के क्षेत्रों के दृष्टिकोण के बराबर होगा, क्योंकि विभिन्न ड्राइंग स्थानों में आने वाली बूंदें समान रूप से होती हैं। रहने दो एन क्र - सर्कल में बूंदों की संख्या, एन केवी। - वर्ग में बूंदों की संख्या, फिर

चित्र 2।

बारिश को यादृच्छिक संख्याओं की एक तालिका द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसे एक विशेष कार्यक्रम द्वारा कंप्यूटर का उपयोग करके संकलित किया जाता है। बूंदों का प्रत्येक निशान, हम कुल्हाड़ियों के साथ अपनी स्थिति के अनुसार दो यादृच्छिक संख्याएं रखेंगे ओह तथा कहां। यादृच्छिक संख्याओं को किसी भी क्रम में तालिका से चुना जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक पंक्ति में। तालिका में पहले चार अंकों की संख्या दें 3265 । इससे आप कुछ संख्याओं को पका सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक अधिक शून्य और एक से कम है: x \u003d 0.32, y \u003d 0.65। इन नंबरों को ड्रॉप के निर्देशांक माना जाएगा, यानी, ड्रॉप बिंदु (0.32; 0.65) पर प्रतीत होता है। इसी प्रकार, हम सभी चयनित यादृच्छिक संख्याओं के साथ करते हैं। अगर यह पता चला है कि बिंदु के लिए (x; y) असमानता का प्रदर्शन किया जाता है, फिर यह सर्कल के बाहर स्थित है। यदि एक x + y \u003d 1 , बिंदु सर्कल के अंदर स्थित है।

मूल्य को फिर से गिनने के लिए हम सूत्र (1) का उपयोग करते हैं। गणना की त्रुटि इस विधि के अनुसार आमतौर पर आनुपातिक होती है, जहां डी कुछ स्थायी है, और एन परीक्षण है। हमारे मामले में, एन \u003d एन वर्ग। इस सूत्र से, यह स्पष्ट है: त्रुटि को कम करने के लिए 10 बार (दूसरे शब्दों में, प्रतिक्रिया में एक और वफादार दशमलव संकेत प्राप्त करने के लिए, आपको एन, यानी बढ़ाने की आवश्यकता है। काम की मात्रा, 100 गुना। यह स्पष्ट है कि मोंटे कार्लो विधि का उपयोग कंप्यूटर के लिए केवल धन्यवाद संभव हो गया है। प्रोग्राम 2 कंप्यूटर पर वर्णित विधि लागू करता है।

कार्यक्रम 2।

रेम "गणना पीआई"
रेम "मोंटे कार्लो विधि"
इनपुट "बूंदों की संख्या दर्ज करें", एन
M \u003d 0
I \u003d 1 से n के लिए
T \u003d int (rnd (1) * 10000)
x \u003d int (t \\ 100)
Y \u003d t - x * 100
यदि x ^ 2 + y ^ 2< 10000 THEN m = m + 1
अगला मैं।
P \u003d 4 * m / n

समाप्त।

कार्यक्रम एन पैरामीटर के विभिन्न मानों पर डायल और चल रहा था। प्राप्त संख्या तालिका में दर्ज की जाती है:

एक साधारण सिलाई सुई और कागज की एक शीट लें। शीट पर, हम कई समानांतर सीधी रेखाएं करते हैं ताकि उनके बीच की दूरी सुई की लंबाई बराबर और उससे अधिक हो। ड्राइंग काफी बड़ा होना चाहिए ताकि गलती से त्याग की गई सुई परे नहीं गिरती। हम नोटेशन शुरू करते हैं: लेकिन अ- सीधे, के बीच की दूरी, एल सुई की लंबाई।

चित्र तीन।

स्थिति को सुई ड्राइंग पर यादृच्छिक रूप से त्याग दिया जाता है (चित्र 3 देखें) दूरी एक्स द्वारा अपने बीच से निकटतम प्रत्यक्ष और कोण जे तक निर्धारित किया जाता है, जो सुई एक लंबवत के साथ बनती है, सुई के बीच से निकटतम तक कम होती है सीधी रेखा (चित्र 4 देखें)। यह स्पष्ट है कि

चित्रा 4।

अंजीर में। 5 चित्र ग्राफिक रूप से कार्य करते हैं y \u003d 0.5 कॉस। सभी प्रकार की सुइयों को निर्देशांक के साथ अंक द्वारा विशेषता है (y) एबीसीडी प्लॉट पर स्थित है। चित्रित क्षेत्र AED वह बिंदु है जो एक सीधी रेखा के साथ सुई को पार करने के अवसर से मेल खाते हैं। एक घटना की संभावना ए। - "सुई सीधे पार हो गई" - सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

चित्रा 5।

संभावना पी (ए) आप एक मजबूत फेंकने वाली सुई को लगभग परिभाषित कर सकते हैं। सुई को एक ड्राइंग फेंक दें सी। एक बार मै। पी चूंकि वह गिर गई, सीधी रेखाओं में से एक को पार करना, फिर काफी बड़े के साथ सी। है पी (ए) \u003d पी / सी । यहां से \u003d 2 एल सी / ए के।

टिप्पणी। उल्लिखित विधि सांख्यिकीय परीक्षणों की विधि का एक भिन्नता है। यह एक व्यावहारिक दृष्टिकोण से दिलचस्प है, क्योंकि यह एक जटिल गणितीय मॉडल की तैयारी के साथ सरल अनुभव को गठबंधन करने में मदद करता है।

टेलर की एक श्रृंखला के साथ गणना

एक मनमाने ढंग से कार्य के विचार की ओर मुड़ें। f (x)। मान लीजिए कि उसके लिए उसके लिए x 0 सभी आदेशों के डेरिवेटिव हैं एन- समावेशी। फिर समारोह के लिए f (x) आप टेलर की एक श्रृंखला लिख \u200b\u200bसकते हैं:

इस पंक्ति का उपयोग करके गणना श्रृंखला के अधिक सदस्यों की तुलना में अधिक सटीक होगी। इस विधि को लागू करने के लिए, निश्चित रूप से, कंप्यूटर पर सबसे अच्छा, जिसके लिए आप प्रोग्राम 3 का उपयोग कर सकते हैं।

कार्यक्रम 3।

रेम "गणना पीआई"
रेम "टेलर की एक श्रृंखला में अपघटन"
इनपुट एन।
ए \u003d 1।
I \u003d 1 से n के लिए
डी \u003d 1 / (i + 2)
f \u003d (-1) ^ i * d
ए \u003d ए + एफ
अगला मैं।
पी \u003d 4 * ए
प्रिंट "पीआई मान बराबर है"; पी
समाप्त।

कार्यक्रम एन पैरामीटर के विभिन्न मानों पर डायल और चल रहा था। प्राप्त संख्या तालिका में दर्ज की जाती है:

(), और यह आमतौर पर यूलर के काम के बाद स्वीकार किया जाता है। यह पदनाम ग्रीक शब्दों के प्रारंभिक पत्र से आता है περιφέεια - एक सर्कल, परिधि और περίμετρος - परिधि।

अनुमान

• 510 खोज: π ≈ 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 102 701 938 521 105 559 644 930 381 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 949 129 833 673 362 ...

गुण

अनुपात

एक संख्या के साथ कई सूत्र हैं π:

• फॉर्मूला वाल्व:

• एइलेरा पहचान:

• टी.एन. "इंटीग्रल पोइसन" या "इंटीग्रल गॉस"

पारस्परिकता और तर्कहीनता

अनसुलझे समस्याएं

• यह ज्ञात नहीं है कि संख्या π और इ। बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र।
• यह ज्ञात नहीं है कि संख्या π + इ। , π − इ। , π इ। , π / इ। , π इ। , π π , इ। इ। अनुक्रमणीय।
• अब तक, संख्या π की सामान्यता के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है; यह ज्ञात नहीं है कि संख्या 0-9 संख्या संख्या के दशमलव प्रतिनिधित्व में π अनंत संख्या में पाए जाने वाले भी हैं।

गणना का इतिहास

और मुशानोवस्की

मीनोनिक नियम

ताकि हम गलत नहीं हो सकें, आपको सही ढंग से पढ़ने की जरूरत है: तीन, चौदह, पंद्रह, नब्बे-दो और छः। यह केवल कोशिश करना और याद रखना आवश्यक है क्योंकि यह है: तीन, चौदह, पंद्रह, नब्बे-दो और छह। तीन, चौदह, पंद्रह, नौ, दो, छः, पांच, तीन, पांच। विज्ञान में संलग्न होने के लिए, इसे हर किसी को जानना चाहिए। आप केवल दोहराने और अधिक बार करने की कोशिश कर सकते हैं: "तीन, चौदह, पंद्रह, नौ, छः छः और पांच।"

2. नीचे दिए गए वाक्यांशों में प्रत्येक शब्द में अक्षरों की संख्या की गणना करें ( विराम चिह्नों को छोड़कर) और इन आंकड़ों को एक पंक्ति में लिखें - निश्चित रूप से पहले अंक "3" के बाद दशमलव अल्पविराम के बारे में भूलना नहीं। यह एक अनुमानित संख्या पीआई निकलता है।

मैं इसे जानता हूं और अच्छी तरह से याद करता हूं: पीआई कई संकेत मैं बहुत ज्यादा महसूस करता हूं, व्यर्थ में।

जो मजाक कर रहा है, और जल्द ही संख्या का पता लगाना चाहता है - मुझे पता है!

इसलिए मिशा और एनी जो संख्या चाहते थे उसे खोजने के लिए दौड़ रहे थे।

(दूसरी निमोनिक रिकॉर्डिंग सत्य है (अंतिम निर्वहन को गोल करने के साथ) केवल डोरेफ्रैक्टेड स्पेल का उपयोग करते समय: शब्दों में अक्षरों की संख्या की गणना करते समय, ठोस संकेतों को ध्यान में रखना आवश्यक है!)

इस निमोनिक रिकॉर्ड का एक और विकल्प:

मैं इसे जानता हूं और अच्छी तरह से याद करता हूं:
व्यर्थ में, मेरे लिए बहुत से संकेत हैं।
मुझे प्रसिद्ध ज्ञान पर भरोसा है
जिन्होंने आर्मडा की संख्या की गणना की है।

यदि आप काव्य आकार का निरीक्षण करते हैं, तो आप जल्दी से याद कर सकते हैं:

तीन, चौदह, पंद्रह, नौ दो, छह पांच, तीन पांच
आठ नौ, सात और नौ, तीन दो, तीन आठ, छत्तीस
दो छः चार, तीन तीन आठ, तीन दो सात नौ, पांच शून्य दो
आठ आठ और चार, उन्नीस, सात, एक

मजेदार तथ्य

टिप्पणियाँ

देखें अन्य शब्दकोशों में "पीआई नंबर" क्या है:

संख्या - मूत्र स्रोत लेना: गोस्ट 111 9 0: ग्लास पत्ती। विनिर्देश मूल दस्तावेज संबंधित शर्तों को भी देखें: 109. Betatron oscillations की संख्या ... विनियामक और तकनीकी दस्तावेज के शब्दकोश निर्देशिका शर्तें

सूट।, एस, यूडीआर। अक्सर रूपरेखा: (नहीं) क्या? संख्या क्या? संख्या, (देखें) क्या? की तुलना में? के बारे में संख्या? संख्या पर; एमएन। क्या भ? संख्या, (नहीं) क्या? संख्या क्या? संख्या, (देखें) क्या? की तुलना में संख्या? संख्या क्या? गणित के बारे में 1. संख्या ... ... व्याख्यात्मक शब्दकोश Dmitrieva

संख्या, संख्या, एमएन। संख्या, संख्या, संख्या, सीएफ। 1. अवधारणा जो मात्रा की अभिव्यक्ति के रूप में कार्य करती है, फिर, जिसकी सहायता से वस्तुओं और घटनाओं का विषय बनाया जाता है (चटाई)। पूर्णांक। आंशिक संख्या। नामित संख्या। अभाज्य संख्या। (1 मान में आसान 1 देखें)। ... ... व्याख्यात्मक शब्दकोश ushakov

सार, कुछ पंक्ति के किसी सदस्य के किसी प्रकार के किसी प्रकार के विशेष सामग्री पदनाम से वंचित जिसमें यह सदस्य किसी अन्य सदस्य द्वारा उसके पूर्व और अनुसरण करता है; एक अमूर्त व्यक्तिगत सुविधा जो एक सेट को अलग करती है ... ... दार्शनिक विश्वकोश

संख्या - विचार की वस्तुओं की मात्रात्मक विशेषताओं को व्यक्त करते हुए व्याकरणिक श्रेणी की संख्या। व्याकरणिक संख्या लेक्सिकल अभिव्यक्ति के साथ मात्राओं की अधिक समावेशी भाषा श्रेणी (श्रेणी भाषा देखें) के अभिव्यक्तियों में से एक है ("लेक्सिकल ... ... ... भाषाई विश्वकोश शब्दकोश

संख्या लगभग 2,718 के बराबर है, जो अक्सर गणित और प्राकृतिक विज्ञान में पाया जाता है। उदाहरण के लिए, पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा से समय के बाद रेडियोधर्मी पदार्थ के क्षय के दौरान, ई केटी का अनुपात बनी हुई है, जहां के एक संख्या है ... ... एनसाइक्लोपीडिया रंग

लेकिन अ; एमएन। संख्या, गांव, स्लॉट; सीएफ 1. इस या उस मात्रा को व्यक्त करने वाले खाते की इकाई। आंशिक, पूरे, सरल, अजीब, विषम। गोल संख्या की देखभाल (लगभग, पूरी इकाइयों या दसियों पर विचार करना)। प्राकृतिक एच। (पूरे सकारात्मक ... विश्वकोशिक शब्दकोश

सी एफ प्रश्न, स्कोर, प्रश्न पर: कितना? और संकेत, राशि, अंक व्यक्त करना। संख्या के बिना; कोई संख्या नहीं, स्कोर के बिना, बहुत से। मेहमानों की संख्या से उपकरणों को रखो। रोमन, अरबी या चर्च संख्या। एक पूर्णांक, · समकक्ष। अंश ... ... ... दाल की व्याख्यात्मक शब्दकोश

पीआई की संख्या का इतिहास एक प्राचीन मिस्र के साथ शुरू होता है और पूरे गणित के विकास के साथ समानांतर होता है। हम पहली बार स्कूल की दीवारों में इस मूल्य के साथ मिलते हैं।

पीआई की संख्या शायद दूसरों के अनंत सेट का सबसे रहस्यमय है। वह कविताओं को समर्पित है, कलाकारों को चित्रित किया गया है, उन्होंने उनके बारे में एक फिल्म भी फिल्मी की। हमारे लेख में, हम विकास और गणना के इतिहास, साथ ही साथ हमारे जीवन में पीआई स्थिर के दायरे पर विचार करेंगे।

पीआई नंबर अपने व्यास की लंबाई तक परिधि की परिधि के अनुपात के बराबर गणितीय निरंतर है। प्रारंभ में, इसे लुडोल्फो कहा जाता था, और पत्र पीआई को 1706 में ब्रिटिश गणित जोन्स द्वारा प्रस्तावित करने का प्रस्ताव दिया गया था। 1737 में लियोनार्ड यूलर के कार्यों के बाद, यह पदनाम आम तौर पर स्वीकार किया गया।

पीआई की संख्या तर्कहीन है, यानी, इसका मूल्य फ्रैक्शंस एम / एन के रूप में सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहां एम और एन पूर्णांक हैं। पहली बार, जोहान लैम्बर्ट 1761 में साबित हुए।

पीआई की संख्या के विकास का इतिहास पहले से ही करीब 4,000 साल है। एक और मिस्र और बाबुलोनियन गणितज्ञों को जाना जाता था कि व्यास में सर्कल की परिधि का अनुपात किसी भी परिधि के लिए समान रूप से होता है और इसका मूल्य तीन से थोड़ा अधिक होता है।

आर्किमिदा ने पीआई की गणना के लिए एक गणितीय विधि का प्रस्ताव दिया, जिसमें उन्होंने सर्कल में प्रवेश किया और इसके बारे में सही बहुभुजों का वर्णन किया। इसकी गणना के अनुसार, पीआई लगभग 22/7 ≈ 3,142857142857143 था।

दूसरी शताब्दी में, झांग हान ने संख्या के दो मूल्यों की पेशकश की: ≈ 3,1724 और ≈ 3,1622।

अरिराभत और भास्कर के भारतीय गणितज्ञों ने 3,1416 का अनुमानित मूल्य पाया।

900 वर्षों के लिए पीआई की संख्या का सबसे सटीक दृष्टिकोण 480 के दशक में किए गए सीजीयू चुंची के चीनी गणित की गणना थी। उन्होंने पीआई ≈ 355/113 का नेतृत्व किया, और दिखाया कि 3,1415 9 26< Пи < 3,1415927.

II सहस्राब्दी तक, पीआई नंबर के 10 अंकों की गणना की गई नहीं थी। केवल गणितीय विश्लेषण के विकास के साथ, और विशेष रूप से श्रृंखला के उद्घाटन के साथ, निरंतर गणना में बड़ी प्रगति का पालन करें।

1400 के दशक में, माधव पीआई \u003d 3,1415926535 9 की गणना करने में सक्षम था। उनका रिकॉर्ड 1424 में अल-काशी फारसी गणित को हराया। वह अपने काम में "सर्कल पर ग्रंथ" ने संख्या पीआई के 17 अंकों का नेतृत्व किया, जिनमें से 16 सत्य थे।

डच गणितज्ञ लुडोल्फ वैन ज़िलेन अपनी कंप्यूटिंग तक पहुंच गया, जो इसे 10 साल का जीवन दे रहा है। उनकी मृत्यु के बाद, पीआई की संख्या के 15 अंक उनके रिकॉर्ड में खोजे गए थे। वह ध्यान दिया कि इन नंबरों को उनके कबूतरों पर नक्काशी की जाएगी।

कंप्यूटर के आगमन के साथ, आज पीआई नंबर में कई ट्रिलियन पात्र हैं और यह सीमा नहीं है। लेकिन, जैसा कि "कक्षा के लिए फ्रैक्टल" पुस्तक में नोट किया गया है, पीआई की संख्या के सभी महत्व के साथ "वैज्ञानिक गणनाओं में गोलाकारों को ढूंढना मुश्किल है, जहां बीस दशमलव से अधिक की आवश्यकता होगी।"

हमारे जीवन में, कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में पीआई संख्या का उपयोग किया जाता है। भौतिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, संभाव्यता सिद्धांत, रसायन विज्ञान, निर्माण, नेविगेशन, फार्माकोलॉजी उनमें से कुछ हैं, जो इस रहस्यमय संख्या के बिना कल्पना करना असंभव है।

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परिचय

लेख गणितीय सूत्र प्रस्तुत करता है, इसलिए पढ़ने के लिए, अपने सही प्रदर्शन के लिए साइट पर जाएं।संख्या \\ (\\ pi \\) एक समृद्ध इतिहास है। यह निरंतर परिधि की परिधि के अनुपात को इसके व्यास में इंगित करता है।

विज्ञान में, किसी भी गणना में संख्या \\ (\\ pi \\) का उपयोग किया जाता है, जहां मंडलियां होती हैं। उपग्रहों की कक्षाओं के लिए गैस कैना की मात्रा से शुरू। और न केवल परिधि। आखिरकार, वक्र के अध्ययन में, संख्या \\ (\\ pi \\) लाइन आवधिक और oscillatory सिस्टम को समझने में मदद करती है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय तरंगों और यहां तक \u200b\u200bकि संगीत भी।

1706 में, "3,141,592 की संख्या के पद के लिए ब्रिटिश वैज्ञानिक विलियम जोन्स (1675-174 9) के" न्यू परिचय "पुस्तक में ... ग्रीक वर्णमाला \\ (\\ pi \\) का पत्र पहले के लिए किया गया था समय। यह पदनाम ग्रीक शब्दों के प्रारंभिक पत्र से आता है περικερεια - एक सर्कल, परिधि और περιμετρoς - परिधि। आम तौर पर स्वीकृत पदनाम 1737 में लियोनार्ड यूलर के काम के बाद था।

ज्यामितीय काल

लंबे समय तक किसी भी परिधि की लंबाई के अनुपात की निरंतरता को लंबे समय तक देखा गया था। Meterrech के निवासियों का उपयोग संख्या \\ (\\ pi \\) के बल्कि मोटे अनुमान द्वारा किया जाता था। जैसा कि प्राचीन कार्यों से निम्नानुसार है, इसकी गणना में वे मान \\ (\\ pi ≈ 3 \\ \\) का उपयोग करते हैं।

प्राचीन मिस्र के लोगों का उपयोग \\ (\\ pi \\) के लिए अधिक सटीक मूल्य का उपयोग किया गया था। लंदन और न्यूयॉर्क में, प्राचीन मिस्र के पापरस के दो हिस्सों को संग्रहीत किया जाता है, जिसे "रिंडी पेपिरस" कहा जाता है। पापीरस को 2000-1700 के बारे में आर्म्स पिसेल द्वारा तैयार किया गया था। बीसी। अपने पपीरस में आर्मन ने लिखा कि त्रिज्या के साथ सर्कल का क्षेत्र \\ (आर \\) बराबर के बराबर \\ (\\ frac (8) (9) \\) के बराबर वर्ग के वर्ग के बराबर है सर्कल व्यास \\ (\\ frac (8) (9) \\ cdot 2r \\), वह है, \\ (\\ frac (256) (81) \\ cdot r ^ 2 \u003d \\ pi r ^ 2 \\)। इसलिए \\ (\\ pi \u003d 3,16 \\)।

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व) पहली बार सर्कल को वैज्ञानिक मिट्टी को मापने की समस्या को निर्धारित करता है। यह एक अनुमान प्राप्त हुआ \\ (3 \\ frac (10) (71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

विधि काफी सरल है, लेकिन त्रिकोणमितीय कार्यों के तैयार किए गए तालिकाओं की अनुपस्थिति में, जड़ों की आवश्यकता होगी। इसके अलावा, अनुमान बहुत धीरे-धीरे \\ (\\ pi \\) में परिवर्तित होता है: प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ, त्रुटि केवल चार में कम हो जाती है।

विश्लेषणात्मक काल

इसके बावजूद, 17 वीं शताब्दी के मध्य तक, यूरोपीय वैज्ञानिकों के सभी प्रयासों को बहुभुज की पार्टियों में संख्या \\ (\\ pi \\) की गणना की गई थी। उदाहरण के लिए, डच गणितज्ञ लुडोल्फ वैन छत (1540-1610) ने 20 दशमलव अंकों की सटीकता के साथ संख्या \\ (\\ pi \\) के अनुमानित मूल्य की गणना की।

यह 10 वर्षों के लिए गणना की। आर्किमिडीयन विधि के अनुसार डेविंग, बहुभुजों को अंकित और वर्णित पक्षों की संख्या, वह \\ (60 \\ cdot 2 ^ (2 9) \\) तक पहुंच गया - 20 दशमलव संकेतों के साथ \\ (\\ pi \\) की गणना के उद्देश्य से कोयला।

अपनी पांडुलिपियों में मृत्यु के बाद, संख्या \\ (\\ pi \\) की एक और 15 सटीक संख्या की खोज की गई। लुडोल्फ उन संकेतों के लिए सावधानी बरतें जिन्हें उनके टॉम्बस्टोन पर नक्काशीदार किया गया था। उसके सम्मान में, संख्या \\ (\\ pi \\) को कभी-कभी "लुडोल्फिक संख्या" या "लुडोल्फ निरंतर" कहा जाता था।

आर्किमिडीज विधि के अलावा एक विधि प्रस्तुत करने वाले पहले में से एक फ्रैंकोइस (1540-1603) था। वह इस परिणाम में आया कि सर्कल, जिसका व्यास एक के बराबर है, में एक क्षेत्र है:

\\ [\\ Frac (1) (2 \\ sqrt (\\ frac (1) (2)) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (1) (2) + \\ frac (1) (2) \\ sqrt (\\ frac (1) ) (2))) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (1) (2) + \\ frac (1) (2) \\ sqrt (2) \\ sqrt (2) + \\ frac (1) (1) (2) \\ sqrt (\\ Frac (1) (2) \\ cdots))) \\]

दूसरी ओर, क्षेत्र \\ (\\ frac (\\ pi) (4) \\) है। अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना और सरल बनाना, अनुमानित मूल्य की गणना करने के लिए अनंत उत्पाद का निम्न सूत्र प्राप्त करना संभव है \\ (\\ frac (\\ pi) (2) \\):

\\ [\\ Frac (\\ pi) (2) \u003d \\ frac (2) (\\ sqrt (2)) \\ cdot \\ frac (2) (\\ sqrt (2 + \\ sqrt (2)) \\ cdot \\ frac (2) ) (\\ Sqrt (2+ \\ sqrt (2 + \\ sqrt (2)))) \\ cdots \\]

परिणामी सूत्र संख्या \\ (\\ pi \\) के लिए पहली सटीक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है। इस सूत्र के अलावा, वियत, आर्किमिडीयन विधि का उपयोग करके, अंकित और वर्णित बहुभुज की मदद से, 6-वर्ग से शुरू होता है और पार्टियों के अनुमान द्वारा बहुभुज सी \\ (2 ^ (16) \\ सीडीओटी 6 \\) के साथ समाप्त होता है 9 नियमित संकेतों के साथ संख्या \\ (\\ pi \\)।

अंग्रेजी गणित विलियम ब्राउनर (1620-1684), एक श्रृंखला अंश का उपयोग करके, निम्नलिखित गणना परिणाम प्राप्त हुए \\ (\\ frac (\\ pi) (4) \\):

\\ [\\ Frac (4) (\\ pi) \u003d 1 + \\ frac (1 ^ 2) (2 + \\ frac (3 ^ 2) (2 + \\ frac (5 ^ 2) (2 + \\ frac (7 ^ 2) ) (2 + \\ frac (9 ^ 2) (2 + \\ frac (11 ^ 2) (2 + \\ cdots))))))) \\]

संख्या \\ (\\ frac (4) (\\ pi) \\) के अनुमान की गणना करने की यह विधि कम से कम एक छोटा सन्निकटन प्राप्त करने के लिए काफी बड़ी गणना की आवश्यकता है।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप प्राप्त मूल्य अधिक है, फिर संख्या \\ (\\ pi \\) से कम, और हर बार सही मूल्य के करीब हो रहा है, लेकिन 3,141,592 का मूल्य प्राप्त करने के लिए, काफी बड़ी गणना की आवश्यकता होगी।

1706 में एक और अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन मशीन (1686-1751) 100 दशमलव के साथ संख्या \\ (\\ pi \\) की गणना करने के लिए 1673 में लीबनीन द्वारा व्युत्पन्न सूत्र का लाभ उठाया गया, और इसे निम्नानुसार लागू किया:

\\ [\\ Frac (\\ pi) (4) \u003d 4 arctg \\ frac (1) (5) - Arctg \\ Frac (1) (239) \\]

कई त्वरित रूप से अभिसरण और इसके साथ बड़ी सटीकता के साथ संख्या \\ (\\ pi \\) की गणना की जा सकती है। इस प्रकार के सूत्रों का उपयोग कंप्यूटर के युग में कई रिकॉर्ड स्थापित करने के लिए किया गया था।

XVII शताब्दी में गणित की अवधि की शुरुआत के बाद से, परिमाण की परिमाण गणना में एक नया चरण आया है \\ (\\ pi \\)। जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ (1646-1716) 1673 में, उन्हें संख्या \\ (\\ pi \\) का अपघटन मिला, सामान्य रूप से, इसे अंतहीन के रूप में दर्ज किया जा सकता है:

\\ [\\ pi \u003d 1 - 4 (\\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (5) - \\ frac (1) (1) (1) (1) (1) (9) - \\ frac (1) (11) + \\ cdots) \\]

पंक्ति प्रतिस्थापन x \u003d 1 v \\ (arctg x \u003d x - \\ frac (x ^ 3) (3) + \\ frac (x ^ 5) (5) - \\ frac (x ^ 7) (7) + पर प्राप्त की जाती है \\ Frac (x ^ 9) (9) - \\ cdots \\)

लियोनार्ड यूलर संख्या \\ (\\ pi \\) की गणना करते समय आर्कट्ज एक्स के लिए पंक्तियों के उपयोग पर अपने कार्यों में लीबनिज़ का विचार विकसित करता है। ग्रंथ में "डी वेरिस मोडीस सर्कुली क्वाड्रुरेटुरम न्यूमेरिस प्रॉक्सीम एक्सप्रिमेंडी" (अनुमानित संख्याओं के सर्कल के चतुर्भुज को व्यक्त करने के लिए विभिन्न विधियों के बारे में), 1738 में लिखित, लैब्स्सा फॉर्मूला पर गणना में सुधार के तरीकों पर विचार किया जाता है।

यूलर लिखते हैं कि यदि तर्क शून्य के लिए प्रयास करेगा तो आर्कटेन के लिए एक पंक्ति तेजी से होगी। \\ (X \u003d 1 \\) के लिए, श्रृंखला का अभिसरण बहुत धीमा है: 100 अंकों की सटीकता के साथ गणना करने के लिए, पंक्ति के सदस्यों को \\ (10 \u200b\u200b^ (50) \\) जोड़ना आवश्यक है। आप तर्क के मूल्य को कम करके गणनाओं को तेज कर सकते हैं। यदि आप लेते हैं \\ (x \u003d \\ frac (\\ sqrt (3)) (3) \\), फिर एक संख्या

\\ [\\ Frac (\\ pi) (6) \u003d artctg \\ frac (\\ sqrt (3)) (3) \u003d \\ frac (\\ sqrt (3)) (3) (1 - \\ frac (1) (3 \\ cdot) 3) + \\ frac (1) (5 \\ cdot 3 ^ 2) - \\ frac (1) (7 \\ cdot 3 ^ 3) + \\ cdots) \\]

यूलर के अनुसार, अगर हम इस श्रृंखला के 210 सदस्य लेते हैं, तो हमें संख्या के 100 सही संकेत मिलते हैं। परिणामी संख्या असुविधाजनक है, क्योंकि अपरिमेय संख्या \\ (\\ sqrt (3) \\) के काफी सटीक मूल्य को जानना आवश्यक है। इसके अलावा, अपनी संगणनों में यूलर ने छोटे तर्कों के आर्कटेन्टर्स के योग पर आर्कटेनेंस के अपघटन का उपयोग किया:

\\ [जहां x \u003d n + \\ frac (n ^ 2-1) (m - n), y \u003d m + p, z \u003d m + \\ frac (m ^ 2 + 1) (p) \\]

\\ (\\ Pi \\) की गणना के लिए सभी सूत्र नहीं, जो अपनी नोटबुक में यूलर का उपयोग करते थे, प्रकाशित किए गए थे। प्रकाशित कार्यों और नोटबुक में, उन्होंने आर्कटेनन की गणना के लिए 3 अलग-अलग श्रृंखला की समीक्षा की, और दी गई सटीकता के साथ अनुमानित मूल्य \\ (\\ pi \\) प्राप्त करने के लिए आवश्यक सारांश सदस्यों की संख्या से संबंधित कई बयान भी लाए।

अगले वर्षों में, संख्या \\ (\\ pi \\) के मूल्य का स्पष्टीकरण तेजी से और तेज़ आया। उदाहरण के लिए, 17 9 4 में, जॉर्ज वेगा (1754-1802) ने पहले ही 140 वर्णों को परिभाषित कर दिया है, जिसमें से केवल 136 वफादार थे।

कंप्यूटर गणना की अवधि

एक्सएक्स शताब्दी को संख्या \\ (\\ pi \\) की गणना करने में एक पूरी तरह से नए चरण द्वारा चिह्नित किया गया है। भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामंजन (1887-19 20) ने \\ (\\ pi \\) के लिए कई नए सूत्र पाया। 1 9 10 में, उन्हें टेलर की एक श्रृंखला में आर्कटगेन्स के अपघटन के माध्यम से \\ (\\ pi \\) की गणना के लिए एक सूत्र मिला:

\\ [\\ pi \u003d \\ frac (9801) (2 \\ sqrt (2) \\ sum \\ lumits_ (k \u003d 1) ^ (\\ unfty) \\ frac ((1103 + 26390k) \\ cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

के \u003d 100 पर, संख्या \\ (\\ pi \\) की 600 वफादार संख्या में सटीकता हासिल की जाती है।

कंप्यूटर की उपस्थिति ने इसे कम समय के लिए प्राप्त मूल्यों की सटीकता में काफी वृद्धि करना संभव बना दिया। 1 9 4 9 में, एनआईएसी की मदद से केवल 70 घंटों में, जॉन वॉन न्यूमन्ना (1 9 03-19 57) के नेतृत्व के तहत वैज्ञानिकों का एक समूह अर्धविराम \\ (\\ pi \\) के बाद 2037 अंक प्राप्त हुए। 1 9 87 में डेविड और ग्रेगरी मोस्नोव्स्की को एक सूत्र मिला जिसके साथ कई रिकॉर्ड गणना \\ (\\ pi \\) सेट करने में सक्षम थे:

\\ [\\ Frac (1) (\\ pi) \u003d \\ frac (1) (426880 \\ sqrt (10005)) \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (\\ unfty) \\ frac ((6k)! (13591409 + 545140134K )) ((3 के)! (के!) ^ 3 (-640320) ^ (3k))। \\]

पंक्ति का प्रत्येक सदस्य 14 अंक देता है। 1 9 8 9 में, 1,011,196,691 दशमलव संख्याएं प्राप्त की गईं। यह सूत्र व्यक्तिगत कंप्यूटर पर \\ (\\ pi \\) की गणना के लिए उपयुक्त है। फिलहाल, ब्रदर्स न्यूयॉर्क के यूनिवर्सिटी पॉलिटेक्निक इंस्टीट्यूट में प्रोफेसर हैं।

हाल के समय की एक महत्वपूर्ण घटना 1 99 7 में साइमन प्लाफ द्वारा सूत्र का उद्घाटन था। यह आपको पिछले लोगों की गणना किए बिना किसी भी हेक्साडेसिमल संख्या \\ (\\ pi \\) निकालने की अनुमति देता है। सूत्र को लेख के लेखकों के सम्मान में "फॉर्मूला बेली - बोर्बेन - प्लाफ" कहा जाता है, जहां सूत्र पहली बार प्रकाशित किया गया था। इसमें निम्नलिखित रूप हैं:

\\ [\\ pi \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (\\ unfty) \\ frac (1) (16 ^ k) (\\ frac (4) (8k + 1) - \\ frac (2) (8k + 4 ) - \\ frac (1) (8k + 5) - \\ frac (1) (8k + 6))। \\]

2006 में, साइमन, पीएसएलक्यू का उपयोग करके, \\ (\\ pi \\) की गणना के लिए कई सुंदर सूत्र प्राप्त हुए। उदाहरण के लिए,

\\ [\\ Frac (\\ pi) (24) \u003d \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ unfty) \\ frac (1) (n) (_ frac (3) (q ^ n - 1) - \\ frac (4) (q ^ (2n) -1) + \\ frac (1) (q ^ (4n) -1)), \\]

\\ [\\ Frac (\\ pi ^ 3) (180) \u003d \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ unfty) \\ frac (1) (n ^ 3) (\\ frac (4) (q ^ (2n) - 1) - \\ frac (5) (q ^ (2n) -1) + \\ frac (1) (q ^ (4n) -1)), \\]

जहां \\ (q \u003d e ^ (\\ pi) \\)। 200 9 में, जापानी वैज्ञानिकों ने टी 2 के त्सुकुबा सिस्टम सुपरकंप्यूटर का उपयोग करके, संख्या \\ (\\ pi \\) c 2 576 980 377 524 दशमलव प्लेस प्राप्त किया। गणना 73 घंटे 36 मिनट पर कब्जा कर लिया। कंप्यूटर को 640-का चार एएमडी ओपर्टन परमाणु प्रोसेसर से लैस किया गया है, जिसने प्रति सेकंड 95 ट्रिलियन ऑपरेशन के प्रदर्शन को सुनिश्चित किया।

गणना \\ (\\ pi \\) में निम्नलिखित उपलब्धि फैब्रिस बेलार के फ्रांसीसी प्रोग्रामर से संबंधित है, जो 200 9 के अंत में फेडोरा 10 के नियंत्रण में अपने निजी कंप्यूटर पर एक रिकॉर्ड सेट के तहत 2,69 9, 999,990,000 अंकों की गणना की गई है (\\ \\ pi \\)। पिछले 14 वर्षों में, यह पहला विश्व रिकॉर्ड है जो एक सुपरकंप्यूटर का उपयोग किए बिना उठाया जाता है। उच्च उत्पादकता के लिए, कारक ने चिनोव्स्की भाइयों के सूत्र का उपयोग किया। कुल मिलाकर, गणना में 131 दिन (गणना के 103 दिन और 13 दिनों के परिणामस्वरूप परिणाम) लिया गया। बेलारा की उपलब्धि ने दिखाया कि ऐसी गणनाओं में एक सुपरकंप्यूटर नहीं है।

केवल छह महीनों में, फ्रैंकोइस का रिकॉर्ड इंजीनियरों अलेक्जेंडर यी और गायक कोंडो द्वारा पीटा गया था। अर्धविराम संख्या \\ (\\ pi \\) के बाद 5 ट्रिलियन वर्णों का रिकॉर्ड स्थापित करने के लिए, एक व्यक्तिगत कंप्यूटर का भी उपयोग किया गया था, लेकिन पहले से ही अधिक प्रभावशाली विशेषताओं के साथ: 3.33 गीगाहर्ट्ज के लिए दो इंटेल ज़ीऑन एक्स 5680 प्रोसेसर, 96 जीबी रैम, 38 टीबी डिस्क मेमोरी और विंडोज सर्वर 2008 आर 2 एंटरप्राइज़ एक्स 64 ऑपरेटिंग सिस्टम। गणना के लिए, अलेक्जेंडर और गायक ने चिनोव्स्की भाइयों के सूत्र का उपयोग किया। गणना की प्रक्रिया में 90 दिन और 22 टीबी डिस्क स्थान लिया गया। 2011 में, उन्होंने एक और रिकॉर्ड सेट किया, संख्या \\ (\\ pi \\) के 10 ट्रिलियन दशमलव संकेतों की गणना करता है। गणना उसी कंप्यूटर पर हुई जिस पर उनका पिछला रिकॉर्ड वितरित किया गया था और कुल 371 दिन लग गए। 2013 के अंत में, अलेक्जेंडर और सिंगर ने 12.1 ट्रिलियन नंबर की संख्या \\ (\\ pi \\) तक रिकॉर्ड में सुधार किया, जिसकी गणना केवल 94 दिन लग गई। प्रदर्शन में ऐसा सुधार सॉफ्टवेयर प्रदर्शन को अनुकूलित करने, प्रोसेसर कोर की संख्या में वृद्धि और गलती सहनशीलता में महत्वपूर्ण सुधार के कारण हासिल किया जाता है।

वर्तमान रिकॉर्ड अलेक्जेंडर यी और गायक कोंडो है, जो अर्धविराम \\ (\\ pi \\) के बाद 12.1 ट्रिलियन अंक है।

इस प्रकार, हमने प्राचीन काल, विश्लेषणात्मक तरीकों में संख्या \\ (\\ pi \\) की गणना विधियों को माना, और कंप्यूटर पर संख्या \\ (\\ pi \\) की गणना के लिए आधुनिक तरीकों और रिकॉर्ड भी माना जाता है।

स्रोतों की सूची

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5. यूलर, एल। डी वेरिस मोडिस सर्कुली क्वाड्रैटुरम न्यूमेरिस प्रॉक्सीम एक्सप्रिमेंडी / कमेंटरी अकादमी वैज्ञानिकेरुम पेट्रोपोलिटाना। 1744 - वॉल्यूम 9 - 222-236 पी।
6. Shumykhin, सी संख्या पीआई। 4,000 साल पुराना / एस शुमिखिन, ए शुमानिना का इतिहास। - एम।: Eksmo, 2011. - 1 9 2 सी।
7. बोरवेल, जेएम। रामंजन और पीआई की संख्या। / बोरवेल, जेएम, कटोरे पीबी विज्ञान की दुनिया में। 1988 - №4। - पी। 58-66।
8. एलेक्स यी। संख्या दुनिया। एक्सेस मोड: NUMBERWORLD.ORG

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मुझे बताओ

हाल ही में, पीआई नंबर की गणना के लिए एक सुरुचिपूर्ण सूत्र है, जो डेविड बेली, पीटर बोर्विन और साइमन प्लाफ, 1 99 5 में पहली बार प्रकाशित:

ऐसा लगता है कि यह विशेष रूप से - पीआई ग्रेट्स की गणना के लिए सूत्रों के लिए फॉर्मूला: मोंटे कार्लो की स्कूल विधि से देर से मध्य युग से पोइसन और फॉर्मूला फ्रैंकोइस वियतका के कठिन-से-खरीद अभिन्न अंगों से। लेकिन यह इस सूत्र के लिए ठीक है कि यह विशेष ध्यान देने योग्य है - यह आपको पिछले लोगों को खोजने के बिना पीआई नंबर के एन-वें संकेत की गणना करने की अनुमति देता है। यह कैसे काम करता है, साथ ही साथ सी भाषा में तैयार कोड के लिए, 1,000,000 वें स्थान की गणना करने के लिए, मैं एक हबराकैट मांगता हूं।

पीआई के एन-वें संकेत की गणना के लिए एल्गोरिदम कैसे करता है?
उदाहरण के लिए, अगर हमें पीआई नंबर के 1000 वें हेक्साडेसिमल साइन की आवश्यकता है, तो हम 16 ^ 1000 के लिए पूरे सूत्र को प्रभावी कर रहे हैं, जिससे 16 ^ (1000-के) में ब्रैकेट का सामना करने वाले कारक को चित्रित किया गया है। जब erending, हम एक डिग्री पर एक बाइनरी निर्माण एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं या, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण में दिखाया जाएगा, मॉड्यूल का निर्माण। उसके बाद, हम श्रृंखला के कई सदस्यों की राशि की गणना करते हैं। इसके अलावा, बहुत कुछ गणना करना आवश्यक नहीं है: जैसा कि के 16 ^ (एन - के) बढ़ता है, यह तेजी से घट जाएगा, ताकि बाद के सदस्यों को वांछित अंकों के मूल्य पर प्रभाव न हो)। यह सब जादू सरल और सरल है।

बेली-बेवेन-प्लाफ फॉर्मूला साइमन प्लाफ द्वारा पीएसएलक्यू एल्गोरिदम के साथ पाया गया था, जिसे सदी के शीर्ष 10 एल्गोरिदम में शामिल किया गया था। एक ही पीएसएलक्यू एल्गोरिदम बेली द्वारा विकसित किया गया था। गणितज्ञों के बारे में ऐसी मैक्सिकन श्रृंखला यहां दी गई है।
वैसे, एल्गोरिदम का ऑपरेशन टाइम ओ (एन) है, मेमोरी का उपयोग - ओ (लॉग एन), जहां एन वांछित संकेत की अनुक्रम संख्या है।

मुझे लगता है कि यह सीआई की भाषा में कोड लाने के लिए उपयुक्त होगा, जिसे सीधे एल्गोरिदम के लेखक द्वारा लिखा गया, डेविड बेली:

/ * यह कार्यक्रम बीबीपी एल्गोरिदम लागू करता है जो किसी दिए गए स्थिति आईडी के तुरंत बाद शुरू होने वाले कुछ हेक्साडेसिमल अंक उत्पन्न करने के लिए, या अन्य शब्दों में स्थिति आईडी + 1 से शुरू होने वाले अधिकांश शब्दों में आईईईई 64-बिट फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित का उपयोग करके अधिकांश सिस्टम पर, यह कोड सही ढंग से काम करता है तब तक डी लगभग 1.18 x 10 ^ 7 से कम है। यदि 80-बिट अंकगणित नियोजित किया जा सकता है, तो यह सीमा काफी अधिक है। जो भी अंकगणित उपयोग किया जाता है, किसी दिए गए स्थिति आईडी के परिणाम आईडी -1 या आईडी + 1 के साथ दोहराने के द्वारा चेक किया जा सकता है, और यह सत्यापित करता है कि कुछ पीछे के अंकों के अलावा, हेक्स अंकों को पूरी तरह से ओवरसेट के साथ ओवरलैप करते हैं। परिणामी अंश आमतौर पर कम से कम 11 दशमलव अंक, और कम से कम 9 हेक्स अंकों के लिए सटीक होते हैं। * / * डेविड एच बेली 2006-09-08 * / # इनक्ल्यूड #शामिल। Int मुख्य () (डबल पीआईडी, एस 1, एस 2, एस 3, एस 4; डबल श्रृंखला (int m, int n); शून्य ihex (डबल एक्स, int m, char c); int id \u003d 1000000; #define NHX 16 चार chx; / * अंक की स्थिति है। अंक उत्पन्न आईडी के तुरंत बाद पालन करें। * / s1 \u003d श्रृंखला (1, आईडी); एस 2 \u003d श्रृंखला (4, आईडी); एस 3 \u003d श्रृंखला (5, आईडी); एस 4 \u003d श्रृंखला ( 6, आईडी); पीआईडी \u200b\u200b\u003d 4. * एस 1 - 2. * एस 2 - एस 3 - एस 4; पीआईडी \u200b\u200b\u003d पीआईडी \u200b\u200b- (int) pid + 1; ihex (पीआईडी, एनएचएक्स, सीएचएक्स); Printf ("स्थिति \u003d% i \\ n अंश \u003d% .15f \\ n हेक्स अंक \u003d% 10.10s \\ n ", आईडी, पीआईडी, सीएचएक्स);) शून्य आईएचईएक्स (डबल एक्स, इंट एनएचएक्स, चार सीएचएक्स) / * यह रिटर्न, सीएचएक्स में, पहला एनएक्स हेक्स अंक एक्स के अंश का। * / (इंट आई; डबल वाई; चार एचएक्स \u003d "0123456789ABCEF"; y \u003d fabs (x); के लिए (i \u003d 0; i< nhx; i++){ y = 16. * (y - floor (y)); chx[i] = hx[(int) y]; } } double series (int m, int id) /* This routine evaluates the series sum_k 16^(id-k)/(8*k+m) using the modular exponentiation technique. */ { int k; double ak, eps, p, s, t; double expm (double x, double y); #define eps 1e-17 s = 0.; /* Sum the series up to id. */ for (k = 0; k < id; k++){ ak = 8 * k + m; p = id - k; t = expm (p, ak); s = s + t / ak; s = s - (int) s; } /* Compute a few terms where k >\u003d आईडी। * / के लिए (के \u003d आईडी; के<= id + 100; k++){ ak = 8 * k + m; t = pow (16., (double) (id - k)) / ak; if (t < eps) break; s = s + t; s = s - (int) s; } return s; } double expm (double p, double ak) /* expm = 16^p mod ak. This routine uses the left-to-right binary exponentiation scheme. */ { int i, j; double p1, pt, r; #define ntp 25 static double tp; static int tp1 = 0; /* If this is the first call to expm, fill the power of two table tp. */ if (tp1 == 0) { tp1 = 1; tp = 1.; for (i = 1; i < ntp; i++) tp[i] = 2. * tp; } if (ak == 1.) return 0.; /* Find the greatest power of two less than or equal to p. */ for (i = 0; i < ntp; i++) if (tp[i] > पी) ब्रेक; पीटी \u003d टीपी; पी 1 \u003d पी; r \u003d 1; / * बाइनरी Expontentiation एल्गोरिदम Modulo एके प्रदर्शन। * / के लिए (जे \u003d 1; जे<= i; j++){ if (p1 >\u003d Pt) (r \u003d 16. * r; r \u003d r - (int) (r / ak) * ak; p1 \u003d p1 - pt;) pt \u003d 0.5 * pt; यदि (pt\u003e \u003d 1.) (r \u003d r * r; r \u003d r - (int) (r / ak) * ak;)) वापसी आर; )
यह क्या अवसर देता है? उदाहरण के लिए: हम एक वितरित गणना प्रणाली बना सकते हैं, पीआई की संख्या की गणना कर सकते हैं और गणना की सटीकता के लिए एक नया रिकॉर्ड डाल सकते हैं (जो अब, वैसे, अल्पविराम के बाद 10 ट्रिलियन है)। अनुभवजन्य डेटा के अनुसार, पीआई संख्या का आंशिक हिस्सा एक सामान्य संख्यात्मक अनुक्रम है (हालांकि यह साबित करने के लिए अभी तक संभव नहीं है), और इसलिए इसके द्वारा संख्याओं के अनुक्रमों का उपयोग पासवर्ड उत्पन्न करने और केवल यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, या क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिदम में (उदाहरण के लिए, हैशिंग में)। उपयोग के तरीकों को एक महान सेट मिल सकता है - कल्पना को शामिल करना केवल आवश्यक है।

इस विषय पर अधिक जानकारी आप डेविड बेली द्वारा लेख में पा सकते हैं, जहां यह एल्गोरिदम और इसके कार्यान्वयन (पीडीएफ) के बारे में विस्तार से बताता है;

और, ऐसा लगता है कि आपने पॉकेट में इस एल्गोरिदम के बारे में पहले रूसी भाषी लेख पढ़ा है - मैं दूसरों को नहीं ढूंढ सका।